专题03 中点弦问题（点差法）（教师版）2024高考数学复习满分突破

第第I10)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为()A.B.QUOTEC.D.【解析】:由结论可得：，得，，选D。2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且的中点为,则的方程为()A.B.C.D.【解析】:由结论可得：，得，，选B。3．已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A．－ B． C．－2 D．2【答案】A【分析】由于是弦的中点，根据点差法求出弦所在直线的斜率.【详解】设以为中点的弦的两个端点分别为，所以由中点坐标公式可得，把两点坐标代入椭圆方程得两式相减可得所以，即所求的直线的斜率为.故选A项.【点睛】本题考查通过点差法求弦中点所在直线的斜率，属于中档题.4．已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由点差法化简可得，再由椭圆离心率公式即可得解.【详解】设，则，两式作差得，又，线段的中点为，所以，所以即，所以该椭圆的离心率为.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是掌握点差法的适用条件及应用.5．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是A． B． C． D．【答案】C【详解】设椭圆方程为联立方程：，整理得：,设，，则，即，化简得：，又，易得：，∴此椭圆的方程是故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.6．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是A． B． C． D．【答案】D【分析】设这条弦的两端点,则：,用点差法得到：，代入中点坐标，即得解斜率k.【详解】设这条弦的两端点，斜率为，则：两式相减得：变形得：，又弦中点为：，故故这条弦所在得直线方程为：，即故选：D【点睛】本题考查了点差法在弦中点问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.7．已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由椭圆的离心率可得的关系，得到椭圆方程为，设出的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l的斜率．【详解】解：由，得，∴，则椭圆方程为，设，则，把A，B的坐标代入椭圆方程得：，①-②得：，∴．∴直线l的斜率为．故选C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，是中档题．8．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是A． B． C． D．【答案】D【分析】设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据A为弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可．【详解】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），则有①，②，①﹣②式可得：又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0即得kEF=∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选D．【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握．解决直线与椭圆的位置关系,常见方法有：涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．9．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，可得右焦点的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，求出的中点的坐标，由直线的斜率可得，的关系，再由椭圆中，，的关系求出，的值，进而可得椭圆的方程．【详解】解：直线中，令，可得，所以右焦点，，设，，，，则，的中点，联立，整理得，所以，，所以，所以，又，，所以，，所以椭圆的方程为，故选：A．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出，，进而根据由两点间的斜率公式得，的关系.10．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，因为，两式作差得，即，即，所以，，因此，直线的方程为，即.故选：B.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.11．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线与椭圆交于两点，代入椭圆的方程，结合“平方差”法，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】设直线与椭圆交于两点，由，可得．又，所以，解得．因此直线的方程为，即。故选：A．本题主要考查了直线与椭圆的位置的应用，以及中点弦问题的求解，其中解答中熟记中点弦的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，所以基础题.12．（2021·河南南阳·高二阶段练习（文））已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点差法可求得的值，结合可求得双曲线的离心率的值.【详解】设、、，则，两式相减得，所以．因为，，所以．因为，，所以，故，故．故选：A.13．（2020·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线，以点为中点的弦所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用点差法可求得弦所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】设弦的两个端点坐标分别为、，则，则，两式作差得，所以，弦所在直线的斜率，故所求直线方程为，即.故选：B.14．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用点差法即可求解【详解】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.经检验满足题意故选：C15．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】设，，代入抛物线方程相减可得．【详解】设，，∵是AB的中点，∴，由，相减得，所以直线的斜率，故选：B．16．（2022·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出，再由已知求出的值.【详解】由题意可得抛物线的焦点.弦AB的中点M的横坐标为，由已知条件可知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为，，则联立，消去y得，∴，又因为弦AB的中点M的横坐标为，∴，∴，，∴点A到准线的距离为，点B到准线的距离为，所以∴，又，故.故选：D17．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（

