第四节 有理函数积分ppt课件

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第四节 有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、有理函数的积分 有理函数的形式当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()( 1111) 1(1122223xxxxxxxx1111) 1(1122223xxxxxxxx1111) 1(1122223xxxxxxxx

2、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂（1分母中若有因式 ，则分解后为kax)( ,)()()(2211kkaxAaxAaxA有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为;axA , 1 k则分解后为（2分母中若有因式 , 其中kqpxx)(2 042 qpkkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM)()()(222221211特殊地：, 1 k分解后为;2qpxxNMx （3真分式化为部分分式之和的方法(拼凑法,待定系数法, 赋值法)山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例1. 将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)

3、2(2xxx解解: (1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂(2) 用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx(3) 用待定系数

4、法山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqpuauducd22uauducnd)(22山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂于是 ) 32()() 1(2111222nnnInaxxnaI 解解 当n1时, 用分部积分法, 有例 9 求nnaxdxI)(22 其中 n 为正整数dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122dxaxaaxnaxxnnn)()(1

5、) 1( 2)(222122122解 CaxaaxdxIarctan1221 )(1( 2)(211221nnnnIaInaxxI即dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122 dxaxaaxnaxxnnn)()(1) 1( 2)(222122122山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂解 例1 例 3 求dxxx2) 1(1解 dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122 dxxdxxdxx2) 1(1111Cxxx11| 1|ln|l

6、ndxxdxxdxx2) 1(1111Cxxx11| 1|ln|ln dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|C 例例2 1 求dxxxx6532 解 dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536( dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|C 解 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例3 3 求求.)1)(21(12 dxxx.1515221542xxx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,

7、 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA)1)(21(12xx 整理得解解)1)(21(12xx ,1212xCBxxA 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂dxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx2211511251|21 |ln52.arctan51)1ln(51|21 |ln522Cxxx.1515221542xxx )1)(21(12xx 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例4. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1()

8、 1d(3xxCx21arctan23考虑考虑: 如何求如何求?d)32(222xxxx提示提示: 变形方法同例4, 并利用 P209 例9 . 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂注注: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例6. 求求.d1142xxx解

9、解: 原式原式xxxxd111222dxxxxxd2)1()1(2Cxxxx|2121|ln221Cxxxx|1212|ln22122山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数.可记为 ).cos,(sinxxR令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）uxarctan2 三角函数有理式的

10、积分可化为有理函数积分山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 解解 例例7 例 4 求dxxxx)cos1 (sinsin1 解 令2tanxu 则 duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1 Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212 212sinuux 2211cosuux Cxxx|2tan|ln212tan2tan412 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 注: 并非所

11、有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换. Cxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cosCxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cosCxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cos 例例8 例例9. 9. 求求.)0(cossind2222badxxbxax解解: : dx 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积

12、分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂duuuduuuxdx111331121223 解解 例例10 例 6 求321xdx Cuuuduuu|)1 |ln2( 3)111(32Cxxx|21 |ln23) 2(233332 Cuuuduuu|)1 |ln2( 3)111(32 ux32设即xu32 那么 duuuduuuxdx111331121223duuuduuuxdx111331121223山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例11. 求求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数取根指数 2 , 3 的的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx|1 |ln6632663令tttd163tttd11)