经典易错题会诊与试题预测06

1、经典易错题会诊与试题预测（六）考点6平面向量经典易错题会诊命题角度1向量及其运算命题角度2平面向量与三角、数列命题角度3平面向量与平面解析几何命题角度4解斜三角形探究开放题预测预测角度1向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合预测角度2平面向量为背景的综合题命题角度1向量及其运算1 （典型例题）如图6-1，在RtABC中，已知BC=a若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角B取何值时BPCQ的值最大？并求出这个最大值.考场错解幕BP=BQQP,CQ=CBBQ,.BP*CQ=（BQ-BQ）*（CB-BQ）=1BQ2BQ*CBQP*CBQP*BQ,此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不

2、知怎样继续.专家把脉此题是湖北省20典型例题）已知，|a|=,2,|b|=3,a与b的夹角为45°,当向量a+入b与入a+b的夹角为锐角时，求实数A的范围.考场错解由已知ab=|a|b|cos45°=3,va+入b与入a+b的夹角为锐角，/（a+入b）（入a+b）0即入|a|2+入|b|2+（入2+1）ab=0,.2入+9入+3（入2+1）0，解得入二1!竺或，：一115实数入的范围是一1185专家把脉解题时忽视了a+入b与a入+b的夹角为0的情况，也就是（a+入b）（入a+b）0既包括了a+入b与入a+b的夹角为锐角，也包括了a+入b与入a+b的夹角为0，而a+入b与入a

3、+b的夹角为0不合题意.对症下药由已知ab=|a|b|,|b|xcos45°=3.又a+入b与入a+b的夹角为锐角，.（a+入b）（入a+b）0，且a+入讥入a+b）（其中卩k,卩0）由（a+入b）（入a+b）0,得|a|+入|b|+（入+1）ab0即3入+11入+30,解得入85或，：:11-85.由a+入卩（入a+b），得入工1,卩工入，即入工1，综上所述实数入的取66值范围是（-汽二1185_1£_85,1）匕（1,+8）.3.（典型例题）已知OABC所在平面内一点且满足OA，2OB-3OC=0，则AOB与AOC的面积之比为32A1B.=12-2112*V4J、6(2

4、)求厶ABC的面积.答案：设/AOB=0,/AOC=:,/BOC=，由OA0B=丄，得cos0=丄，sin0=,&ao=丄|0A|-|Ob|sinC.-D.22 3考场错解.OAOBOC=O.OB二_2OC/O在BC边上，且|OB|=2|oC|,又AOC高相等，AOC的面积之比为2,选D.专家把脉缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有OABC的重心的情况下，才有-.oAoboC=O，而本题无此已知条件.对症下药如图6-3，在AB上取一点D,使-1.21121.2|AD|=2|DB|,D分AB的比，=2,得ODOAOBOAOB又由已知OCOAOB,OD=-OC,O1 &

5、quot;2123333为CD的中点，不妨设SAaoc=S，贝USAao=S(V两者等底同高)s:BOD=gs,ClAD|=2|BD|),S.Iaob二弓S,AOB的面积与厶AOC勺面积之比为3:2，选B.(2)不妨设A(0,0),B(1,0),C(0,1),O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量

6、用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.考场思维调练1ABC内接于以0为圆心，1为半径的圆，且-2OA3OB4OC=O.(1)求|AB|1.答案：由已知得20A30B二/OC，所以'2'2'2''2'2r"r.2(20A30B)=16|OCf,即4|OA2120A*0B9|0B|=16|0C|；'|OA|OB冃0C|=1”OA*0B.|AB|=；(OBOA)4=.|OBf-20B<0A|0A|2.cosy=-7,sinr=-,Sbo<=-x-1515.882816由于0为锐角，Cp,Y为钝角，所以OC不可

7、能在厶AOB内部，故AOBAOCBOC互不重叠二Smbc=Saob+Saoc+Sbo(=''15.322 已知向量a=(1,1),b:(1,0),c满足ac=0,且|a|=|c|,bc>0.(1) 求向量c；22m+n=0答案：设=(m,n)，由ac=0,得m+n=0再由，|a|=|c|，得m+n=2，联立22，解得m=1,n=-1m+n=2-或m=-l,n=1，又tb,c=(1,0)(m,n)=m>0.m=1,n=-1,c=(1,-1).(2) 若映射f:(x,y)+(x'y')=xo+yc，将(x,y)看作点的坐标，问是否存在直线l，使得I上任一

