第4章信号与系统奥本海姆课件(连续时间傅立叶变换)

1、第第4章章 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换The Continuous-Time Fourier Transform本本章的主要内容章的主要内容: : 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换; 傅立叶级数与傅立叶变换之间傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系的关系; 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质;1.系统的频率响应及系统的频域系统的频率响应及系统的频域分析；分析； 在工程应用中有相当广泛的信号是在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，就是这一章要解决的问题。表示，就是这

2、一章要解决的问题。4.0 引言引言 Introduction 在时域可以看到，如果一个周期信号的在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，任何非周期信号个非周期信号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性延拓，就一定能形成一个如果进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把周期信号。我们把非周期信号看成是周期非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考，从而考查连续时间傅立叶级数在查连续时间傅立叶级数在 T趋于无穷大时趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的的

3、变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。频域表示方法。4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示连续时间傅连续时间傅立叶变换立叶变换Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform一一. .从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换已求得周期对称矩形脉冲的傅立叶级数系数：已求得周期对称矩形脉冲的傅立叶级数系数：考察周期性矩形脉冲的频谱图：考察周期性矩形脉冲的频谱图：当当 时，谱线间隔时，谱线间隔 变小，谱线变小，谱线越来越密；越来越密；当当 时，周期方波转化为非周期的时，周期方波转化

4、为非周期的单脉冲信号，相应地，信号频谱由离单脉冲信号，相应地，信号频谱由离散谱变成连续谱。散谱变成连续谱。非周期信号非周期信号 是周期信号是周期信号 的一个周期，的一个周期，考察考察 的傅立叶级数：的傅立叶级数：ktjkkeatx0)(定义定义 的包络为的包络为连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换系数系数当当 时，时， 趋近于趋近于 ；当当 时，时， ， 过渡为一个过渡为一个积分式。积分式。 此式表明，非周期信号可以分解成无数多此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为个频率连续分布、振幅为 的复的复指数信号之和。指数信号之和。 称为称为 的的频谱频谱。1()2Xjd()X j

5、1( )()2j tx tX jed傅立叶反变换傅立叶反变换即，即， 周期信号的频谱是对应的周期信号的频谱是对应的非周期信号非周期信号频谱的样本频谱的样本；而非；而非周期信号的频谱是对应的周期周期信号的频谱是对应的周期信号信号频谱的包络。频谱的包络。定义：定义：设有非周期连续时间信号x(t)dtetxjXtj)()(dejXtxtj)(21)()()(.jXtxTF 既然傅立叶变换的引出是从周期信既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示，讨论周期趋号的傅立叶级数表示，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级变换的收敛问题就应该

6、和傅立叶级数的收敛相一致。数的收敛相一致。二二. 傅立叶变换的收敛傅立叶变换的收敛1. 若若 即所有能量有限的信号即所有能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。其傅立叶变换一定存在。2( )x tdt 则则 存在。存在。()X j相应的两组条件：相应的两组条件：2. Dirichlet 条件条件( )x t dt a. 绝对可积条件绝对可积条件b. 在任何有限区间内，在任何有限区间内， 只有只有有限个极值点有限个极值点, ,且极值有限。且极值有限。( )x tc. 在任何有限区间内，在任何有限区间内， 只有有只有有限个第一类间断点。限个第一类间断点。( )x t三三. .常用信号的傅立叶变换：常用

7、信号的傅立叶变换：1.( )( ),0atx teu ta01()atj tX jeedtaj221()X ja( )x tt01aa01/ a()Xj22a2.( ),0a tx tea 结论：结论：实偶信号的傅立实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。叶变换是实偶函数。此此时可以用一幅图表示信时可以用一幅图表示信号的频谱。号的频谱。对此例有对此例有()()X jX j()X j2a1aaa()xtt100022()112atj tatj tX je edteedtaajaja3.( )( )x tt()( )1jtXjt edt 这表明这表明 中包括了所有的频率成分，且中包括了所有的频率成分，且所

8、有频率分量的幅度、相位都相同。因此，所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应 才能完全描述一个才能完全描述一个LTI系统的特性，系统的特性， 才在信号与系统分析才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。中具有如此重要的意义。0( ) tt( ) t( )h t( ) t()X j014. 矩形脉冲矩形脉冲: :( )x t 1,1tT0,1tT( )x tt1T1T1 10 0()X j0 01T12T( )x tt1T1T1 10 0( )x tt12T12T1 10 0()X j0 01T12T12 T()Xj14T0 0不同脉冲宽度对频谱的影响不同脉冲宽度

9、对频谱的影响5.( (称为称为理想低理想低通滤波器通滤波器) ) 与矩形脉冲情况对比，可以发现与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。域和频域之间存在一种对偶关系。()XjWW1 10 0( )x tt(/)W0 0WWWjX01)(对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下:( )x tt1T1T1 10 0()X jWW1 10 0()X j0 01T12T( )x tt(/ )W0 0W6. 单位冲激函数的傅立叶逆变换单位冲激函数的傅立叶逆变换 对于对于5. 我们可以想到，如果我们可以想到，如果 ，则，则 将趋于一个冲激。将趋于一个冲激。W ( )x t因为因

