导学案例直线与平面平行、两个平面平行

1、第二讲直线与平面平行、两个平面平行知识梳理1 .直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内2 .直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行3 .直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.4 .两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行5 .两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行点击双基1 .设有平面a、3和直线m、n,则m/a的一个充分条件是A.a，3且m

2、7;3B.an3=n且m"nC.m”门且门"“D.且m罢3答案：D2 .（2004年北京，3）设m、n是两条不同的直线，“、3、丫是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是若m±a,n/a,则mn若a/3,3/Y,m，a,则m，Y若m/a,n/a,则m/n若a_Ly,3_Ly,贝Ua/ysA.B.C.D.解析：显然正确.中m与n可能相交或异面.考虑长方体的顶点，“与3可以相交.答案：A3 .一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A.异面B.相交C.平行D.不能确定解析：设an3=l,a/a,a/3,过直线a作与“

3、、3都相交的平面丫,记aCY=b,3Cy=C,贝Ua/b且a/c,b/c.又b二a,an3=l,b/l.a/l.答案：Cb上4 .B（文）设平面a/平面3,A、CCa,B、DCp,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,当S在a、3之间时，SC=,当S不在a、3之间时，SC=.解析：AC/BD,SACASBD,SC=16,SC=272.答案：16272（理）设D是线段BC上的点，BC/平面a,从平面a外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分另/13J交平面a于E、F、G三点，BC=a,AD=b,DF=c,贝UEG=.解析：解法类同于上题.答案：犯二更b5.在四面

4、体ABCD中，M、N分别是面4ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是.A/.M.ND解析：连结AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F,由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CCD的中点E,由且M=EN=2得MN/AB,MANB2因此，MN/平面ABC且MN/平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过/3,“，3.其中可能

5、的情况有A.1种B.2种解析：都有可能，不可能，否则有答案：Ca、b分别作平面a、3,对于下面四种情况：b/a,b，a,aC.3种b±a与已知矛盾.D.4种4.a、b、c为三条不重合的直线,3. a、3是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定a/3的是A. a、3都平行于直线a、bB. a内有三个不共线点到3的距离相等C.a、b是a内两条直线，且a/3,b/3D.a、b是两条异面直线且a/a,b/a,a/3,b/3解析：A错，若allb,则不能断定a/3；B错，若A、B、C三点不在3的同一侧，则不能断定a/3；C错，若allb,则不能断定a/3;D正确.答案：D

6、丫为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题:其中正确的命题是.（将正确的序号都填上）答案：典例剖析YNI巾QEc（城上图），连工PQ.【例1】如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MAC,NFB且AM=FN,求证:MN/平面BCE.证法一：过M作MPBC,NQXBE,P、Q为垂足.MP/AB,NQ/AB,.MP/NQ.BN=CM=Mp,'MPQN是平行四边形.MN/PQ,PQU平面BCE.而MN辽平面BCE,MN/平面BCE.证法二：过M作MG/BC,交AB于点G（如下图），连结NG.2/13MG/BC,BCu平面BCE,MG之平面BCE,MG/平面B

7、CE.pBGCMBN乂=,GAMANFGN/AF/BE,同样可证明GN/平面BCE.又面MGnNG=G, 平面MNG/平面BCE.又MNu平面MNG.，MN/平面BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行【例2】如下图，正方体ABCDAiBiCiDi中，侧面对角线AB1、/平面ABCD.BCi上分别有两点E、F,且BiE=CiF.求证：EFDi证法分别过E、F作EMMB于点M,FNBC于点小卷结CiCmn. BBi,平面 BBJAB,EM/BB1，又Bi

8、E=CiF,ABCD,BBJBC.FN/BBi.-.EM/FN.em=fn.故四边形MNFE是平行四边形.EF/MN.又MN在平面ABCD中,EF/平面ABCD.证法二：过E作EG/AB交BB1于点G,连结GF,则型=BGB1AB1B1BiE=CiF,BiA=CiB,CiF81GCiB-BiBFG/BiCi/BC.又EGAFG=G,ABABC=B,平面EFG/平面ABCD.而EF在平面EFG中，EF/平面ABCD.评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行M、N分别是FA、BD上的点，且PM:MA=BN:【例3】已知正四棱锥P-ABCD的底

