第8章非线性系统

1、自动控制原理 第8章非线性系统自动化、电气专业最重要的专业基础课之一自动化、电气专业最重要的专业基础课之一2第第8章章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析n8-1 非线性系统概述非线性系统概述n8-2 常见非线性特性及其影响常见非线性特性及其影响n8-3 相平面法相平面法n8-4 描述函数法描述函数法n8-5 逆系统法（自学）逆系统法（自学）38-1 非线性系统概述非线性系统概述n1.研究非线性的意义研究非线性的意义非线性是宇宙间的普遍规律非线性是宇宙间的普遍规律实际系统基本上都是非线性的（动态和静态）实际系统基本上都是非线性的（动态和静态）线性只是理想情况，在非线性不严重的情况下线性只是理

2、想情况，在非线性不严重的情况下可以用线性近似可以用线性近似非线性系统的运动形式多样，种类繁多非线性系统的运动形式多样，种类繁多很多明显严重的非线性是不能近似的很多明显严重的非线性是不能近似的4非线性实例：非线性实例：1) 某些典型非线性环节某些典型非线性环节饱和特性；饱和特性；死区特性；死区特性；继电特性等继电特性等饱和特性饱和特性xy0aa0kxy0aa0k死区特性死区特性继电特性继电特性xy0MMaa5n2. 非线性系统的数学模型非线性系统的数学模型f,g为非线性函数n3. 非线性系统的处理手段非线性系统的处理手段当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，当系统中含有一个或多个具有非线

3、性特性的元件时，该系统称为非线性系统。其数学模型一般表为：该系统称为非线性系统。其数学模型一般表为：有些可以近似为线性系统，以简化处理：有些可以近似为线性系统，以简化处理：当非线性程度不严重时，忽略非线性特性的影响；当非线性程度不严重时，忽略非线性特性的影响；在系统的工作点附近，用小偏差法将非线性模型线性化。在系统的工作点附近，用小偏差法将非线性模型线性化。非线性系统千差万别，对于非线性系统目前还没有普遍非线性系统千差万别，对于非线性系统目前还没有普遍适用的处理方法适用的处理方法64. 非线性系统的特征非线性系统的特征n根本特征：不能应用叠加原理根本特征：不能应用叠加原理n1）稳定性分析复杂）

4、稳定性分析复杂线性系统只有线性系统只有一个平衡（稳定）状态一个平衡（稳定）状态，一般为，一般为原点。非线性系统可能有原点。非线性系统可能有多个平衡状态，多个平衡状态，稳定稳定性与平衡状态相联系性与平衡状态相联系稳定性不仅取决于系统的结构参数，还与外作稳定性不仅取决于系统的结构参数，还与外作用形式和幅值以及系统的初始状态有关用形式和幅值以及系统的初始状态有关。2xxx【例例8.1.1】非线性系统方程为非线性系统方程为分析其平衡状态。分析其平衡状态。7解微分方程，得解微分方程，得ttexxextx0001)(0100texx由由1ln00 xxt120(1)00,1xxx xxx其平衡状态为其平衡

5、状态为 设设t=0时状态初值为时状态初值为0 x) 1( xxx 0 x 1 当当 且且 时时10 x1ln00 xxt随随 增大到无穷大增大到无穷大xt所以，所以， 是不稳定平衡点是不稳定平衡点12x82 当当 时时10 x, 0 x 随随 增大而减小至增大而减小至0 xt且且 时时 ，0 x0 x 所以，所以， 是稳定平衡点是稳定平衡点01x(1),xx x 当当 时时00 x, 0 x 随随 增大而增大至增大而增大至0 xt9n2) 可能出现自激震荡现象可能出现自激震荡现象n自激振荡自激振荡：指在没有外界周期变化信号的：指在没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频作用时

6、，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。率的稳定周期运动，简称自振。自振是非线性系统特有的现象自振是非线性系统特有的现象线性系统只有在临界稳定时才会出现周期振线性系统只有在临界稳定时才会出现周期振荡，但不是自激振荡荡，但不是自激振荡10考虑范德波尔（考虑范德波尔（ van der pol ）方程）方程0, 0)1 (22xxxx 描述的是具有非线性阻尼的非线性二阶系统描述的是具有非线性阻尼的非线性二阶系统当当 时，时， 系统具有负阻尼，状系统具有负阻尼，状态发散态发散1x0)1 (22x当当 时，时， 系统具有正阻尼，状系统具有正阻尼，状态收敛态收敛1x0)1 (22x当当