10、为所以所以( )12( )Fx t 4.2 连续时间连续时间FT的性质的性质 讨论傅立叶变换的性质，旨在讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅立握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。叶变换对的求取。Properties of the Continuous-Time Fourier Transform1. 线性线性: Linearity则则若若2. 时移时移: Time Shifting则则 这表明信号的时移只影响它的相频特性，这表明信号的时移只影响它的相频特性，其

11、相频特性会增加一个线性相移。其相频特性会增加一个线性相移。若若3. 频移频移: Frequency Shifting若若则则)()(00jXetxtj)()(jXtx)()(jXtx)()(00jXettxtj 4. 共轭对称性共轭对称性: Conjugate and Symmetry 若若 )()(cos)(00021jXjXttxF则则)()()()(22100000tCOSF)()(jXtx)()(jXtx由由()( )j tX jx t edt*()( )jtXjxt edt所以所以*()( )jtXjxt edt即即 若若 是实信号，则是实信号，则( )x t*( )( )x tx

12、t于是有于是有:*()()X jXj可得可得 若若则可得则可得Re()Re()X jXj即即实部是实部是偶函数偶函数虚部是虚部是奇函数奇函数 若若则可得出则可得出()()X jXj即：即：模是偶函数，相位是奇函数模是偶函数，相位是奇函数()Re()Im()X jX jjX jIm ()Im ()X jXj 如果如果( )()x txt即信号是偶函数。则即信号是偶函数。则()( )jtXjx t edt()( )()j tjxt edtxedtXj表明：表明： 实偶信号的傅立叶变换是偶函数。实偶信号的傅立叶变换是偶函数。*()()XjXj所以所以*()()X jXj表明表明 是实函数。是实函数。

13、()X j又因为又因为()()X jXj 即即 是奇函数是奇函数()Xj*()()X jXj ()Xj即即 是虚函数是虚函数 若若( )( )( )eox tx tx t则有则有:()()()eoX jXjjXj()Re()eXjXj()Im()oXjX j 若若 即信号是奇函数，同样可以即信号是奇函数，同样可以得出得出:( )()x txt 5.时域微分与积分时域微分与积分: Differentiation and Integration则则（时域微分特性）（时域微分特性）(将将1( )()2jtx tXjed两边对两边对 微分即得该性质微分即得该性质)t若若由时域积分特性从由时域积分特性从

14、也可得到也可得到:（时域积分特性（时域积分特性)6.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换: Scaling则则当当 时，有时，有1a 尺度变换特性表明：尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应压缩倍，则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。倍，反之亦然。这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。若若时域中的压缩对应频域中的扩展时域中的压缩对应频域中的扩展. .反之亦然反之亦然7.对偶性对偶性: Duality若若则则1( )()2j tx t

15、Xjed2()()jtxXjt edt2()()j txXjt edt证明证明：8. Parseval定理定理:若若则则221( )()2x tdtXjd这表明：信号的能量既可以在时域求得，也这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于可以在频域求得。由于 表示了信号表示了信号能量在频域的分布，因而称其为能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密能量谱密度度”函数。函数。2()X j4.3 卷积性质卷积性质 The Convolution Property一一. . 卷积特性：卷积特性：则则 由于卷积特性的存在，使对由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频系统在频域进行分析成为可能。本

16、质上，卷积特性成域进行分析成为可能。本质上，卷积特性成立正是因为复指数信号是立正是因为复指数信号是LTI系统的特征函系统的特征函数。由数。由1( )()2j tx tX jed若若将将 分解成复指数分量的线性组合，每个分解成复指数分量的线性组合，每个 通过通过LTI系统时都要受到系统频响系统时都要受到系统频响 的加权，的加权，( )x t()H jjte()( )jtHjh t edt即是系统与即是系统与 对应的特征值。故有对应的特征值。故有其中其中j te1( )( )* ( )()()2jty tx th tXjHjed所以所以()() ()Y jX jH j 由于由于 的傅氏变换的傅氏变

17、换 就是频率为就是频率为 的的复指数信号复指数信号 通过通过LTI系统时，系统对输系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统系统的频率响应的频率响应。( )h t()H jjte 鉴于鉴于 与与 是一一对应的，是一一对应的，因而因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。系统可以由其频率响应完全表征。由于并非由于并非任何系统的频率响应任何系统的频率响应 都存在，因此用都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。统。( )h t()H j()H j二二. . LTI系统的频域分析法系统的频域分析法: :

18、根据卷积特性根据卷积特性, ,可以对可以对LTI系统进行频域分系统进行频域分析析, , 其过程为其过程为: :1. 1. 由由2. 2. 根据系统的描述，求出根据系统的描述，求出3.3.4. 4. ( )()x tXj()H j()()()Y jX jH j1( ) ()y tY j F4.4 相乘性质相乘性质 The Multiplication Property若若则则 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调幅度调制制。其中一个信号称为。其中一个信号称为载波载波，另一个是，另一个是调制调