9、面边长及侧棱长均为i3,ND=5:8.(i)求证：直线MN/平面PBC;(2)求直线MN与平面ABCD所成的角.PMDON3/I3ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E,连结PE.(1)证明：PABCD是正四棱锥,.AD/BC,EN:AN=BN:ND.又BN:ND=PM:MA,EN:AN=PM:MA.MN/PE.又PE在平面PBC内，MN/平面PBC.（2）解：由（1）知MN/PE,MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.设点P在底面ABCD上的射影为O,连结OE,则/PEO为PE与平面ABCD所成的角.由正棱锥的性质知PO=PB2-OB2=13-2-.2由（1）知，B

10、E：AD=BN:ND=5:8,BE=658,一65在4PEB中，/PBE=60,PB=13,BE=5,8根据余弦定理，得PE=91.82.sin/PEO=-P°-=42在RtPOE中，PO=132,PE=91,PE7故MN与平面ABCD所成的角为.42arcsin7思考讨论证线面平行，一般是车t化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.闯关训练夯实基础1 .两条直线a、b满足a/b,b妻a,则a与平面a的关系是A.a/a

11、B.a与a相交C.a与a不相交D.a罢a答案：C2 .a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是A.过A有且只有一个平面平行于a、bB.过A至少有一个平面平行于a、bC.过A有无数个平面平行于a、bD.过A且平行a、b的平面可能不存在解析：过点A可作直线a'/a,b'/b,则a'nb'=A.a'、b'可确定一个平面，记为a.如果aOa,b辽a,贝Ua/a,b/a.由于平面a可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.答案：D3 .（2004年全国I,16）已知a、b为不垂直的异面直线，”是一个平面，则a、b

12、在“上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是.（写出所有正确结论的编号）解析：AiD与BCi在平面ABCD上的射影互相平行；ABi与BCi在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1与BCi在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.答案：4.已知RtABC的直角顶点C在平面a内，斜边AB/a,AB=2<6,AC、BC分别和平面a成45°和30°角,则AB到平面色的距离为解析：分别过A、B向平面a引垂线AA'、BB',垂足分别为A'设AA，=BB'=x,贝UAC2=(x7-

13、)2=2x2,sin45uBC2=(xx-)2=4x2sin30u又AC2+bC2=AB2,6x2=(2jd)2,x=2.答案：25.如下图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PAL底面ABCD,侧面PBC内有BEXPC于E,6且BE=-a,试在AB上找一点F,使EF/平面PAD.PF解：在面PCD内作EGLPD于G,连结AG.PA，平面ABCD,CDXAD,CDXPD.1.CD/EG.又AB/CD,EG/AB.若有EF/平面PAD,贝UEF/AG,四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF.AFABEG二CD一CE=3a,PBC3PEPC23为直角三角形，BC2=CE-CP=CP

14、=V3a,故得AF:FB=2：1时，EF/平面PAD.6.如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点,/平面PBC.M、N分别为AB、PD上的点，且-AM-=-DN-,求证：直线MNMBNP5/13PPBC.证法过N作NR/DC交PC于点R,连结RB,依题意得DC-NR_DNNRNPAM_MBAB-MBDC-MBMBMB直线MN/平面PBC.=NR=MB.NR/DC/AB,.四边形MNRB是平行四边形.MN/RB.又RB妻平面PBC,分析：要证直线MN/平面PBC,只需证明MN/平曲Pp内©一条直线或MN所在的某个平面/平面证法二：过N作NQ/AD交PA于点Q,连结QM,AM=DN=

15、丝，.QM/PB.又NQ/AD/BC,平面MBNPQPMQN/平面PBC.直线MN/平面PBC.证法三：过N作NR/DC交PC于点R,连结RB,依题意有且M=里=邺，.而=丽，丽=BM+MN+ABPDDCNR=MN.MN/RB.又.RB妻平面PBC,.直线MN/平面PBC.培养能力7.已知l是过正方体ABCDAiBiCiDi的顶点的平面ABiDi与下底面ABCD所在平面的交线，(1)求证：DBi/l；(2)若AB=a,求l与Di间的距离.(i)证明:DiBiClDiCiCiAiDBiDiBi/BD,DiBi/平面ABCD.又平面ABCDn平面ADiBi=l,DiBi/l.(2)解：:DiDL平

