第十章_动量定理

1、第十章第十章 动量定理动量定理10.110.1动量与冲量动量与冲量10.210.2动量定理动量定理10.310.3质心运动定质心运动定理理导读 本章引入了动量和冲量的概念，介绍了质点动量定理和质点系动量定理。对质点、质点系(刚体)进行动力学分析，正确地应用动量定理的投影式和掌握动量守恒、质心运动守恒的条件是本章的重要内容。学习要求 通过对本章内容的学习，学生应该能够做到： 了解动量、冲量的概念。 掌握动量定理、质心运动定理。 应用质点和质点系动量定理解答动力学问题。 分析熟练地分析动量定理中各矢量的关系和动量守恒应用条件。小鸟撞飞机 一只0.45公斤的鸟与时速80公里的飞机相撞，会产生1500

2、（153公斤）牛顿的力，与时速960公里的飞机相撞，会产生21.6万牛顿的力，高速运动使得鸟击的破坏力达到惊人的程度。而一只7公斤的大鸟撞在时速为960公里的飞机上，它的冲击力将达144吨！ 这种冲击力足以撞毁飞机发动机，导致飞机坠毁。mv10-1 10-1 动量与冲量动量与冲量一、动量一、动量质点的动量：质点的动量：mv矢量，方向与速度方向一致。矢量，方向与速度方向一致。vmmvmvvmvvm m质点系的动量：质点系的动量： 1）、定义法：）、定义法： 质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系的动量。用质点系的动量。用 p 表示。表示。Momentum and

3、impulse例例 三物块用绳连接如图示，其质量为三物块用绳连接如图示，其质量为 m1=2m2 =4m3 ，如绳的质量和变形均不计，如绳的质量和变形均不计， 则三物块则三物块均以同样的速度均以同样的速度v运动。求该质点系的动量。运动。求该质点系的动量。m3m1m2v2v1v34545m2v2m1v1pxyO解：m2v2m1v1pm3v3m2v2m1v1pm3v3m3v32）、质心速度法：）、质心速度法：设质点系内各质点对固定点设质点系内各质点对固定点O的矢径的矢径为为 ri，则则质心坐标式结论结论：质点系的动量等于质点系的总质量与其质心速：质点系的动量等于质点系的总质量与其质心速度的乘积。度的

4、乘积。质心坐标式质心坐标式质心坐标式质心坐标式 3）、）、投影法：质点系的动量投影法：质点系的动量 p 在直角坐标系中的在直角坐标系中的投影为投影为 若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可写为若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可写为式中式中mi 、vci 分别为第分别为第 j 个刚体的质量和它的质心的速度个刚体的质量和它的质心的速度。例例 求图示均质物体或物体系统的动量。求图示均质物体或物体系统的动量。 均质轮均质轮:m，R，, 绕质心轴绕质心轴C 转动，转动，则其动量为则其动量为C 轮轮: m，R， ;偏心距偏心距e，绕轴绕轴O转动，则其动量为转动，则其动量为evcCOvc 均

5、质轮均质轮: m，R，沿水平直，沿水平直线轨道纯滚动，轮心速度线轨道纯滚动，轮心速度v，其动量其动量vCv 均质杆均质杆: m ，杆长为，杆长为L，绕杆端，绕杆端轴轴O 以角速度以角速度转动，则转动，则vCOvCC方向同方向同 vmvc（5）均质杆质量为）均质杆质量为m，长度为，长度为l，图示瞬时，图示瞬时A端端 速度为速度为v，求其动量。，求其动量。vACABP解解：瞬心为瞬心为P，vBvcvAvBvcvcvAvBvcABABABABvA= v皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带组成，皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带组成，该系统的动量等于多少？该系统的动量等于多少？系统对称于两轮轴心连线，系统对

6、称于两轮轴心连线，2O2O1？m21m1m系统的动量系统的动量 p = Mvc = 0 。C C C 两均质轮质量均为两均质轮质量均为m1，半径均为，半径均为R，两轮间距离为，两轮间距离为 d，履带，履带质量为质量为m，长为，长为 L，求，求 (1)系统的动量；系统的动量；(2)除去与地面接除去与地面接触的履带以外的履带的动量。触的履带以外的履带的动量。vmm1m1dRRv v解：(1)vp = p轮1 + p轮2 + p带 = ( 2 m1 + m )v p轮1 = p轮2 = m1 vdRRv v p带 = OABD例例 椭圆规机构如图，已知规尺椭圆规机构如图，已知规尺 BD = 2L ,