7、时，时， 系统具有零阻尼，系系统具有零阻尼，系统统周期振荡周期振荡1x0)1 (22x所以，该系统从任何初始状态开始，都会出现自振所以，该系统从任何初始状态开始，都会出现自振111, 0)1 (22xxxx 不同初值的仿真计算不同初值的仿真计算051015202530-4-3-2-10123x0=2x0=-3x0=0.5：不同的初值都出现自振：不同的初值都出现自振u一般情况下系统不允许自振，但有时利用高频小振幅自振克一般情况下系统不允许自振，但有时利用高频小振幅自振克服系统的间隙、死区等对系统的不良影响，提高系统的精度。服系统的间隙、死区等对系统的不良影响，提高系统的精度。u振荡器利用自振产生

8、确定频率和振幅的振荡信号。振荡器利用自振产生确定频率和振幅的振荡信号。u研究自振产生的条件，确定自振的频率和周期是非线性系统研究自振产生的条件，确定自振的频率和周期是非线性系统分析的重要内容。分析的重要内容。12n3）频率响应发生畸变）频率响应发生畸变在正弦信号作用下的稳态输出不一定是正弦信在正弦信号作用下的稳态输出不一定是正弦信号。号。对于多值非线性环节，各次谐波分量的幅值可对于多值非线性环节，各次谐波分量的幅值可能跃变能跃变n3.非线性系统的分析设计方法非线性系统的分析设计方法 相平面法相平面法 时域分析法的推广利用相平面图的图解分析法。 仅适用于一阶和二阶系统。13 描述函数法描述函数法

9、 频域分析法的推广图解分析法。 对非线性特性进行谐波线性化处理。 适用于系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 分析系统的稳定性，确定自激振荡。 逆系统法逆系统法 运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统 设计外环控制网络 直接研究非线性控制问题，不必求解运动方程 一种有前途的非线性系统研究方向148-2 常见的非线性特性常见的非线性特性n1. 等效增益等效增益定义：非线性特性定义：非线性特性y=f(x)的输出与输入的比值的输出与输入的比值理想放大器为比例环节，其增益为常数。理想放大器为比例环节，其增益为常数。非线性环节的等效增益随输入信号变化，可视非线性环节的等效增益随输入信号变化，可视为为变

10、增益比例环节变增益比例环节。15n2.典型环节的等效增益典型环节的等效增益 继电特性继电特性 继电器、接触器、开关等 死区特性死区特性 测量原件、执行机构的不灵敏区造成 饱和特性饱和特性 放大器、执行机构受电源电压及功率限制导致饱和现象16 间隙特性间隙特性(滞环特性滞环特性) 齿轮间隙、磁滞效应等。间隙特性为非单值函数。 摩擦特性摩擦特性 机械传动机构中普遍存在。173. 常见非线性因素对系统运动的影响常见非线性因素对系统运动的影响 继电特性继电特性 使系统产生自振18 死区特性死区特性 使系统存在稳态误差 饱和特性饱和特性 实际系统不会出现幅值到无穷大的发散运动19 间隙特性间隙特性(滞环

11、特性滞环特性) 由于死区，降低系统的精度 非单值函数，在运动方向变化时不驱动负载，导致能量积累 通过间隙后，积蓄的能量释放使负载运动加剧 通常会造成系统自振 对系统性能不利，尽量消除。 摩擦特性摩擦特性 造成系统在低速运动时的不平滑性，呈跳跃式变化。 静摩擦到动摩擦的跳变产生 对系统性能不利208-3 相平面法相平面法1 相平面的基本概念相平面的基本概念设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述),(xxfx 1885年，庞加莱提出相平面法年，庞加莱提出相平面法称为系统运动的相变量称为系统运动的相变量)(),(txtx为横坐标，为横坐标， 为纵坐标的平面称为为

12、纵坐标的平面称为相平面相平面)(tx)(tx 0:),(),(tttxtx构成的曲线称为相轨迹构成的曲线称为相轨迹2122n3.相轨迹的绘制相轨迹的绘制n1）解析法）解析法找出找出 和和 的关系的关系,用求解微分方程的办法找出用求解微分方程的办法找出的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹，x x2324),(xxfx xx ( , )dxxdtdxxf x xdt如果以如果以和和作为变量，则可有作为变量，则可有xxxfdxxd),(用第一个方程除第二个方程有用第一个方程除第二个方程有b）直接积分法）直接积分法dxxdxdtdxdxxddtxdx ),(xxfdxx

