电子技术基础数字部分第二讲2[1].1逻辑代数

1、2 .2 .逻辑代数逻辑代数2.1 2.1 逻辑代数逻辑代数 2.2 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式2.1 逻辑代数逻辑代数2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法逻辑函数的变换及代数化简法2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则1 1、基本公式基本公式交换律：交换律： A + B = B + AA B = B A结合律：结合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C 分配律：分配律：A + BC = ( A + B )( A + C )A ( B + C )

2、= AB + AC A 1 = AA 0 = 0A + 0 = AA + 1 = 10 0、1 1律律：A A = 0A + A = 1互补律：互补律：2.2.1.11.1逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式重叠律重叠律：A + A = AA A = A反演律：反演律：AB = A + B A + B = A BAA BAB() ()ABACABCABAAAABA()吸收律吸收律 其它常用恒等式其它常用恒等式 ABACBCAB + ACABACBCDAB + AC摩根定理摩根定理 2、基本公式的证明例例 证明证明ABA BABA B，列出等式、右边的函数值的真值表列出等式、右边

3、的函数值的真值表( (真值表证明法真值表证明法) )011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A BABA B 2.1.2 逻辑代数的基本规则 代入规则代入规则 ： 在包含变量在包含变量A逻辑等式中，如果用另一逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。则称为代入规则。例例：B (A + C) = BA+BC，用用A + D代替代替A A，得得B (A +D) +C =

4、B(A +D) + BC = BA + BD + BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围 对于任意一个逻辑表达式对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（，若将其中所有的与（ ）换）换成或（成或（+），或（），或（+）换成与（）换成与（）；原变量换为反变量，反）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将变量换为原变量；将1换成换成0，0换成换成1；则得到的结果就是；则得到的结果就是原函数的反函数原函数的反函数。 注意：遵守注意：遵守“先括号、然后乘、最后加先括号、然后乘、最后加”运算优先次序。不属于单个变量上的运算优先次序。不属于单个变量上

5、的反号应保留不变。反号应保留不变。2. 2. 反演规则：反演规则：)(1)(DCBADCB)(AL 0 CDBAL例例2.1.1 试求试求 的非函数的非函数解：按照反演规则，得解：按照反演规则，得 LABAC 对于任何逻辑函数式，若将其中的与（对于任何逻辑函数式，若将其中的与（ ）换成或（）换成或（+），或），或（+）换成与（）换成与（）；并将）；并将1换成换成0，0换成换成1；那么，所得的新的函；那么，所得的新的函数式就是数式就是L的对偶式，记作的对偶式，记作 。 L()()LABAC例例: 逻辑函数逻辑函数 的对偶式为的对偶式为3. 3. 对偶规则：对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，则该恒

6、等式两侧的对偶式也相等。当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式运算公式.“或或-与与”表达式表达式“与非与非-与非与非”表达式表达式 “与与- -或或- -非非”表达式表达式“或非或非或非或非” 表达表达式式“与与- -或或” 表达式表达式 2.1.3 逻辑函数的代数法化简 DCACL DC A C = )DC)(CA( )C+D()CA( DCCA 1 1、逻辑函数的最简与、逻辑函数的最简与- -或表达式或表达式在若干个逻辑关系相同的与在若干个逻辑关系相同的与-

7、 -或表达式中，将其中包含的与项数或表达式中，将其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与- -或表达式。或表达式。2、逻辑函数的化简方法、逻辑函数的化简方法 化简的主要方法：化简的主要方法：公式法（代数法）公式法（代数法）图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）代数化简法：代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 1AA并项法并项法: : CBA CBAL BA)CC(BA 1 AAABBA 吸收法：吸收法： A + AB = A 消去法消去法： BABAA CAB

8、AB CAB 配项法配项法： CA=AB BAFEBCDABAL )(CBAAB)( CBCAABL A+AB=A+BCBCAABL CBAACAAB)( CBACABCA=AB )()(BCACACABAB )CC(DBADBA)DD(ABL DBADBA=AB )(DDBAAB BAAB BAAB BAAB CDBADCBAABDDBADABL 例例2.1.7 已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为，要求：（要求：（1）最简的与）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图

9、。解：解：) B A L AB BA & & & & & CBACBA CBACBA CBACBA B L CBA 1 1 1 A C CBA 1 1 1 CBACBAL 例例2.1.8 试对逻辑函数表达式试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。解：解： CBACBAL 典型例题典型例题l.l.用代数法求用代数法求F=AB+AC+BC+ABCDF=AB+AC+BC+ABCD的最简与或式的最简与或式解解:F=AB+AC+:F=AB+AC+BC+ABCDBC+ABCDAB+AC+AB+AC+B B

10、C (C (吸收吸收) ) AB+(A+B)C=AB+ABC (AB+(A+B)C=AB+ABC (且且ABAB与与ABAB互为反变量互为反变量) ) AB+CAB+C2 2 用代数法求用代数法求F FAD+AD+AB+AC+BD+ACFG+CDEGHAD+AD+AB+AC+BD+ACFG+CDEGH的最简与或式的最简与或式. .解解 F FAD+ADAD+AD+AB+AC+BD+ACFG+CDEGH (+AB+AC+BD+ACFG+CDEGH (合并合并) ) A+ABA+AB+AC+BD+AC+BD+ACFGACFG+CDEGH (+CDEGH (吸收吸收) ) A+AC+BD+CDEGH

11、 A+AC+BD+CDEGH A+C+BD+CDEGH (A+C+BD+CDEGH (吸收吸收) ) A+C+BDA+C+BD解解 在分析时，一般首先对长非号下面的表达式化简，然后再对整个表达式化简。如：在分析时，一般首先对长非号下面的表达式化简，然后再对整个表达式化简。如：3 3 求求F FAC+ABC+BC+ABCAC+ABC+BC+ABC的最简与或式的最简与或式 AC+ABCAC+ABC+BC+BCAC+BC+BC=AC+C=C AC+BC+BC=AC+C=C 故故F FC C4 4 求求F F(A+B+C)(B+BC+C)(DC+DE+DE)(A+B+C)(B+BC+C)(DC+DE+DE)的最简与或式的最简与或式. . 解解 对于这种题型，首先对每个括号内的表达式化简，然后再归纳到整个表达式对于这种题型，首先对每个括号内的表达式化简，然后再归纳到整个表达式中去进行化简。如：中去进行化简。如：第第2 2个括号内表