16、面ABCD,D1与l间的距离.在平面ABCD内，由D作DGL于G,连结DG,则DiGXl,DiG的长即等于点l/DiBi/BD,.DAG=45°.2一22-i22.6DG=a,DiG=VDG+DiD=a+a=a.探究创新i8.如下图，在正四棱枉ABCDAiBiCiDi中，AAi=AB,点E、M分别为AiB、CiC的中点，过点Ai、B、M二点2的平面AiBMN交CiDi于点N.A/i3B(1)(2)(3)(1)求证：EM/平面AiBiCiDi；求二面角BAiNBi的正切值；设截面AiBMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2(V1VV2)，求V1：V2的值.证明：设AiB

17、i的中点为F,连结EF、FC1.E为AiB的中点，EF-BiB.2又CiM11biB,EFMC1.2四边形EMCiF为平行四边形.EM/FCi./EMS平面AiBiCiDi,FCiU平面AiBiCiDi,EM/平面AiBiCiDi.(2)解：作BiHAiN于H,连结BH.BB平面A1B1C1D1,.BH±AiN.，/BHBi为二面角B&NBi的平面角.EM/平面A1B1C1D1,EMU平面AiBMN,平面DN,AHEAbAiBMNn平面AiBiCiDi=AiN,EM/AiN.又.EM/FC1,.AiN/FC1.又AiF/NCi,，四边形AiFCiN是平行四边形.NCi=AiF

18、.设AA1=a,贝(JAB1=2a,D1N=a.在RtAA1D1N中，AiN=Jar2+D1N2=石a,sin/A1ND1=A1D1224在RtAiBiH中，BiH=AB1Sin/HAiBi=2a,_=_a.55在RtABB1H中,a_4-45aBBitan/BHBi=B1H(3)解：延长AiN与BiCi交于P,则PC平面AiBMN,且PC平面BBiCiC.又.平面AiBMNn平面BBiCiC=BM,.PCBM,即直线AiN、B1C1、BM交于一点P.又平面，几何体MNCi/平面BA1B1,MNC1一BA1B1为棱台.(没有以上这段证明，不扣分).SS为NC1=1'a,1a=1a2,1

19、224棱台MNCiBAiBi的高为B1C1=2a,7/131/221212、_7Vi=,2a*（a+，a,一a+a）-一3.446a3,V2=2a-2a-aa3=17a.66V1_7V217思悟小结1 .直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外2 .辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.【例1】设平面a/平面3,AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、CCa,B、DC3 ,求证：MN/平面a.剖析：因为AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面

20、a、3中不易找到与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与a平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连结BC,则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E,连结ME、NE,用中位线知识可证得.证明：连结BC、AD,取BC的中点E,连结ME、NE,贝UME是BAC的中位线，故ME/AC,MEiZa,ME/a.同理可证，NE/BD.又a/3,设CB与DC确定的平面BCD与平面a交于直线CF,贝UCF/BD,NE/CF.而NE0平面a,CFCa,NE/a.又MEANE=E,平面MNE

21、/a,而MNU平面MNE,MN/平面a.【例2】如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）土匀等于a,并且AA1/CC1.求证：平面A1BC1/平面ACD1.ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长A证法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D,并连结A1B1和AD.1AA1CC1BB1DD1,且AA1LAB,AAJA1D1,D1ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形故它们的对应边平行且相等./AABCAA1B1C1,-A1B11B1C1.同理，ADXCD.BB1XAB,BB1XBC,.BB1L平面ABC.同理，DDL平面ACD.BB1/DD1,，BB1

22、,平面ACD.A、B、C、D四点共面.ABCD为正方形.同理，A1B1C1D1也是正方形.故ABCDA1B1C1D1是正方体.8/13易知A1C1/AC, .A1C1/平面ACDi.同理，BC1/平面ACD1,，平面A1BC1/平面ACD1.证法二：证ABCDA1B1C1D1是正方体，同上.连结BD、B1D1,则B1D1是BD在底面ABCD上的射影，由三垂线定理知B1DXA1C1,同理可证B1DXBA1,B1D，平面A1BC1.同理可证，BD,平面ACD1,，平面A1BC1/平面ACD1.思考讨论证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线Da/D1/PC1NB