7、 质量为质量为2m1，滑块，滑块 B、D 的质量均为的质量均为 m2；曲柄；曲柄OA = L，质量为，质量为 m1，以匀角速度，以匀角速度绕轴绕轴O 转动。求转动。求:图示瞬时，图示瞬时， 曲柄曲柄 OA 的动量；的动量； 整个机构的动量。整个机构的动量。vAvE解：解：曲柄曲柄OAOA的质心在其中点的质心在其中点E E，且，且vEvEvEE E E E 规尺和两个滑块的质心在规尺和两个滑块的质心在 A 点，点， 系统的动量为系统的动量为OABD m2m22m1m1即即求整个机构的动量。求整个机构的动量。I = F t二、冲量二、冲量1、常力的冲量、常力的冲量:2、变力的冲量、变力的冲量:力的

8、元冲量力的元冲量:dI = Fd t力在有限时间内（瞬时力在有限时间内（瞬时t1至瞬时至瞬时t2）的冲量）的冲量力在微小时间间隔力在微小时间间隔dt内的冲量。内的冲量。 冲量计算的投影式：冲量计算的投影式：若若则冲量计算的投影式为则冲量计算的投影式为3、力系的冲量、力系的冲量:定义：作用于质点系中力系的各力冲量的矢量和定义：作用于质点系中力系的各力冲量的矢量和 称为力系的冲量，即称为力系的冲量，即:结论结论：力系的冲量等于力系的：力系的冲量等于力系的主矢主矢在同一时间在同一时间内的冲量。内的冲量。10-2 动量定理动量定理一、质点的动量定理一、质点的动量定理即：质点的动量对时间的导数等于作用于

9、其上的即：质点的动量对时间的导数等于作用于其上的力力。在在t1至至t2时间内积分，得时间内积分，得即：质点在即：质点在 t1 至至 t2 时间内动量的改变量等于作用于其上的力在同时间内动量的改变量等于作用于其上的力在同一时间内的一时间内的冲量冲量。 2、质点动量定理的积分形式 或或Theorem of momentum二、质点系的动量定理：二、质点系的动量定理： 设质点系有设质点系有 n 个质点，个质点，由质点的动量定理，有由质点的动量定理，有 d (mivi) = ( Fi(e) +Fi(i) ) d t = Fi(e)d t + Fi(i)d t第第 i 个质点个质点: mi，vi；受力受

10、力Fi(e) :外力，外力，Fi(i) :内力，内力，对于整个质点系对于整个质点系质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。或或 质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系的外力质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系的外力的矢量和的矢量和在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。用于质点系外力冲量的矢量和。得得在瞬时在瞬时 t1至至 t2 段时间内积分段时间内积分，有，有动量定理的投影式：动量定理的投影式：)(exXdtdp)(

11、eyYdtdp)(ezZdtdp)(12exxxIpp)(12eyyyIpp)(12ezzzIppc2c1e例例: 已知定子已知定子m1，转子，转子m2 ；角速度；角速度；偏心距为；偏心距为e。求求:基础对电机的反力。基础对电机的反力。p2FyMAFx解：解：系统的动量为系统的动量为p = p 1+ p 2=t 时，时，p x=m2 e cost p y=m2 e sint由质点系动量定理：由质点系动量定理：xym1gm2gp2FyMAFxm1gm2gp2FyMAFxm1gm2gp2FyMAFxm1gm2g p = p2 = m2eAFymin= (m1+m2)gm22e ，当当时，时，有Fy

12、min0，若电动机不固定于基础上，若电动机不固定于基础上，应用：蛙式打夯机应用：蛙式打夯机 讨讨 论论 根据以上计算，根据以上计算，基础对电机的基础对电机的 y 方向的反力为：方向的反力为：其最小值：其最小值：将会跳离地面。将会跳离地面。 蛤蟆夯示意图蛤蟆夯示意图飞轮飞轮胶带轮胶带轮电动机电动机132偏心块夯体夯体 蛤蟆夯工作过程蛤蟆夯工作过程 在电动机启动后，固结在转子轴在电动机启动后，固结在转子轴1上的小皮带轮上的小皮带轮便通过皮带带动大皮带轮以角速度便通过皮带带动大皮带轮以角速度绕轴绕轴2转动。转动。安装有偏心块的飞轮与大皮带轮固结，因而二者安装有偏心块的飞轮与大皮带轮固结，因而二者运动