13、dx或者或者25dxxhxdxg)()(可分解为可分解为 xxxxdxxhxdxg)()(则由则由 xx和 的解析关系00 xx 和 为初始条件可找出可找出，xxxfdxxd),(26【例例8.2.1】绘制如下系统的相轨迹绘制如下系统的相轨迹0 xx 初值为初值为00)0(,)0(xxxx解：微分方程改写为解：微分方程改写为xdxxdxdtdxdxxddtxdx 两边分别求积分，得两边分别求积分，得)(212020 xxxdxxx)(212020 xxxdxxxdxxxdx)(202022xxxx27)(202022xxxx该方程表示的相轨迹是一个圆，且圆的半径与状态初值有关xx ),(00

14、xx-3-2-10123-3-2-10123x1x228-3-2-10123-3-2-10123x1x2如果能确定相平面的相轨迹切线方向场，如果能确定相平面的相轨迹切线方向场，则很容易绘制对应系统的相轨迹曲线。则很容易绘制对应系统的相轨迹曲线。2）等倾线法）等倾线法29 等倾线法的基本思想：等倾线法的基本思想：首先确定相轨迹的首先确定相轨迹的等倾线等倾线，然后绘制相轨迹的然后绘制相轨迹的切线方向场切线方向场，最后由初始条件出，最后由初始条件出发，沿方向场逐步发，沿方向场逐步绘制相轨迹绘制相轨迹。等倾线：等倾线：相平面上具有相同相轨迹切线斜率的点相平面上具有相同相轨迹切线斜率的点 的连线。的连线

15、。dxxdxdtdxdxxddtxdx ( , )dxxf x xdxxx该方程给出了相轨迹在相平面上任一点的切线斜率该方程给出了相轨迹在相平面上任一点的切线斜率),(xxfx 设二阶系统微分方程可以写为设二阶系统微分方程可以写为30k取相轨迹切线斜率相轨迹切线斜率为某一常数，则),(xxfx 等倾线方程由初始点出发，将相邻等倾线上的线段连接起来，即构成相轨迹。xxxfdxxd),(31使用等倾线法应注意：使用等倾线法应注意：1）横坐标和纵坐标应采用相同的比例尺）横坐标和纵坐标应采用相同的比例尺2）在上半平面，由）在上半平面，由于于 ，所以，所以x随随t增大增大而增大，相轨迹走向而增大，相轨迹

16、走向从从左至右左至右在下半平面，在下半平面， ,x随随t增增大而减小，相轨迹走向大而减小，相轨迹走向从右至左从右至左0 x 0 x k323）除系统平衡点外，相轨迹与）除系统平衡点外，相轨迹与x轴垂直相交轴垂直相交4）等倾线越密，相轨迹越准确。）等倾线越密，相轨迹越准确。可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线斜率的平可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线斜率的平均值为两条等倾线之间直线的斜率均值为两条等倾线之间直线的斜率),(xxfx xxxf),(与与x轴相交时轴相交时 ，若，若 则则0 x 0),(xxf所以，除系统平衡点外，相轨迹与所以，除系统平衡点外，相轨迹与x轴垂直相交轴垂直相交33xx

17、11故等倾线方程为故等倾线方程为0 xxx 1)0(x 0)0(x例例8-2-2 8-2-2 试绘制其相轨迹试绘制其相轨迹已知某二阶系统已知某二阶系统xxdxxdxx xxxdxxd解：（解：（1 1）等倾线方程）等倾线方程34xx1111tgk该等倾线该等倾线显然为直线，显然为直线， 其斜率为其斜率为等倾线方程等倾线方程tgk对应的相轨迹经过该等倾线的斜率，即切线斜率：对应的相轨迹经过该等倾线的斜率，即切线斜率：为等倾线与为等倾线与x轴的夹角轴的夹角为为相轨迹切线相轨迹切线与与x轴的夹角轴的夹角的含义？的含义？35190 arctg45) 1( arctg当当 时时11tgktgk2451

18、arctg4 .63)2( arctg当当 时时xx123694215 . 002 . 04 . 011435 . 228 . 16 . 14 . 12 . 17 . 53 .114 .186 .266 .33453 .51597 . 54 .186 .267 .33453 .51592 .687 .783 .84764 .63456 .2603 .118 .218 .84766 .712 .684 .6361584 .5450 xxa=-1a=-2a=a=0a=11)0(x 0)0(x37（1）线性一阶系统的相轨迹）线性一阶系统的相轨迹3. 线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹11dccccdt

