高考数学总复习专题5.3 立体几何与空间向量（解析版）新课标试卷

1、专题5.3 立体几何与空间向量题组一、线面角的计算1-1、(2022江苏金陵中学期中)如图，在三棱锥中，底面，（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小【解析】（1）因为底面，所以，又，所以，又，为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）解法一：由（1）可知，为二面角的平面角，所以，又，所以，过点作于，则平面且为中点，连接，则为直线与平面所成的角，在中，所以，故，所以直线与平面所成的角为60解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得，设，（），则，因，所以，解得，所以，故，设平面的法向量为，因为，由，得，令，则，所以为平面的

2、一个法向量，所以，故直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角为601-2、（2022山东泰安高三期末）如图1，在等腰直角中，分别为的中点，将沿直线翻折，得到如图2所示的四棱锥，若二面角的大小为，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】 设的中点为N，连接.又M为的中点， M，N，C，D四点共面又即为二面角的平面角，又， 为正三角形， 又，平面平面.（2）以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，设为平面的法向量，则即：令，解得，则设直线与平面所成的角为，则直线与平面所成角的正弦值为1-3、（2022山东日照高三期末

3、）如图所示，在三棱台中，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【解析】：（1）证明：取的中点，连接，由三棱台的性质知四边形是梯形，因为是的中点，是的中点.所以，因为平面，平面，所以平面，因为是的中点，是的中点所以为，因为平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）因为，所以平面，在平面内过点作交于，则，两两垂直，以为原点，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，则，设平面的法向量，因为，所以由得取，得，设平面的法向量，因为，所以由得取，得，设平面和平面所成锐二面角为，则.故平面和平面所成锐二面角的余弦值为.1-4、（2022

4、山东省淄博实验中学高三期末）如图，在四棱锥中，已知底面，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，.又设，则， ，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.题组二、面面角的计算2-1、(2022江苏连云港期中)如图

5、，在三棱柱，BABC2，ABC120，AA1A1C4，A1AB60(1)证明：AB平面ABC；(2)若，求二面角PA1CA的正弦值【解析】(1)证明：在中，AB2，AAB60，由余弦定理得，所以，所以ABAB同理A1BBC又因为ABCBB，所以平面ABC4分(2)解：在棱AC上取一点M，使得BMBA，以B为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则A(，设平面A1AC的法向量为m(x1，y1，z1)，令，得m 7分设平面的法向量为n(x2，y2，z2)，则，令，得n 8分所以cos，二面角的平面角为，故，故二面角的正弦值为 12分2-2、（202

6、2河北保定高三期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面底面，且.（1）证明：.（2）若，求二面角的余弦值.【解析】（1）在平行四边形中，因，则，即，因为平面底面，且平面底面，平面，则平面，又平面，所以.（2）取的中点，AB中点F，连接，EF，由(1)知，因为，则，又平面底面，且平面底面，平面，则平面，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面的法向量为，则，即，令，得，于是得，由图知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.2-3、(2022江苏南京市中华中学期中)如图，直三棱柱的侧面菱形，B1CA1B(1)证明：

7、A1C1B1C；(2)设D为BC的中点，CACB，记二面角DAB1C为，求|cos|的值【解析】(1)证明：连接BC1，因为侧面BCC1B1是菱形，则BC1B1C，因为B1CA1B，A1BBC1B，A1B，BC1平面A1BC1，则B1C平面A1BC1，因为A1C1平面A1BC1，所以B1CA1C1；(2)解：因为直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1CC1，由(1)可得，B1CA1C1，又B1CCC1C，则A1C1平面BCC1B1，故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设AC2，则D(1，0，0)，A(0，2，0)，B1(2，0，2)，C(0，0，0)，所以(1，2，0)，(1，0，

8、2)，(0，2，0)，(2，0，2)，设平面AB1D的法向量为(x，y，z)，则，令x2，则y1，z1，故(2，1，1)，设平面AB1C的法向量为(a，b，c)，则，令a1，则c1，故(1，0，1)，所以|cos|，因为二面角DAB1C为，故|cos|的值为2-4、（2022河北张家口高三期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，为等边三角形，求二面角的正弦值.【解析】（1）证明：连接、.因为、分别为、的中点，且，因为四边形为正方形，则且，为的中点，则且，所以，且，故四边形为平行四边形，故，平面，平面，故平面，因为、分别为、的中点，则，平面，平

9、面，所以，平面，所以，平面平面.又平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接、.因为为等边三角形，为的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为四边形为正方形，则，且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，故，则，如图，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设，则、，设为平面的法向量，则，即，取，则，设为平面的法向量，则，即，取，则，所以，故.所以二面角的正弦值为.2-5、(2022江苏海门中学、泗阳中学期中联考)(12分)如图，四棱锥PABCD中，AD/BC，且AD4，ABBCCD2，PAPD，O是AD的中点，平面PAD平面ABCD(1)求证：AC