8、点在映射f的作用下的点仍在直线I上，若存在，求出直线I的方程，若不存在，请说明理由.答案：xa+yc=y(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y)，贝Uf:(x,y)(x+y,x-y).假设存在直线I满足题意.当l的斜率不存在时，没有符合条件的直线l;当I的斜率存在时，设I:y=kx+m,在I上任取一点p(x°,y。),则p在映射f作用下的点Q(x°+y0,X0-y0),Q也应在I上，即x°-y0=k(x0+y°)+m又(x°,y°)在I上y0=kx°+m整理得(1-2k-k)x0-(k+2)m=0，此式对于任意x

9、76;恒成立.二1-2k-k=0,(-k+2)m=0.解得k=-1±'一2,m=0综上所述，存在直线I:y=(-1±、2)x符合题意.3 已知AB、C三点共线，O是该直线外一点，设OA=a,OB=b,OC=c,且存在实数m,使ma-3b+cO成立.求点A分所成的比和m的值.答案：解：设点A分BC所成比为入，则BA=入AC，所以OA-OB=入(OC-0A).即a-b=入(c-d)，则(1+入)a-b-入c=0(1)由已知条件得c=3b-ma代人(1)得(1+入)a-b-3入b+m入a=0,即(1+入+m入)a-(1+3入)b=0/OAOB不共线，a、b不共线1-1+入

10、+m入=0,1+3入=0,解得入=-,m=23A分BC所成的比为-1,m=231. (典型例题)设函数f(x)=a-b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,、3,且x-L,-)求x;(2)若函数y=2sin2x3 3的图像按向量c=(m,n)(|m|<')平移后得到函数y=f(x)的图像，求实数mn之值.2考场错解(1)依题意，f(x)=2cos2x+.3sin2x=12sin(2x').3由12sin(2x)=1一.3,得sin(2x)'3,'x,'2x,2x'',即x;3323333333函数y=2sin2x的图像按向量

11、c=(m,n)平移后得到y=2sin2(x+m)-n的图像，即y=f(x)的图像，由(1)得f(x)=2sin2(x+自们钉冷,.心訂一1.专家把脉“化”时出错，2cos2x亠.3sin2x=cos2x=cos2x亠,”3sin2xT=2sin(2x')T不是2sin(2x)亠1,第63(2)问在利用平移公式的时有错误对症下药(1)依题设，f(x)=2cos2x：hj'3sin2x=12sin(2x云),由1H-2sin(2-)iTFiTFiTFiTF?TFHT?TF?TF厶七JL-jtJLJL_iL-DJLciL口仃JL-_x,_2x,2x=.即x=；3一一32一6一6634

12、函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图像，即函数y=f(x)的图像,由(1)得f(x)=2sin2(xT【甘违,.心第,2.2.(典型例题)已知i,j分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，0州二j,0A2=5j,AnAn=2AnAm1(n_2,nN*).(1)求A7A8;(2)求OAn和OBn的坐标.11.考场错解()由已知有AnAn1=?AnAnJ.,得IAnAn1|AnAnj|*1A1Q1-A1-4IAnAn1匸A1A2IAzAbF,得A/As221616'14n|0人冃0州|"人2|州/.|=14尹9一24OAn=9_

13、24,得OAn(9-24：0).|OBn|OB1|B-iB2.亠|BnBn|=3.2(n_1)2、_2=2、2n2.OBn=(2.2n：2).专家把脉向量是一个既有方向又有大小的量，而错解中只研究大小而不管方向，把向量与实数混为一谈，出现了很多知识性的错误.、，；.I-A|_I.AhA»A对症下药(1)An1An=2AnAn1”AnAn1二An_|An,.A7A6二A3A7二A5A6二()6州人222421 61又A1A2=OA2-OA1=4j,.A/As=(一)64jj.2 1611114由(1)知AnAnT=尹AA2二尹j”AnA=尹j,.OA.=0州AA'AnAj

14、9;4j2'(2=)j.。編的坐标为(0,9-24*).同理OBn=OB1亠'Bn4Bn=3j3j(n1)(2i2j)=(2n1)i(2n1)j,.OBn的坐标是(2n-1,2n1).3.(典型例题)在直角坐标平面中，已知点P1(1,2),P«2,22),P3(3,23),Pn(n,2n)，其中n是正整数，对平面上任一点记A为A关于点P的对称点，A为A,关于点P2的对称点，A为A-1关于点Pn的对称点.(1)求向量AoA2的坐标;(2)当点A在曲线C上移动时点A的轨迹是函数y=f(x)的图像，其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x(0,3)时f(x)=lgx.求以