19、TcT 3839（2） 二阶系统的相轨迹二阶系统的相轨迹0)()()(tbctcatc 二阶系统的运动方程为二阶系统的运动方程为当当 ，可以表示为，可以表示为0b0)()(2)(2tctctcnn )()()(),()(tbctcatctcftc babn2,其中其中124222, 1nnbaas其特征根为其特征根为40相轨迹微分方程为相轨迹微分方程为( )( )( ( ), ( )( )( )( )( )( )( )dc tc tf c t c tac tbc tdc tc tc tc t0)()(2)(2tctctcnn k)()()()()(tctbctcatdctcd令令得等倾线方程为

20、得等倾线方程为)()()(tkcatbctc其中其中,k为等倾线斜率为等倾线斜率为相轨迹上一点处切线的斜率为相轨迹上一点处切线的斜率41)()()(tkcatbctc在上式中，令在上式中，令0, 042bba可得满足可得满足 的两条特殊的的两条特殊的等倾线等倾线，其斜率为，其斜率为kkcakbc02bakk当当 时时k特殊等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一特殊等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的斜率，即当相轨迹运动到特殊等倾线上时，将沿着点的斜率，即当相轨迹运动到特殊等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。124222,

21、12, 12, 1nnbaask421）b0当当b0时，系统特征根为时，系统特征根为024, 0242221baasbaas讨论二阶系统的相轨迹讨论二阶系统的相轨迹0)()()(tbctcatc 43 两条特殊的等倾两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其他线是相轨迹，也是其他相轨迹的渐近线，将平相轨迹的渐近线，将平面分为面分为4个区域。个区域。当初始条件位于当初始条件位于csc2系统趋向于原点，但是只要受到极其微小的扰动，系统趋向于原点，但是只要受到极其微小的扰动，系统将沿着系统将沿着 对应的相轨迹方向发散至无对应的相轨迹方向发散至无穷。穷。所以，所以，b0时，系统收敛时，系统收敛a0ba2取取（1

22、）分情况讨论分情况讨论此时，特征根为具有此时，特征根为具有负实部的共轭复根，负实部的共轭复根，系统衰减振荡。系统衰减振荡。从相轨迹上也可以看从相轨迹上也可以看出系统是稳定的出系统是稳定的122, 1nns1046（2）1, 12221nnnnss系统零输入响应为非振荡衰减系统零输入响应为非振荡衰减存在两条特殊等倾线，斜率为存在两条特殊等倾线，斜率为12211, 0ksksk当初始点落在特殊等倾当初始点落在特殊等倾线上时，将沿直线趋于线上时，将沿直线趋于原点，除此之外，相轨原点，除此之外，相轨迹沿着迹沿着s1c(t)的方向收敛的方向收敛于原点。于原点。147（3）特征根为两个相等的负实根特征根为

23、两个相等的负实根相轨迹的渐近线退化为相轨迹的渐近线退化为一条一条不同初始条件的根轨迹不同初始条件的根轨迹都沿着这条特殊的等倾都沿着这条特殊的等倾线趋于原点线趋于原点ns2, 1122, 1nns148（4）njs2, 1系统有一对纯虚根系统有一对纯虚根系统运动为系统运动为等幅振等幅振荡运动荡运动，相轨迹为，相轨迹为一簇椭圆一簇椭圆21,21nns 020ncc49（5）系统有一对具有正实系统有一对具有正实部的共轭复根，系统部的共轭复根，系统不稳定，发散不稳定，发散122, 1nns0150（6）系统有两个正实特征根，系统有两个正实特征根，系统不稳定系统不稳定112221nnnnss11 时，有

24、两条特时，有两条特殊等倾线殊等倾线 时，有一条特时，有一条特殊等倾线殊等倾线111514. 奇点和奇线奇点和奇线（1）奇点）奇点xxxfdxxd),(相轨迹上每一点的切线斜率为相轨迹上每一点的切线斜率为00dxxd使使成立的点称为相平面的成立的点称为相平面的奇点奇点奇点一定位于横轴上，因为奇点一定位于横轴上，因为0 x 奇点处奇点处0),(, 0 xxfxx 系统处于稳定状态，所以系统处于稳定状态，所以奇点奇点也是也是稳定点稳定点位置位置?52奇点类型奇点类型1）焦点焦点：特征根具有：特征根具有负实部的共轭复根负实部的共轭复根，奇点为，奇点为稳稳定焦点定焦点；当特征根具有；当特征根具有正实部的