23、1【例3】如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是CC、B1C1、C1D1的中点，求证:(1)APXMN;(2)平面MNP/平面A1BD.证明：(1)连结BCrBQ,则B1CXBC1,BC1是AP在面BB1C1C上的射影.APLB1C.又B1C/MN,APXMN.(2)连结B1D1,'P>N分别是D1C1、B1C1的中点，PN/BD1.又B1D1/BD, .PN/BD.又PN不在平面A1BD上，PN/平面A1BD.同理，MN/平面ABD.又PNAMN=N, 平面PMN/平面A1BD.曲于评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择

24、或添加适当的平面或线M、N、P都为中点，故添加B1C、BC1作为联系的桥梁.夯实基础1. （2003年上海）在下列条件中，可判断平面a与3平行的是A. a、3都垂直于平面丫B. a内存在不共线的三点到3的距离相等C.l、m是a内两条直线，且l/3,m/3D.1、m是两条异面直线，且l/a,m/a,l/3,m/3答案：D2.设平面a/3,A、Cea,B、De3,直线AB与CD交于S,若AS=18,BS=9,CD=34,则CS=解析：如图（1）,由a/3可知BD/AC,.比二吗即包二些3,.3=68.SASC18SCS?B:CAA如图（2）,由a/3知AC/BD,&&（1）.SA=

25、SC=SCgp18=SCSBSDCD-SC'934-SC.9/13SC=68答案：68或二33.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCDAiBiCiDi容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将FBCBDCDHGC甲乙容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱AiDi始终与水面EFGH平行；当容器倾斜如图乙时，EF-BF是定值.其中正确命题的序号是.AD/EH/FG/BC,且平面AEFB/平面DHGC,解析：对于命题，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC为棱柱的

26、一条侧棱，命题正确.对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故不正确.是正确的（请给出证明）.是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是.答案：1 .两条直线a、b满足allb,b&a,则a与平面”的关系是A.a/aB.a与a相交C.a与a不相交D.a罢a答案：C2 .a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是A.过A有且只有一个平面平行于a、bB.过A至少有一个平面平行于a、bC.过A有无数个平面平行于a、bD.过A且平行a、b的平面可能不存在解析：过点A可作直线a'

27、/a,b'/b,则a'nb'=A.a'、b'可确定一个平面，记为a.如果a辽a,b<Za,贝Ua/a,b/a.由于平面a可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.答案：D3 .（2004年全国I,i6）已知a、b为不垂直的异面直线，”是一个平面，则a、b在“上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是.（写出所有正确结论的编号）解析：AiD与BCi在平面ABCD上的射影互相平行；ABi与BCi在平面ABCD上的射影互相垂直；GBDDi与BCi在平面ABCD上的射

28、影是一条直线及其外一点.答案：4 .已知RtAABC的直角顶点C在平面a内，斜边AB/a,AB=2J6,AC、BC分别和平面a成45°和30°角,则AB到平面a的距离为.解析：分别过A、B向平面&引垂线AA'、BB',垂足分别为A'、B'i0/i3设AA'=BB'=x,则AC2=(sin：50)2=2x2'BC2=(X)2=4x2.sin30u又AC2+BC2=AB2,6x2=(2<6)2,x=2.答案：2CDU平面a,AB/a,M、N分别是AC、BD的中点，且5 .如下图，两条线段AB、CD所在的直线是

29、异面直线,AC是AB、CD的公垂线段.(1)求证：MN/a;(2)若AB=CD=a,AC=b,BD=c,求线段一MNnCB'EDaMN的长.(1)证明：过B作BB'，a,垂足为B',连结CB'DB',设E为B'D的中点,连结NE、CE,贝UNE/BB'且NE=1BB',又AC=BB',2MCNE,即四边形MCEN为平行四边形(矩形)MN/CE.又CECa,MNa,.MN/a.(2)解：由(1)知MN=CE,AB=CB'=a=CD,B，D=1BD2-BB'2=&2-b2,.匚21/2.2'2,1.212CE=/a(c-b)=va+b-c,V41f44即线段MN的长为Ja2+lb2lc2.44DiADOBC15.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a.(1)求证：平面AD1B"/平面C1DB;(2)求证：AiC,平面ADiBi；(3)求平面ABiDi与平面BCi