15、曲线C为图像的函数在(1,4)上的解析式；对任意偶数n,用n表示向量AoAn的坐标.考场错解第问，由(1)知AoA2=(2,4)，依题意，将曲线C按向量(2,4)平移得到y=f(x)的图像.y=g(x)=f(x-2)+4.专家把脉平移公式用错，应该为y=g(x)=f(x+2)-4.对症下药设点Ao(x,y),Ao关于点Pi的对称点Ai的坐标为Ai(2-x,4-y),Ai关于点P2的对称点A2的坐标为A2(2+x,4+y),所以，A0A2=2,4.(2)/证=2,4,f(x)的图像由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，曲线C是函数y=g(x)的图像，其中g(x)是以3为周期的周

16、期函数，且当x(-2,1)时，g(x)=1g(x+2)-4,于是，当x(1,4)时，g(x)=1g(x-1)-4.(3)AoAn=AoA2A2A4工An由于A22A2k=2FbkP2k,得AoAn=2(时2屯九Pn二&)=2(1,21,23专家会诊向量与三角函数、数列综合的题目实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数、数列的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大，向量与数列结合的题目，综合性强、能力要求较高.考场思维调练_1.311 已知平面向量a=(<3,-1),b=(?,牙),c

17、=a+(sin2a-2cosa)b,d=(sin22a)a+(cosa)b,a(o,)，若c丄d,求cosa.2答案：解析：由已知得ab=0,|a|=a=4,|b|=b=1，因为c丄d,cd=0，即a+(sin2入-cosa)b.1222(sin2a)a+(cosa)b=0，得sin2a+sin2a,cosa-2cosa=0,4即(sin2a+2cosa)(sin2a-cosa)=0,/a(0,),Sin2a+COSa>0,sin2a=cosa，由于cosa>0,得sina=1，贝ycosa=3.2222 设向量a=(cos23°,cos67°).b=(cos6

18、8°,cos22°),c=a+tb(tR)，求|c|的最小值.答案：解：|a|=.cos223-cos267=1=1,|b|=.cos268cos222=1=1ab=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos(23°-68°)=2.22=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2tab=t2+1+.2t>1.2 |c|的最小值为吕，此时t=-丄223 已知向量a=(2,2)，向量b与a的夹角为-，且ab

19、=-2.4(1) 求向量b;答案：设b=(x,y),/a-b=-2,2x+2y=-2,即x+y=-1,(1)，又ta与b的夹角为-n,|b|=空=1,4 3|a|*cosn422 x+y=1(2)，联立(1)、(2)得x=-1,y=0或x=0,y=-1,b=(-1,0)或b=(0,-1).(2) 若t=(1,0)且b丄t,c=(cosA,2cos2c)，其中AC是厶ABC的内角，若三角形的三个内角依次2成等差列，试求，|b+c|的取值范围.答案：由题意得B=,A+C=2,b丄t,t=(1,0),b=(0,-1),b+C=(cosA,cosC),33221i|b+C|=cos2A+cosc=1+

20、1(cos2A+cos2C)1+122cos2A+cos2(2n-A)=1+1cos(2A),/0/A<,3233二/2A+5二，-1<cos(2A+二)<丄，|b+c|23 3332G4,|b+c|&子申命题角度3平面向量与平面解析几何1.(典型例题)已知椭圆的中心在原点，离心率为-，一个焦点F(-m,0)(m是大于0的常数.2(1)求椭圆的方程;(2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线I与y轴交于点M,若|MQ|=2|QF|，求直线I的斜率.考场错解第问：设Q(xo,yo)，直线J的方程为y=k(x+m)，则点M(0,km),由已知得F、QMkm)，由定比分点

21、坐标公式，得|MQ|=2|QF|进行转化时出现错误,三点共线，且|MQ|=2|QF|,|MQ|=2|QF|由于F(-m,0),M(0,222Xq=2m,yQ=1km,又Q在椭圆x2亠y2=1上1-k：1,解得k=2.6334m23m2927专家把脉缺乏分类讨论的思想，没有考虑图形的多样性，将依题意|MQ|=2|QF|应转化为MQ二2QF再分类求解k.22对症下药设所求椭圆方程为笃Z=1(a>b>0)a2b2由已知得c=m,c=,a=2m,b=3ma222故所求的椭圆方程是二爲J.4m23m2(2)设Q(xq,yc)，直线I的方程为y=k(x+m)，则点M(0,km),vMQF三点共

22、线，|MQ|=2|QF|,MQ=2QF.当mQ=2Qf时由于F(-m,0),M(。，km)，由定比分点坐标公式得xq|叱詁曲又Q在椭圆222上丁莒=1上，.有-1,解得k=2.、6;4m3m927_L_,k22冋理当MQ-2QF时,有1-2二1,解得k=0.故直线I的斜率是0,二2、6.3m22. (典型例题)如图64，梯形ABCD勺底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=土2,|CD|=2.AC33丄BD,M为CD的中点.(1) 求点M的轨迹方程；(2) 过M作AB的垂线，垂足为N,若存在常数入0，使MP二.°PN，且p点到AB的距离和为定值，求点P的轨迹C的方程.考场错解