25、共轭复根正实部的共轭复根时，奇点时，奇点为为不稳定焦点不稳定焦点0110稳定焦点稳定焦点不稳定焦点不稳定焦点532）节点节点：当特征根具有：当特征根具有两个负实根两个负实根，奇点为，奇点为稳定节点稳定节点；当特征根具有；当特征根具有两个正实根两个正实根，奇点为，奇点为不稳定节点不稳定节点11稳定节点稳定节点不稳定节点不稳定节点543）鞍点鞍点：当特征根一个为：当特征根一个为正实根正实根，一个为，一个为负负实根实根时，奇点为鞍点时，奇点为鞍点0240242221baasbaasb=0时时55xxxxfxxxxfxxxxx )0,0()0,0(),(),(若若 解析，设解析，设 为系统的某个奇点为

26、系统的某个奇点),(xxf),(00 xx可在奇点处线性化为可在奇点处线性化为实奇点实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内：奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外：奇点位于对应的线性工作区域外若若 不解析，可分段线性化不解析，可分段线性化),(xxf56【例例8.2.1】非线性系统微分方程为非线性系统微分方程为025 . 02xxxx 试求系统奇点，并判断奇点类型试求系统奇点，并判断奇点类型解：解：xxxxdxxd)25 . 0(212120200 xxxx 00dxxd令令得两个奇点得两个奇点)25 . 0(),(2xxxxxfx 所以系统相轨迹微分方程为所以系

27、统相轨迹微分方程为575 . 0),(, 2),()0,0()0,0(xxxfxxxf在奇点在奇点(0,0)处处025 . 0 xxx 得特征根得特征根39. 125. 02, 1js故奇点故奇点(0,0)为稳定焦点为稳定焦点)25 . 0(),(2xxxxxf585 . 0),(, 2),()0, 2()0, 2(xxxfxxxf在奇点在奇点(-2,0)处处025 . 0 xxx 得特征根得特征根69. 119. 121ss故奇点故奇点(-2,0)为鞍点为鞍点)25 . 0(),(2xxxxxf59（2）奇线奇线 多个奇点共同作用，会产生特殊的相轨迹，多个奇点共同作用，会产生特殊的相轨迹，称

28、为奇线，将相平面划分为具有不同运动特点称为奇线，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域的多个区域 常见的奇线是常见的奇线是极限环极限环。极限环把相平面的。极限环把相平面的某个区域划分为内部平面和外部平面某个区域划分为内部平面和外部平面60极限环类型极限环类型1）稳定的极限环稳定的极限环：邻近范围内的相轨迹均卷向：邻近范围内的相轨迹均卷向极限环，其内部外部均为极限环的稳定区域。系极限环，其内部外部均为极限环的稳定区域。系统沿极限环的运动表现为自激振荡。统沿极限环的运动表现为自激振荡。xx tx稳定的自激振荡稳定的自激振荡612）不稳定的极限环不稳定的极限环：邻近范围内的相轨迹均卷：邻近范围内的

29、相轨迹均卷离极限环，邻近区域为极限环的不稳定区域。离极限环，邻近区域为极限环的不稳定区域。xx tx不稳定极限环所表示的周期运动是不稳定的，状不稳定极限环所表示的周期运动是不稳定的，状态只要受到微小扰动就会使状态脱离极限环态只要受到微小扰动就会使状态脱离极限环扰动后不出现自激振荡扰动后不出现自激振荡623）半稳定的极限环半稳定的极限环：内部卷向极限环外部卷离：内部卷向极限环外部卷离极限环，或外部卷向极限环内部卷离极限环极限环，或外部卷向极限环内部卷离极限环xx xx 内部为稳定区域，外部为不稳内部为稳定区域，外部为不稳定区域定区域内部起始出现自振，外部起始内部起始出现自振，外部起始不出现自振不

30、出现自振内部为不稳定区域，外部为内部为不稳定区域，外部为稳定区域稳定区域内部起始不出现自振，外部内部起始不出现自振，外部起始出现自振起始出现自振635.非线性系统相平面分析非线性系统相平面分析常见非线性特性不能采用线性化方法。常见常见非线性特性不能采用线性化方法。常见非线性特性曲线的折线构成了相平面的分界线，非线性特性曲线的折线构成了相平面的分界线，称为称为开关线开关线【例例8.2.2】具有死区特性的非线性控制系统具有死区特性的非线性控制系统)( 1)(tRtr输入输入初始状态为零初始状态为零64对于连续环节写微分方程)()()(tKmtctcT ) 1()()(TssKsMsC)(,)()(