13、相同。夯体可绕轴运动相同。夯体可绕轴3转动，同时又套在轴转动，同时又套在轴2上。上。工作时夯体在偏心飞轮带动下不断地跳起再落下，工作时夯体在偏心飞轮带动下不断地跳起再落下，从而将地面夯实。从而将地面夯实。132三、三、 质点系动量守恒定律：质点系动量守恒定律：当作用于质点系上的外力主矢恒等于零时，则质当作用于质点系上的外力主矢恒等于零时，则质点系的动量保持不变。点系的动量保持不变。当作用于质点系上的外力主矢在某轴（如当作用于质点系上的外力主矢在某轴（如 x 轴）轴）上投影恒等于零时，则质点系的动量在该轴上的上投影恒等于零时，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。投影保持不变。即即当当 R (e

14、)0 时，时，p= p0 = 常矢量；常矢量；当当X (e) 0 时，时，px= p0 x= 常量常量。质点系动量守恒的实例质点系动量守恒的实例炮身与炮弹炮身与炮弹 ; 人与小船人与小船结论：结论：只有外力才能改变质点系的动量；内力不能改变质只有外力才能改变质点系的动量；内力不能改变质点系的动量，但能改变其中各部分的动量。点系的动量，但能改变其中各部分的动量。 动量守恒方程中的速度必须是绝对速度；动量守恒方程中的速度必须是绝对速度； 应确定一个正方向，严格按照动量投影的正负应确定一个正方向，严格按照动量投影的正负号去计算；号去计算； 动量守恒定理常用来求速度动量守恒定理常用来求速度10-3 质

15、心运动定理质心运动定理即即 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和（外力主矢）。的矢量和（外力主矢）。一、质心运动定理一、质心运动定理Theorem of motion of the center of mass质心运动定理的投影式质心运动定理的投影式)(ecxXma)(2encFvm)(ecFdtdvm)(0ebF二、几点说明：二、几点说明： 1 1、质心运动定理描述的是：质点系质心的运动，、质心运动定理描述的是：质点系质心的运动，可以看成为一个质点的运动，设想此质点集中了整可以看成为一个质点的运动，设想此质点集中了整个质

16、点系的质量及其所受的外力。个质点系的质量及其所受的外力。 2 2、质点系的内力不能改变质心的运动，只有外力、质点系的内力不能改变质心的运动，只有外力才能改变质心的运动才能改变质心的运动 3 3、若质点系是由、若质点系是由n个刚体组成的系统，则刚体系个刚体组成的系统，则刚体系内各刚体的质量与其质心加速度乘积的矢量和，等于内各刚体的质量与其质心加速度乘积的矢量和，等于作用于刚体系的外力的主矢。即作用于刚体系的外力的主矢。即： 定向爆破定向爆破Pv爆破后，各物块的爆破后，各物块的轨迹各不相同，但轨迹各不相同，但质心的轨迹近似一质心的轨迹近似一抛物线，由此可预抛物线，由此可预计大部分物块的堆计大部分物

17、块的堆落的地方。落的地方。例例 已知杆已知杆m，l ；。求轴承。求轴承 O 处的约束反力。处的约束反力。研究研究 OA 杆，杆，解：解：得得OA 杆的受力如图，杆的受力如图，由质心运动定理由质心运动定理acnac OACNnN 其质心其质心 C 的加速度为的加速度为acnac NnN NnN acnac mgNnN 三、质心运动守恒定理三、质心运动守恒定理1 1、 当质点系外力主矢当质点系外力主矢R(e) = 0 时，时，质心做惯性运动质心做惯性运动质心位置守恒质心位置守恒则系统质心速度则系统质心速度vc= 常矢量；常矢量；2 2、当当R(e) = 0，且，且 t = 0 时，时，vc0 =

18、0，则则rc= 常矢量；常矢量； 当当Rx(e) = 0，且，且t = 0 时，时，vcx = 0， 当当 Rx(e) =X（e）= 0 时，时，以上结论统称为质心运动守恒定理则则 vcx= 常量常量则则 xc= 常量；常量；例例 均质杆均质杆AB长为长为2l，重为，重为P，在光滑水平面上自，在光滑水平面上自 由倒下，初始由倒下，初始0 = 60，求，求 (1) AB杆落至水平时杆落至水平时 A点的位移；点的位移； (2) B点的轨迹。点的轨迹。AB解：解：X（e）= 0， xc =常数常数 = 0（1）SA = llcos0（2）建立）建立B点的运动方程点的运动方程xyOABC C C研究研