23、第问：设P(x,y),M(xo,yo)，则N(0,y。).MP=(xA°,y_y°),PN=(A,y°_y),又MP x-xo=-入oX,y-y。=入o(yo-y),入o=-1.专家把脉对MP=.°PN分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上MN、P三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出入o=-1是错误的.对症下药解法1：设M(X,y)，则C(X,-1+-y),D(x,1-亠2-y),由AC_BD得ACBD=0,3322即(x,y-1)(x,y+1)=0，得x+y=1，又x丰0,22 M的轨迹方程是:x+y=1(x丰0)解法2:设AC与BD交于E,

24、连结EMEO,/AC+BD:丄CED=ZAEB=90,又MO分另U为CDAB11的中点，丨OMfCDI'lEOfAB|,又E为分别以ABCD为直径的圆的切点，OC、M三点共线，|OM|=|OE|+|AB|=1,M在以原点为圆心1为半径的圆上，轨迹方程为x+y=1(x丰0).(2)设P(x,y)，则由已知可设M(xo,y),N(0,y)，又由MP=入oPN得(x-xo,0)=入o(-x,0),Xo=(1+入o)x,又M在x+y=1(x丰0)上，P的轨迹方程为(1+入o)2x+y=1(x丰0),又P到A、B的距离之和为定值，P的轨迹为经A,BP为焦点的椭圆，1=8,得(1-入。)2=9,P

25、轨迹E的方程为9x2+y2=1(x(1+拖)9丰0).3. (典型例题)如图65,ABCD是边长为2的正方形纸片，以某动直线I为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在AD上,记为B'折痕I与AB交于点E,使M满足关系式EMEB(1) 建立适当坐标系，求点M的轨迹方程；(2) 若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是AB边上的一点，_BA=4过点F的直线交曲线于P、Q两点，且，求实数入BF的取值范围.考场错解第问：以AB的中点为坐标原点，以AB所在的直线为y轴建立直角坐标系，则A(0,1),B(0，1)，设E(0,t),B'(xo,1)，则

26、由EM=EBEB得x=x°y=-t,M的轨迹方程为x=x°,y=-t专家把脉对轨迹方程的理解不深刻，x=xo,y=-t不是轨迹方程，究其原因还是题目的已知条件挖掘不够，本题中|EB|=|EB|是一个很重要的已知条件.对症下药(1)解法1以AB所在的直线为y轴，AB的中点为坐标原点，建立如图6-6所示的直角坐标系，别A(0,1),B(0,-1),设E(0,t),则由已知有0<tW1,由及B'在AD上,可解得B'(2.t,1)由+eM=EBEB'得(x,y-t)=(0,-1-t)+(2.t,1-t),即x=2,2y=-t,消去t得x2=-4y(0W

27、x<2).解法2以EBEB'分邻边作平行四边形.由于|eB冃EB：|知四边形EBMB，为菱形，且MB"'丄aD,动点M到定直线AD的距离等于M到定点B的距离，M的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线的一部分轨迹方程为x2=-4y(0WxW2).(2)由(1)结合已知条件知C的方程是x2=-4y(-2WxW2)，由型=4知F(0,丄)，设过F的直线的斜BF21 -率为k，则方程为y=KX-,P(x1,y1),Q(x2,y2)，由PFWFQ得x1=-入x?，联立直线方程和C得方程是x2+4kx-2=0，由-2WxW2知上述方程在-2,2内有两个解，由；次函数的图像

28、知-1_k，由4 4x=-入X2可得1(XX2)2=-丄XX2由韦达定理得8k2=-(1),解得_2.(1_')2'224. (典型例题1)已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点9的直线交椭圆于A、B两点，0A0B与a=(3,-1)共线(1) 求椭圆的离心率；(2) 设M为椭圆上任意一点，且0M=0A0B(,R)，证明入2+为定值.2222=02b=2,2a=6,e=；=.V由cAOB(X1+X2,yi+y2),得a2=3b2,又a2_b2=c2=4.2 2考场错解设椭圆方程为芳計1（a°），F（C，0）联立y=X-C2a2cx+a2c2+a