31、, 0)(,)()(tetektetetektm非线性环节特性为65误差表示为误差表示为)()()(tctrte)()()(tKmtctcT 代入代入)()()(tetrtc所以所以)()()()()(tKmtetrtetrT 0)()()(tKmteteT 整理得整理得0)()(trtr 因为因为66)(,)()(, 0)(,)()(tetektetetektm非线性环节将相平非线性环节将相平面分为三个区域面分为三个区域0)()()(tKmteteT 为便于分析，取为便于分析，取 作为状态变量作为状态变量)(),(tete区域区域0)(eKkeeT 0eeT 0)(eKkeeT )(te)(

32、te)(te区域区域区域区域67区域0)(eKkeeT 0eeT 0)(eKkeeT )(te)(te)(te区域区域ee,为死区特性的转折点，也就是相平面的开关线ee 0相平面分为三个区域，每个区域有不同的模型方程68区域0)(eKkeeT 0eeT 0)(eKkeeT )(te)(te)(te区域区域将上述方程中状态变量e(t)进行平移，得区域0)()()(eKkeeT0eeT 0)()()(eKkeeT)(te)(te)(te区域区域69若给定参数1, 1KkT得区域0)()()(eee0ee 0)()()(eee)(te)(te)(te区域区域区域、特征方程相同，为0 xxx ()dx

33、xxdxx相轨迹微分方程为奇点为)0 , 0(),(xx 70对于区域、的特征方程0 xxx 特征根为2312, 1jx所以，区域的奇点(-,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线(=0.5)区域的奇点(,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线(=0.5)0)()()(eee0)()()(eee区域区域710ee )(te区域eedeed相轨迹微分方程为所以，奇点为),(),0 ,(),(eeee 所以，区域的相轨迹沿直线收敛且特征根为1, 021xx1a72零初始条件Rtr)(0)0(, 0)0(cc状态初始条件0)0()0()0()0(eRcre相轨迹分为三个区域，运动形式由该区域的线性微分方程的

34、奇点类型决定相轨迹在开关线上改变运动形式，系统存在稳态误差738-4 描述函数法描述函数法n达尼尔达尼尔(P.J. Daniel)1940年提出描述函数法年提出描述函数法n描述函数法基本思想描述函数法基本思想：系统满足一定条件时，系统中的非线性环节在正弦信系统满足一定条件时，系统中的非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的非线性环节的近似等效频率特性近似等效频率特性，即描述函数。，即描述函数。n描述函数法的应用：描述函数法的应用：1）分析无外作用时，非线性系统的）分析无外作用时，非线性系统的稳定性和自振问题稳定性

35、和自振问题2）不受系统阶次限制不受系统阶次限制3）只能给出频率响应特性）只能给出频率响应特性741.傅立叶级数n周期为T的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里赫莱条件，则f(t)可展开如下的傅氏级数01( )(cossin)2nnnaf tan tan t/2/22( )cos()TnTaf tn t dtT), 2 , 1(n/2/22( )()TnTbf t sin n t dtTT2称为角频率称为角频率(0,1,2,)n 其中其中75/ 2/ 2022( )cos()( )cos()TTnTaf tn t dtf tn t dtTT/2/2022( )()( )()TTnTbf t si

36、n n t dtf t sin n t dtTT因为周期函数因为周期函数f(t)的周期为的周期为T，所以，所以,/xtdxdtdtdx令则或002022( )cos()( )cos()1( )cos()TTnaf tn t dtf tnx dxTTf tnx dx20021( )()( )()Tnbf t sin n t dtf t sin nx dxT762 描述函数的基本概念描述函数的基本概念1） 描述函数的定义描述函数的定义设非线性环节输入输出模型描述为设非线性环节输入输出模型描述为)(xfy 设非线性环节输入为正弦信号设非线性环节输入为正弦信号tAtxsin)(对稳态输出进行谐波分析，

37、展开为对稳态输出进行谐波分析，展开为傅里叶级傅里叶级 数数，可得，可得1010)sin()sincos()(nnnnnntnYAtnBtnAAty77其中，其中，为直流分量为直流分量为为n次谐波次谐波)sin(nntnYnnnnnnBAarctgBAY,22转换关系转换关系nnBA ,为傅里叶系数为傅里叶系数200)()(21tdtyA20)(cos)(1ttdntyAn20)(sin)(1ttdntyBn), 2 , 1(n78若若 ， 且且 时，时， 均很小均很小00A1nnY则可以用一次谐波近似表示则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应非线性环节的正弦响应)sin(sincos)(

