正四面体性质及其应用审批稿

1、正8面体性质及其应用LOGOYOUR LOGO电话：010 - 0000 0000网址：www. xxxx. com 由Bf牛：XXXXXXXXX. COG 地址：某某广告设计有限公司正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具 有一些特有的性质，设正四面体的棱长为则(1)(4)全面积5全=:小/ ；.局 h= 3。/体积V=/ / ；对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为仁相邻两面所成的二面角c?=arccos! ；(6)棱与其相交的面所成的角=arctan2 ；(7)正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径广二外接球半径R二卜，：R=1

2、 ： 3 ；(8)正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)o将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四 面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例 如：例1 ：已知半径为1的球面上有A、B、C三个点，且它们之间的球面距离都为全则球心。到平面A8C的距离为()A*B白4D军解析：如右图所示，OA=OB=OC=又A8=BC = CA = g,球的半径=1/. ZAOB=ZBOC=ZCOA 则 AB=BC=CA=1所以O-A8C为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心。到平面A8C的距离即其高为七二答案B。例2

3、: （05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为。的正四面体A8CO有内切球。，经过该棱锥A/。的中截面为则。到平面M的距离为（）aylba/6yl2A t B ra C D 2V4O1Zo解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径中截面到底面的距离为高的一半平” 则。到平面M的距离为平""-聆4=噌” 因此选co例3: （06年陕西卷）将半径为R的四个球两两相切地放在桌面力 则上面一个球的球心到桌面的距离为/ 解析：注意分析四个球的球心的位置关系。设四个球心/扁父口 c4 B、C、D,因为四个球两两相切，则A5CO是棱长为2R的正四面体，A到面8。的距离为半尺则上面一个球的球

4、心A到桌面的距离为R+斗Jf= （1+斗2） R。例4: （06年山东卷）如图1,在等腰梯形力中，AB=2DC=2t乙E为AC的中点，将AOE与石C分别沿£7人EC向多丁起.使冬C后合于点P,则 三棱锥P-OCE的外接球的体积为（）/ / A % B 净 C % D :£ b解析：三棱锥P-OCE实质上是棱长为1的正四面体，则其外接球的体积为例5: （06年湖南卷）棱长为2的正四面体的四个顶点都弹T正上，若过该球 球心的一个截面如图1,则图中三角形（正四面体的截面）/ M/A孚B吟C啦 D 73解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上， 且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由 正四面体的对称性可知M为A8对棱CO的中点，M到AB的距离即为正四面体对棱公垂线的长堂«所以Su8C=gx2x娘 x2 二娘。例6: （07年安徽卷）半径为1的球面上的四点A、B、C、。是正四面体的顶点，则A与8两点间的球面距离为（）ABA arccos(-)B arccos(-)C arccose|)D arccos(-；)解析：由题意可知，此球。为正四面体的外接球，且外接球的半径为1,则正四面2 72x1x1-所以乙AOB二arccos(