29、2b2=0,令A(xi,yi),B(X2,2,则xi+X2=2玉a2+b2'42a2+b2a=(3,-1),OA：OB与a共线，得Xi+X2=3,yi+y2=-1,又yi+y2=xi+X2-2c，二c=2,专家把脉OAOB与(3,-i)共线，不是相等，错解中，认为OAOB(3,-i)，这是错误的，共线是比例相等.对症下药(i)(前同错解)，OAOB与a共线，得3(yi+y0+(xi+x0=O,3(xi+X2-2c)+(xi+X2)=O-Xi+X2=a2c2-a2b2-X1X222'a2+b2c，代入2ac3c,.a2=3b2e=仝.2axiX2+3yiy2=xi+X2+3(xi

30、-c)(x2-c)=4xiX2-3(xi+X2)c+3c+b22322_H证明：由(1)知a2=3b2,所以椭圆x.y1可化为x2+32=3b2设OM(x,y)，由已知得(x,y)=入(x1,a2h2abyi)+卩(X2,y2),乂+敗2Y=切+申2M(x,y)在椭圆上,22-(入Xi+X2)23(入yi+y2)=3b.即入%xj+3yj)23(x|+3y|)+2入i(xiX2+2yiy2)=3b2.由知X2+X2=3c,a2=3c2,b2=-c2=3c-9c23c2222又xj3y=3b2,x23y；=3b2又，代入得入52=1-故入2+2为定值，定值为1.专家会诊平面向量与平面解析几何结合

31、是高考中的热点题型，解此类题目关键是将向量关系式进行转化，这种转化一般有两种途径：一是利用向量及向量的几何意义，将向量关系式转化为几何性质，用这种转化应提防忽视一些已知条件；二是将向量式转化为坐标满足的关系式，再利用平面解析几何的知识进行运算，这种转化是主要转化方法，应予以重视.考场思维调练1已知ABC中，A(0,1),B(2,4),C(6,1),P为平面上任一点，点M、N满足PM(PAPB),PN(PAPOBPC)，给出下列相关命题：MN/BC;23(2)直线MN的方程是3x+10y-28=0;(3)直线MN必过ABC外心；(4)起点为A的向量入(ABAC+AC)(入Rh)所在射线必过N,上

32、面四个选项中正确的是.(将正确的选项序号全填上)答案：解析：(4)由已知M为AB的中点，所以M(1,-),NABC的重心，二N(-,2).MN在AB的23中线上MNBC；MN的方程为3x+10y-28=0;MNABC的重心，又ABC不是等腰三角形二MN不可能过ABC的外心；入(ABAC)(入R+)所在射线为BC的中线所在的射线，必过N上(2)、(4)正确.2已知A为x轴上一点，B为直线x=1上的点，且满足：(0A30B)_(OAi3OB).(1)若证A的横坐标为x,B的纵坐标为y，试求点P(x,y)的轨迹C的方程；答案：解：由题意，A(x,0),B(1,y)，则OA=(x,0),OB=(1,y

33、)代入(OA30B)(0A30B)=0中，得：设D(0,-1),上述轨迹上是否存在MN两点，满足|MD|=|ND|且直线MN不平行于y轴，若存在，求出MN所在直线在y轴上截距的取值范围，若不存在，说明理.答案：假设存在M(X1,yJ,N(X2,y2)，由题设MN不与x轴垂直，不妨设MN的方程为22222得(1-3k)x-6kmx-3m-3=0，显然1-3k丰0,=12(m+1-3k2)>0，又X1+X2=2x2彳3=1,y二kx亠m2x1x23.设1-3k2y=kx+m，联立<6km13k2MN的中点P(X0,y。)，则有X0=3km21-3k2,y0=77,二线段MN的垂直平分线

34、方程为y-m21-3k213k2泳铁).由k13k2题意D(0,-1)在该直线上，代入得24m=3k-1,mk满足*厂22"i；k>0消去k2,得4m=3kT、1m>4或-一<m<0.4存在这样的MN,并且MN所在直线在y轴上截距的取值范围是(4,)U(-丄，0)43 已知点F(1,0)，直线l:x=2，设动点P到直线I的距离为d,已知|PF|=二d且-232(1)求动点户的轨迹方程;2.答案：设P(x,y)-!匚!=<1,.p的轨迹为以(1,0)为焦点，以I:x=2为对应准线的椭圆.且d2=c2,-c=1，解得a2c2P的轨迹方程为+y2=1(1wxw