10、平面POB；(2)若直线PA与平面ABCD所成的角为，求二面角BPCD的余弦值【解析】证明：连接，因为，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，平面，则，因为，则，由已知可得，故四边形为菱形，则，同理可证四边形为菱形，故平面.【小问2详解】解：因为平面，则与平面所成的角为，所以，为等腰直角三角形，且，且，因为，故为等边三角形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，、，设平面的法向量为，由，取，可得，设平面的法向量为，由，取，可得，则，由图可知，二面角为钝角，因此，二面角的余弦值为.2-6、（2022山东德州高三期末）如图，在直三棱柱中，点Q为BC的

11、中点，平面平面.（1）证明：平面；（2）若直线AC与平面所成角的大小为30，求锐二面角的大小.【解析】（1）证明：取中点D，连结CD，因为，所以又面面，面面，所以面因为面，所以又因为，所以面.（2）连结AD，由（1）知，面，则是直线AC与平面所成角，中，又，得，所以.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面得法向量为，则令，则.又面，则为面的一个法向量.设二面角大小为，则所以锐二面角的大小为60.2-7、（2022湖北恩施土家族苗族高中高三期末）如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，点E为PD的中点，四棱锥是高为4的正

12、四棱锥.（1）求证：平面EAC；（2）求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.【解析】（1）证明：连接，与交于点，因为四边形是正方形，所以连接，因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，平面，则，因为，所以平面因为平面，所以延长与交于点，平面，则，为的中点，则为的中点，则，又，所以，所以，所以连接，因为点为的中点，点为的中点，所以，所以，因为，所以平面.（2）解：以为原点，直线、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，得，取，得设平面的法向量为，则得，取，得设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为2-8、（2022河北唐山高三

13、期末）四棱锥的底面是矩形，侧面底面OBCD（1）求证：底面OBCD；（2）若，二面角的大小为120，求四棱锥的体积【解析】（1）证明：因为四棱锥的底面是矩形，所以，又因为，所以，因为侧面底面OBCD，侧面底面，且侧面AOD，所以底面OBCD（2）解：因为底面OBCD，OBCD为矩形，所以OA，OB，OD两两垂直如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设，则，设为平面ABC的法向量，则,即，令，可得，所以设为平面ACD的法向量，则，即，令，可得，所以，因为，可得，解得或（舍）所以四棱锥的高为1，四棱锥的体积题组三、探索性问题-试卷3-1、(

14、2022江苏南师附中期中)在三棱柱中，侧面是正方形，ABBC(1)求证：平面平面ABC；(2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角为？【解析】(1)取AC中点E，连接，BE，ABBC，BE，所以四边形是正方形，BE1，ACBEE，平面ABC，平面平面平面ABC，(2)如图建系，则A(0，1，0)，B(1，0，0)，由，设，则平面的一个法向量sin|cos|，即(21)(1)0所以，即E为B1C的中点3-2、（2022河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，. （1）证明：平面平面；（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.【

15、解析】（1）证明：因为，所以，即.又因为，所以，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：连接，因为，是的中点，所以.由（1）知，平面平面，所以平面.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量是，.设，代入上式得，所以.设平面的一个法向量为，由，得.令，得.因为二面角的平面角的大小为，所以，即，解得.所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为.3-3、（2022山东枣庄高三期末）在四棱锥中，底面为直角梯形，Q为的中点，是边长为2的正三角形，（1）求证：平面底面；（2）棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由【解析】（1）证明：（1）因为Q为AD的

16、中点，故因为，所以四边形BCDQ是平行四边形，所以在等边三角形PAD中，又，故，故又，平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD又平面PAD，故平面底面ABCD；（2）以Q为原点，所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，假设棱PC上存在点M，使二面角为30设，这里则又，故设平面BQM的一个法向量为，则，即令，则又为平面CBQ的一个法向量，由二面角为30，得，即两边平方并化简得，解得或（舍）所以故棱PC上存在点M，当时，二面角为303-4、（2022山东济南高三期末）如图，在正四棱柱中，分别为棱，的中点，为棱上的动点.（1）求证：，四点共面；（2）是否存在点，使得平面平面

17、？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：如图所示：连接，取的中点为M，连接，ME，因为E为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为F为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以B，E，F四点共面；（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，由已知，则，设平面BEF的一个法向量为，则，即，取，则；设平面GEF的一个法向量为，则，即，取，则；因为平面平面BEF，所以，所以，所以.所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，DG的长度为.3-5、（2022湖北武昌高三期末）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上（1）求证：；（2）若二面角的平面角为45，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由【解析】（1）因为，所以平面ADE因为平面AD