19、究AB杆，受力如图，杆，受力如图，FAFAFAFAP P P P且且 t = 0时，时，vcx0 = 0例例 长为长为 l、质量不计的细杆，一端固结质量为、质量不计的细杆，一端固结质量为 m1的的小球小球 A ，另一端铰接质量为，另一端铰接质量为 m2 的滑块的滑块 B 。滑块。滑块 B 放放在光滑水平面上。若在光滑水平面上。若 t = 0 时，时， =0，由静止释放，由静止释放，求求B 滑块的位移（用滑块的位移（用表示）表示）0 xAB0 xAB解：解：X（e）= 0， 且且 t = 0 时，系统静止，时，系统静止， xc=常数常数由 xc0 = xc，得m2gNm1gm2gNm1gm2gN

20、m1gm2gNm1g研究系统，受力如图，研究系统，受力如图， xO 动量守恒定律常用来求速度；动量守恒定律常用来求速度； 质心位置守恒常用来求系统中某物体的位质心位置守恒常用来求系统中某物体的位移。移。 动量定理动量定理 质心运动定理常用来求力；质心运动定理常用来求力；例例 电动机的外壳电动机的外壳固定于基础上，定固定于基础上，定子的质量为子的质量为m1，转，转子质量为子质量为m2 ；偏心；偏心距为距为e。已知转子。已知转子以角速度以角速度匀速转匀速转动，讨论当电机不动，讨论当电机不用螺栓固定，由静用螺栓固定，由静止开始转动后，电止开始转动后，电机 外 壳 的 运 动 。机 外 壳 的 运 动

21、 。（不计各处摩擦）（不计各处摩擦） c2c1exyo X（e）= 0，初瞬时，初瞬时，c1c2 系统质心的系统质心的 x 坐标坐标设设t = 0时，转子质心如图，时，转子质心如图， 取坐标系，取坐标系，xc0 = 0，xc= 常量常量 且且 t = 0时，时， 系统静止，系统静止，瞬时瞬时 t ，设定子位移，设定子位移S，则转子位移为则转子位移为（S+ e sint ），），P1P2xyoSc2c1NP1P2NP1P2NP1P2N转子有偏心的电机不固定时，在光转子有偏心的电机不固定时，在光滑水平面上的运动规律为滑水平面上的运动规律为简谐振动简谐振动321332211321332211mmmx

22、mxmxmmmmxmxmxm解：解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。0 iixP 例例 浮动起重船浮动起重船, , 船的重量为船的重量为P P1 1=200kN, =200kN, 起重杆的重量为起重杆的重量为P P2 2=10kN, =10kN, 长长l l=8m=8m，起吊物体的重量为，起吊物体的重量为P P3 3=20kN =20kN 。设开始起吊时设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆整个系统处于静止，起重杆OAOA与铅直位置的夹角为与铅直位置的夹角为 1 1=60=60, , 水水的阻力不计的阻力不计, ,求起重杆求起重杆OAOA与铅直位置成角与铅直位置成角 2 2 =30

23、=30时船的位移。时船的位移。受力分析如图示，且初始受力分析如图示，且初始时系统静止，所以系统质心的位置时系统静止，所以系统质心的位置坐标坐标X XC C保持不变。保持不变。 0)(exF 0iixm船的位移船的位移 x x，杆的位移，杆的位移, 2/)sin(sin2112lxx重物的位移重物的位移lxx)sin(sin21130/ )sin(sin2/)sin(sin2113211211lxPlxPxP)sin(sin)(2221321321lPPPPPx)30sin60(sin8)2010200(220210m 318. 0计算结果为负值，表明计算结果为负值，表明船的位移水平向左。船的位

24、移水平向左。0 iixP 0iixm本章小结 动量定理建立了物体的动量变化与作用力的冲量之间在数量和方向之间的关系。 质点的动量：mv 质点系的动量： 力的冲量：p = mivi = mvC 质点的动量定理d(mv) = Fdt 质点系的动量定理 质点系的动量守恒定律当F(e) = 0时，p =常量。当X(e) = 0时，px =常量。 质心运动定理：maC = F(e) 质点系的质心位置决定于各质点质量的分布情形： 质心运动守恒定律：当F(e) = 0时，vC =常矢量； 当X(e) = 0时，px =常量。 且又有vC0 =0时， rC =常矢量，即质心位置守恒。且又有vC0 x = 0时， xC =常量，即质心 x 坐标不变。三、质点系动量定理的应用三、质点系动量定理的应用 流体在管道内流动的动压力流体在管道内流动的动压力 动量守恒动量守恒关于流体的几个概念： 稳定流动（定常流动）： 流量 Q ：1流体在管道中流动时的动压力 流体的不可压缩性：Q v1 S1 v2 S2质点系动量定理的应用流体各质点流经空间某固定点时，其速