35、-).223a=,2,c=1,2b=1.又3三*1，I2-x|'I，1若PFOF求向量。卩与OF的夹角;答案：PF=(1-x,-y),OF=(1,0),OP=(x,y)PF-OF=(1-x,)1+(-y)-0=1-x=-,3x=l，代).33OP与OF的夹角为arccos2、一1111(3)如图，若点C满足GF=2OF，点M满足MP=3PF=3PF,且线段MG的垂直平分线经过P，求厶PGF的面积.答案：由已知|GF|；2|FO|,G为左焦点.又.|PG片PM|=3|PF|.,PG|TPF|=2、.2一近|PF|盲3J2円1P22又|GF|=2,|PF|2+|GF|=|PG|,PGF为R

36、t,S=W2命题角度4解斜三角形1(典型例题)2ABC中，sinA+cosA=qAC求tanA的值和ABC的面积.考场错解tsinA+cosA=两边平方得2sinAcosA=-sinA=-又0°222210°或2A=330°得A=105。或A=165°,当A=105。时，<2A<360°.2A=tanA=tan(45x227272y2=1,得y”op=(,)或op=(,A23入一OP*OF_2,11|Op|OF|-11+60°)=13二2_.3sinA=sin(45°+60°)=6当A=165°

37、;时，tanA=tan(45°+1201石4)=-2+3,sinA=sin(45°+120°)=2,ABC的面积为丄ACABsinA(.6_.2).42专家把脉没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若sinA+cosA=2cosA=_62,此时sinAcosA2442,显然与sinA+cosA=3"K4'A=165°,sinA=此时2的已知条件矛盾.2对症下药解法1.sinA+cosA=22_i*Q_A_.2cos(A-45)-得cos(A45)=,又0:A<180°,22A-45°=60°,

38、得A=105°tanA=tan(45°+60°)=-2-3,sinA=sin(45°+60°)=.2.61 3Labc=ACABsinA(.一6.2)2 421解法2/sinA+cosA=2sinAcosA-222又0°<A<180°,.sinA>0,cosA<0,/(sinA-cosA)=1-2sinAcosA=sinA-csoA=6,解得sinA=26,cosA=26244sinA13ijsinA=-3,SabcAC*AB*sinA6.2).cosA242. (典型例题)设P是正方形ABCD内部的

39、一点，点P到顶点A、B、C的距离分别为长是.考场错解设边长为x/ABP=x则/CBP=90-a，在ABP中/1、2、3,则正方形的边22222222.oABP=-21x3在.CBP中cos/CBP二上23X-4x4x4x4xcos/CBP=sina4x令24x解得X2=5+2i2或5-22.正方形的边长为；52、2或】5-2,2.专家把脉没有考虑x的范围，由于三角形的两边之差应小于第三边，两边之和应大于第三边，1<x<3.对症下药（前同错解）I1<x<3,x=：5-2.2应舍去，正方形的边长为，5,223. （典型例题）已知ABC中，AB=1,BC=2则角C的取值范围是

40、_.考场错解依题意c=1,a=2,由正弦定理知CaC11EQ0V或150/80-故有sinCsinAsinA.,又；0:C：180,0:X<30或150"c180.sinCsinAa22专家把脉没有考虑大边对大角，由于a>c,角C不是最大解，150°<C<180。不可能.对症下药依题意c=1,a=2,由正弦定理知-,.SINc=#sinAsinA乞丄，又因为a.c,.A.C,sinCsinAa22,C的取值范围是0°<CW30°.专家会诊解三角形的题目，一般是利用正弦定理、余弦定理结合三角恒等变形来解，要注意角的范围与三函数

41、值符号之间的联系与影响，注意利用大边对大角来确定解是否合理，要注意利用ABC中，A+B+Cn，以及由此推得一些基本关系式sin(B+C)=cisA,cos(B+C)=-cosA,sinBC=cos-等，进行三角变换的运用，判断22三角形的形状，必须从研究三角形的边与边的关系，或角与角的关系入手，。要充分利用正弦定理，余弦定理进行边角转换.考场思维训练1在厶ABC中，三内角分别为AB、C若4sinAsinB=3cosAcosB,若复数za+bi(a,bR),定义z的模|z|=.a2b2,求复数z=.7cosC-icosA_B的模|z|.22解：|z2|=7cos2ccos2A_B=7(1+cos

42、C)+1(1-cos(A-B)=4+7cosC-1cos(A-B)=4+1-7cos(A+B)-cos(A-B)22222221=4+(-8cosAcosB+6sinAsinB),2又/4sinAsinB=3cosAcosB |z|=4,得，|z|=2.2 在厶ABC中，sinA+cosA=1,AB=10,AC=205(1) 求厶ABC的面积；124答案：由sinA+cosA=-得2sinAcosA=-一,5252 sinA>0,cosA<0,.(sinA-cosA)=1-2sinAcosA=49得sinA-cosA=7,sinA=-,comA=-3.25555 Sabc=丄ABA