38、1111tYtBtAty非线性环节稳态输出中非线性环节稳态输出中一次谐波分量一次谐波分量和输入信和输入信号的复数比定义为号的复数比定义为非线性环节的描述函数非线性环节的描述函数tAtxsin)(1()1111111111( )( )jj N AYYcosjYsinN AN A eeAABjAAarctgAB其中79试求其描述函数试求其描述函数解：解：80812. 一些性质一些性质1）一般情况下，）一般情况下，N(A)是是A和和的函数的函数 若非线性环节无储能元件，则若非线性环节无储能元件，则N(A)只是只是A的函数的函数2）如果）如果非线性环节非线性环节为输入为输入x的奇函数，即的奇函数，即)

39、(xfy )()(xfxf满足满足则则非线性环节的正弦响应是关于非线性环节的正弦响应是关于t的的奇对称函数奇对称函数)()sin()(tytAfty82证明：证明：)()sin()(tytAfty即：即：83（1）对直流分量而言）对直流分量而言证明：证明：84（2）85y(t)t2t1t2863 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数典型非线性环节一般是典型非线性环节一般是奇函数奇函数，且具有分段线性特性，且具有分段线性特性【例例8.3.1】计算如图所示继电特性的描述函数计算如图所示继电特性的描述函数xy0MM解：继电特性的特性方程为解：继电特性的特性方程为0,0, 00,)(xMx

40、xMxfy继电特性函数为奇函数，因为继电特性函数为奇函数，因为)()(xfxf所以所以00A87xy0MM)(tyt0)(tx2( )x t当 时( )( sin),00,2y tf AtMttMttAxsin88当 时,0( )(sin)0,2Mty tf AttMttAxsin2, 00,)sin()(tMttMtAfty)()(tyty所以，所以，y(t)为奇函数为奇函数01A89MMtMttdMttdtyB4)0cos(cos2)cos(2 )(sin2)(sin)(100201AMABAN4)(1继电非线性的描述函数继电非线性的描述函数90 xf(x)y(t)9192(1)(1)(2

41、)(2)93 描述函数的物理意义描述函数的物理意义 线性系统的频率特性线性系统的频率特性 是频率是频率的函数，的函数，而与而与输入正弦信号幅值无关输入正弦信号幅值无关)(jG 在无储能元件的情况下，在无储能元件的情况下，非线性环节的描述非线性环节的描述函数是输入正弦信号幅值函数是输入正弦信号幅值A的函数的函数N(A)，描述函数，描述函数可以认为是输入幅值可以认为是输入幅值A的的复变增益放大器复变增益放大器941. 非线性系统描述函数法分析的应用条件非线性系统描述函数法分析的应用条件1）系统简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环）系统简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式连接的

42、典型结构形式0)(tr)(tc)(tx)(ty( )N A)(sG4 非线性系统稳定性分析的描述函数法非线性系统稳定性分析的描述函数法953）系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性，可）系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性，可将高次谐波分量大大削弱，闭环通道内近似只有一次将高次谐波分量大大削弱，闭环通道内近似只有一次谐波通过，从而保证描述函数法的结果比较准确谐波通过，从而保证描述函数法的结果比较准确2）非线性环节的输入输出特性）非线性环节的输入输出特性f(x)应是应是x的奇函数，的奇函数，即即 ,或者或者y(t)为奇对称函数，以保证非为奇对称函数，以保证非线性环节的正弦响应不含有直流分量，即

43、线性环节的正弦响应不含有直流分量，即)()(xfxf00A960)(tr)(tc)(tx)(ty)(AN)(sG非线性系统整理为如下的典型结构，用描述非线性系统整理为如下的典型结构，用描述函数函数N(A)近似表示非线性环节近似表示非线性环节若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统1.变增益线性系统的稳定性分析变增益线性系统的稳定性分析97变增益系统如图变增益系统如图)(tr)(tc)(te

44、K)(sGK 为比例环节增益为比例环节增益设设G(s)的极点均位于的极点均位于s左半平面，即左半平面，即P=0闭环系统特征方程的频率特性为闭环系统特征方程的频率特性为0)(1jGK98j002NPZG10)(1jGK或写为或写为01)(jKjG（1）若）若K=1，为常值，则简化为普，为常值，则简化为普通的通的Nyquist稳定性判断问题，只要稳定性判断问题，只要则系统稳定，即则系统稳定，即 曲线不包围曲线不包围(-1,j0)点点G（2）若）若K为其它常值，则为根据为其它常值，则为根据 曲线曲线 围绕情况稳定性判断问题围绕情况稳定性判断问题对对(-1/K,j0)点点G99j0G11K01)(jK