19、制信号信号。例例1. 正弦幅度调制正弦幅度调制: :0( )(),( )coss tS jp tt00() ()()P j ( )( )( )r ts tp t001()() ()()2R jS j 0011() ()22S jS j0( )00()P j( )pt( )s t( )r t10MM()S j1/200()R j 正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。频谱搬移到载频位置。例例3. 同步解调同步解调:0001( )cos() ()()2r ttR j 00111() (2) (2)244S jS jS j1/21/41/4MM0

20、202 此时，用一个频率特性为此时，用一个频率特性为 的系统的系统即可从即可从 恢复出恢复出 。()H j( )r t( )s t()Hj20cc只要只要02McM 即可即可。具有此频率特性的具有此频率特性的LTI系统称为系统称为理想低通理想低通滤波器滤波器。4.6 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 到此为止，我们对周期信号用傅立叶级到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。 在在涉及周期信号通过涉及周期信号通过 LTI 系统时系统时, , 会给分析带会给分析带来不便。因为周期信号不满足来不便。因为周期信号不满足 Diri

21、chlet 条条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。考查叶变换表示。考查 所对应的信号所对应的信号001( )()()2jtjtjtx tXjedede 0()2()X j The Fourier Transformation of Periodic Signals这表明这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激周期性复指数信号的频谱是一个冲激: :0( )jktx te0()2()X jk 于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为因为0( )jktkkx ta e 就有就有0()2()kkXjak 周期信号的

22、傅立叶变换表示周期信号的傅立叶变换表示若若 则则 这表明：周期信号的傅立叶变换由一系这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数傅立叶级数的系数 。ka例例1： 0001( )sin2jtjtx tteej00() ()()Xjj ()X j00jj00001( )cos2jtjtx ttee00()()()Xj ( )()nx ttnT22222111( )( )TTjktTkTTat edtt dtTTT()Xj000例例2： 例例3

23、： 均匀冲激串均匀冲激串TT2 T2 T0()xtt1()Xj02T2T2T( )()nx ttnT22()()kX jkTT 22()()kX jkTT 例例4. 周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲10022 sin()2()()kkTTXjkkT 1T1T01( )x tt1011002sin22Sa()kTkTTakTTTk10212TT()Xj02T 工程实际中有相当广泛的工程实际中有相当广泛的LTI系统其输入系统其输入输出关系可以由一个线性常系数微分方程输出关系可以由一个线性常系数微分方程表述。一般形式的表述。一般形式的LCCDE是是:4.7 由线性常系数微分方程表征的系统由线性常系数微分

24、方程表征的系统00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt一一. 由由LCCDE描述的描述的LTI系统的频率特性系统的频率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations 由于由于 是是LTI系统的特征函数，当然系统的特征函数，当然 时，系统的响应时，系统的响应 。表。表明在明在 时，求解此时的时，求解此时的LCCDE可可以求得以求得 。但这太麻烦，很少使用。但这太麻烦，很少使用。 ( )()j ty tH je()H j对对LCCDE两边进行傅立叶变换有：两边进

25、行傅立叶变换有：00()()()()NNkkkkkkajY jbjX j由于由于()()()Y jX jH jjte( )j tx te( )j tx te 可见由可见由LCCDE描述的描述的LTI 系统其系统其频率特性频率特性是一个有理函数是一个有理函数。由此可以看出，对由。由此可以看出，对由 LCCDE 描述的描述的LTI系统，当需要求得其系统，当需要求得其 时时(比如时域分析时比如时域分析时) ，往往是由，往往是由 做反做反变换得到。变换得到。 对有理函数求傅立叶反变换通常采用对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分部分分式展开分式展开和利用常用变换对进行。和利用常用变换对进行。( )h t

26、()Hj00()()()NkkkNkkkbjHjaj 刻画了刻画了LTI系统的频域特征，它是系系统的频域特征，它是系统单位冲激响应的傅立叶变换。但并非所有统单位冲激响应的傅立叶变换。但并非所有的的LTI系统一定都存在频率响应。对稳定系系统一定都存在频率响应。对稳定系统，由于有统，由于有二二. 系统的频率响应：系统的频率响应：()H jdtth| )(|)(jH故有：故有：稳定系统的频率响应一定存在。稳定系统的频率响应一定存在。因此，由因此，由 表征的系统一般是稳定系统。表征的系统一般是稳定系统。 * * 频率响应的求法：频率响应的求法：1.1.用微分方程表征的系统用微分方程表征的系统MkkkkNkkkkdttxdbdttyda00)()(MkkkNkkkjXjbjYja00)()()()(NkkkMkkkjajbjXjYjH00)()()()()()(3)()(8)(6)(22txdttdxtydttdydttyd例：例：412121)