43、C-sinA=11020-=80;225(2) 求厶cos2A的值.答案：cos2A=2cos2A-1=-253 ABC中，AB=2,BC=1,/ABC=120，平面ABC处一点满足PA=PB=PC=2则三棱锥P-ABC的体积是答案：解：过P作POL平面ABC由PA=PB=PC=2,0ABC的外心，在ABC中，由余弦定理，222|AC|=|AB|+|BC|-2|AB|BC|cos120°=7, |AC|=7又由正弦定理|AC12RsinBC得R.3在RtPOA中，PA=2OA=R=_?1,3 po=(pa)2-r2=35又SABC=12-,222三棱锥P-ABC的体积为兰.6探究开放

44、题预测预测角度1向得与轨迹、直线、贺铃由线篈疾识点结合X2C一H一1. 已知过点D(-2,0)的地线I与椭圆y2=1交于不同两点AB点M是弦AB的中点且OP=OAOB,2求点P的轨迹方程解题思路由已知OP=20M，,又M为AB的中点M的轨迹是常见的中点问题，求出M的轨迹后，可用x2/A、B在y2上2相关点求p的轨迹，本题还可以直接将Op=0AOb转化为坐标运算解答(方法一)设M(X0,yc),A(x1,y1),B(x2,y2),y1_y2_X1+x2X1-X22(y1y2)'即kAB：0，又kAB=kMD=%,2y0X。+2二x0+2xo+2y。=0x22又M(x0,y0)在2y2=1

45、内部，二x$*2y0<2,得x°AT又.OP=OAOB=2OM,x=2x0,y=2y°,代入上式得x22y24x=0(x-2)(方法二)当直线I平行x轴时，P(0,0);当直线J不与x轴平行时，设I:x=my-2,并设A(X1,y1),B(X2,y2),P(x,y),X=my2由22x2二X1+X2=2m,X1X2=-m-2a,22y1y2=(x1+m)(x2+m)=2m-2a,+22=222(m22)y4my2=0(1)22根据=(-4m)-8(m+2)>0.即nf>2，由OP=OAOB及(1)可得y=y1+y2=4mm2-2x=xi+X2=(myi-2

46、)+(my2-2)=-82m22P的坐标为82m22于，消去m得m2+2丿22x+2y+4x=0(-2<x<0).P的轨迹方程为x2+2y2+4x=0(-2<x<0).2. 一条斜率为1的直线与离心率为万的双曲线22-y1(a>0b>>0)，交于P.Q两点,a2b2I与y轴交于点K,且OP*OQ二PQ二KQ，求直线与双曲线的方程解题思路将向量关系式转化为坐标关系式，建立方程组求解.22解答-y1的离心率为、3,o2.2ab22b2=2a2，即双曲线的方程为-y1,a2b2设I的方程为了y=x+m,P(X1,y1),Q(X2,汕,由OPOQ=-3得，x1

47、x2+yly2=-3,由PQ=4KQ得X1=-3X2,y=xm联立lx?y£.a22a2222x-2mx-m-2a=0结合xi=-3x2,得x2=-m,xi=3m22222二xiX2=-3m=-m-2a得m=a解得yiy2=0,xiX2=-3a=-3,/a2=1,m=1,m=±1.2直线l的方程是y=x±l，双曲线的方程是x2y=1.2预测角度2平面向量为背景的综台题1.设过点M(a,b)能作抛物线y=x2的两条切线MAMB切点为AB(1) 求MA«MB;(2) 若MA*MB=0,求M的轨迹方程；(3) 若LAME为锐角，求点M所在的区域.解题思路设切点

48、坐标，利用导数求出切线的斜率，将MAMB，转化为坐标运算，结合韦达定理求解.解答(1)设抛物线上一点P(t,t2),Ty=x2,.y'=2x，切点为P的切线方程是：y-t2=2t(x-t),22它经过点M(a,b),b-t=2t(a-t)，即t-2at+b=0，设其两根为t1、t2,贝U11+t2=2a,11t2=b.设A(t1,t2),B(t2,t2)，则MA=(t1-a,t2-b),mb=(t2-a,t2-b), MA*MB=(t1-a)(t2-a)+(tj-b)(t2-b)利用t1+t2=2a,t1t2=b，消去t1,t2得2MA*MB=(b-a)(4b+1).2(2) 设M(x