45、jG（3）若）若K是变化的，是变化的，如如21K21KKK则则 为实轴上的一段直线为实轴上的一段直线)0,1(jK若若 不包围这段曲线，则系统稳定，否则系不包围这段曲线，则系统稳定，否则系统不稳定统不稳定G1002.应用描述函数分析非线性系统的稳定性应用描述函数分析非线性系统的稳定性0)(tr)(tc)(tx)(ty)(AN)(sG用描述函数用描述函数N(A)近似表示非线性环节的系统如图近似表示非线性环节的系统如图系统特征方程为系统特征方程为0)()(1jGAN0)(1)(jANjG即即)(1AN称为非线性环节的负倒描述函数称为非线性环节的负倒描述函数101曲线和曲线和 曲线曲线在复平面上分别

46、绘制在复平面上分别绘制)(1ANGj0)(jG)(1AN图图A(1)两条曲线不相交两条曲线不相交两条曲线不相交，表明特两条曲线不相交，表明特征方程征方程0)()(1jGAN无实数无实数解解则闭环系统不稳定，振幅则闭环系统不稳定，振幅A会增大会增大曲线包围曲线包围 曲线曲线)(1AN)(jG如果如果102j0)(jG)(1AN图图B所以，闭环系统稳定，振幅所以，闭环系统稳定，振幅A会减小会减小曲线不包围曲线不包围 曲线曲线)(1AN)(jG如果如果103非线性系统稳定判据非线性系统稳定判据若若 曲线不包围曲线不包围 曲线曲线,则系统稳定则系统稳定)(1AN)(jG若若 曲线包围曲线包围 曲线曲线

47、,则系统不稳定则系统不稳定)(1AN)(jG104【例例8.3.2】非线性系统如图，分析系统的稳定性非线性系统如图，分析系统的稳定性)(tr)(tc)(tx)(ty) 14)(1(10sssxy115 . 0k解：对于线性环节来说解：对于线性环节来说21x8)(xjGsssssssG2325410)154(10)()14(510)(5)(410)(2223jjjjjG105AMkAN41)(1所以，所以，21)(1,0)0(1kNNj0)(jG)(1AN82曲线包围曲线包围 曲线曲线G)(1AN所以，闭环系统不稳定所以，闭环系统不稳定查表（查表（P.380）得非线性环节描述函数为）得非线性环节

48、描述函数为AMkAN4)(106(2)两条曲线相交两条曲线相交若若 曲线和曲线和 曲线相交，表明方程曲线相交，表明方程)(1AN)(jG0)()(1jGAN有实数有实数解，则系统存在无外力作用的周期运动。解，则系统存在无外力作用的周期运动。两曲线相交时两曲线相交时1()()GjNA )()()(1)(ANjGANjG任意交点任意交点实轴交点实轴交点1()( )G jN A 107由此可解得两曲线相交处的频率由此可解得两曲线相交处的频率和幅值和幅值A。系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡。等幅振荡。使下式成立使下式成立或或对应着一个对应着一

49、个正弦周期运动正弦周期运动。若系统扰动后，上述周期运动经过一段时间，振若系统扰动后，上述周期运动经过一段时间，振幅仍能恢复幅仍能恢复 ，则具有这种性质的周期运动，则具有这种性质的周期运动，称为称为自激振荡自激振荡。便有便有没有外界周期变化信号的作用没有外界周期变化信号的作用108系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡等幅振荡tAtxsin)(稳定的周期运动稳定的周期运动：外界小扰动作用使系统偏离周：外界小扰动作用使系统偏离周期运动，当扰动消失后，系统的运动仍能恢复原期运动，当扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动。周期运动。（自激振荡）自激振荡）没有外界周期变化信号的作用没有外界周期变化信号的作用109图图A：交点标记为：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为交点处周期运动振幅为A0j0)(jG)(1AN0N图图A1N2N假设系统受小的扰动，使假设系统受小的扰动，使01AAA所以，振幅将增大到所以，振幅将增大到A0因为因为 曲线包围曲线包围 曲线，系统不稳定曲线，系统不稳定)(1AN)(jG若若02AAA系统稳定，所以振幅衰减至系统稳定，所以振幅衰减至A0所以所以N0点的周期运动是稳定的点的周期运动是稳定的110j0)(jG)(1AN0N图图B1N2N图图B： 交点处周期运动振幅为交点处