49、,y)，则由MA«MB=0,MA«MB=(b-a)(4b+1)得2(y-x)(4y+1)=0，又M在抛物线外部， y<x2y=-，即点M的轨迹方程为y=- 4y+1<0，即点M所在区域为y=-的下方.42.已知0A=(1,1),OB=(1,5),0C=(5,1)若OD=xOA,y=£DB*DC(x,yR)(1) 求y=f(x)的解析式；(2) 把f(x)的图像按向量a=(-3,4)平移得到曲线C,然后再作曲线C,关于直线y=x,的对称曲线G,设点列P1,P2,Pn在曲线G的X轴上方的部分上，点列Q,QQ是X轴上的点列，且厶OQP1,QQP,.4 422

50、(3) 当/AMB为锐角时，MAMB>0,结合(1)中结果有(y-x)(4y+1)>0，而y<x,Q-iQPn都是等边三角形，设它们的边长分别为ai,a2,an,求S=ai+a2+an的表达式.解题思路将DBDCD都用x表示，再利用数量积的坐标运算，可求解(1)，第问关键是找an的递推关系式，进而求an的通项，求S解答(1)OA=(1,1),OB=(1,5),OC=(5,1).OD=xOA=(x,x),DB=(1_x,5_x),DC=(5_x,1_x)二y=1DB4DC=x2-6x522/f(x)=x-6x+5将y=f(x)的图像按a=(-3,4)平移得到曲线C,G:y=x2

51、，而C1关于y=x对称曲线是C2：2y=x，在x轴上方的方程为y=.x,由已知Q-1(Sn-1,0),Pn(Sn-1+lan,-yan又Pn在y=.x上1=Sn2an1两式相减得:4(a21-a2)=2(a+an+1),2、-an+1-an=，又可求彳得3222an(n1)nn333又an+1丰an2a,32c2n(n+1)n+nSn=n323考点高分解题综合训练1已知OA、MB为平面上四点,且OM-OB+(1-入)OA,A(1,2)，贝V()A. 点M在线段AB上B.点B在线段AM上B. 点A在线段BM上D.OA、MB四点共线答案：B解析：由OM=入0B+(1-入)0A，得OM-OA=入(O

52、B-OA),AM=入AB，又入(1,2),点B在线段AM±,选B.152已知ABC中,CB=a,CA=b,ab<0,Saabc=,|a|=3,|b|仁5，贝Ua与b的夹角为()4A.30°B.-150C.150D.30°或150°答案：C解析：&abc=丄|a|.|b|sinC=兰,2 4又|a|=3,|b|=;5sinC=1，又ab=|a|,|b|cosC<0，二C为钝角.2C=150°,又a与b的夹角为C,.a与b的夹角为150°.选C.3已知向量0B=(2,0)，向量0C=(2,2)，向量CA=(.2cosa

53、,2ina)，则向量与向量的夹角范围是()A.0,B.匸,5二4412C.乞,二D:5二1221212答案：D解析：0A=0CCA=(2+,2cosa，2+、2Sina)A点轨迹是以(2，2)为圆心，,2为半径的圆,当OA与圆相切时的两条切线与OB的夹角分别为OA与OB的夹角的最大值与最小值，易得最小值为462，最大值为选D,兀十兀465_12二，4非零向量OA=a,OB=b，若点B关于OA所在直线的对称点为B,则向量OB为()A.2(a*b)*a2a-b|a|C.2(ab)a-b|a|22(a叱)a-b|a|答案：1<i11+11iA解析：设BB与OA交于D,贝yOD=入OA=a,BD

54、=BO+OD=入a-b，由BDOA=(入a-b),a=0,得入=今,|a|2产b2得耐=訓2_忆,解得m»磴.2 ,5-26 ABC中，(sinA+sinB):(sinB十sinC):(2sinC-sinA)=15:20：18,则最大内角等于.答案：120。解析：由已知及正弦定理可得(d+b):(b+c):(2c-a)=15:20：18,不妨设a+b=15k,b+c=20k,2222c-a=18k，解得c=13k，b=7k,a=8k,最大内角为C,且cosC=2-2，.c=120.7 已知A、BC三点共线，0是该直线外一点，设OA=a,OB=b,OC=c,且存在实数m,使ma-3b+c=O成立，求点A分BC所成的比和m的值.答案：解：设A分的比为A,则BA=入AC,所以OA_OB=入(OC_OA),即a-b=入(c-a),即(1+入)a-b-入c=0)，将已知c=3b-ma代入得(1+入+m入)a-(1+3入)b=0，又a与b不共线，1+入+m入=0,1+3入=0,解得入=-1,m=28 一动点m的轨迹方程为(x-1)2+2y=1,A(2,0)，求|OM2AM|2的最大、最小值.答案：解：设M(X0,y0),则OM2AIM=(3X0,-4,3yo),故|OM+2AIM|2=(3xo-4)2+9y