）A．12 B．18 C．16 D．8【答案】C【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由的中点的坐标，求出参数的值，即可得到，再根据焦点弦的性质计算可得；【详解】解：由条件得，设，，直线的方程为：，联立得，∴，由得.∴，所以.故选：C18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，直线方程为，然后抛物线标准方程与直线方程联立消，得一个关于一元二次方程，又由线段的中点的横坐标为3，得，转化为，由此即可确定的取值范围.【详解】解：设，直线方程为，联立，消去，得，所以，所以，因为、中点横坐标为3，所以，故，又，所以的取值范围为.19．（2022·江西·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线与C交于两点，若线段中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为_______．【答案】【分析】设、，利用点差法可得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.【详解】设，，则，，两式相减得，即，因为、两点在斜率为的直线上，所以，所以由得，因为线段中点的纵坐标为，所以，则，，所以F到C的准线的距离为.故答案为：.20．（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A､B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.【答案】5【分析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果．【详解】解：抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为，设点，，，，的中点为，，则，，两式相减得，即，又因为，两点关于直线对称，所以，解得，可得，则，故答案为：5．21．已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.【答案】【分析】设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线的方程可求.【详解】设直线与椭圆交于两点，，所以，所以，所以，且，所以，所以即，故答案为：.22．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【详解】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明．（2）先求出点P的坐标，解出m，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．详解：（1）设，，则，．两式相减，并由得．由题设知，，于是．由题设得，故．（2）由题意得F（1，0）．设，则．由（1）及题设得，．又点P在C上，所以，从而，．于是．同理．所以．故．点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m，得到,再有两点间距离公式表示出，考查了学生的计算能力，难度较大．23．已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B为椭圆C上的两动点，M为线段AB的中点，直线AB，OM（O为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k1，k2，试问k1k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）为定值，此定值为【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得为定值.【详解】由题意得，解得.所以椭圆的方程为：设的坐标分别为，点的坐标为，即由已知，所以，即则，于是.所以为定值，此定值为【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.24．设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆的离心率为，的周长为16．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦的中点分别为.证明：三点共线.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为，的周长为16，解得a，b的值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设，，．利用点差法，可得，，由此可得O，M，N三点共线．【详解】（Ⅰ）解：由题意知，，．又，，，椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设，，．则，，相减得，，即，即，；同理可得，，所以O，M，N三点共线．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．

B组能力提升25．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.【详解】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②由①②及，解得：，即离心率.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．26．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得直线恒过定点且为圆的圆心，由可得圆的圆心为、两点中点，设而不求，用点差法计算结果【详解】直线：，即直线恒过定点直线过圆的圆心，的圆心为、两点中点设，上下相减可得：化简可得故选【点睛】本题较为综合，考查了直线与圆锥曲线的交点问题，覆盖的知识点较多：直线恒过定点，向量的几何意义，设而不求，点差法计算，椭圆离心率的求解，有一定难度，需要理解题意，灵活运用解题方法27．已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值MN为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点差法可求得坐标，从而得到直线方程；将方程与椭圆联立求得两点坐标，根据两点连线斜率公式求得，由互为相反数知斜率不存在，由此得到点坐标；利用两点间距离公式求得，进而得到结果.【详解】设，，，其中，两式作差整理可得：解得：设直线方程为，即代入椭圆方程整理得：，解得：，，，直线斜率不存在，方程为，故选：【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到点差法的应用、直线与椭圆交点坐标的求解、直线斜率的求解等知识；关键是能够明确当与弦中点有关的问题时，常用点差法来得到中点坐标与斜率之间的关系.28．已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足，的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是___________.【答案】或.【分析】先利用点差法可求出直线AB的斜率为，即可得出直线方程，代入椭圆方程可求出A，B坐标，设出点P，则可表示出PA，PB中点坐标，代入椭圆方程即可求出点P坐标.【详解】设，A，B是椭圆C上两点，则，两式相减得，是AB中点，则，即，故直线AB斜率为，则直线AB方程为，即，将直线方程代入椭圆得，解得，则可得，设，则PA中点为，PB中点为，，的中点均在椭圆C上，则，解得或，的坐标为或.故答案为：或.【点睛】本题考查中点弦问题，解题的关键是先利用点差法求出直线斜率，进而求出A,B坐标，再结合题意求解.29．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为__________.【答案】【分析】先求出直线的斜率为，设，，再利用点差法求出直线的斜率为，利用斜率相等可得之间的关系，结合即可求离心率.【详解】由题意知，，所以直线的斜率为，设，，则①，②，①-②得：，即，因为是的中点，所以，，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，所以，所以，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用点差法设设，，则，，两式相减得，是的中点，所以，，可得，再计算，利用结合即可求离心率.30．设椭圆的短轴长为4，离心率为．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题目条件可以求出，的值，然后写出椭圆的方程，联立直线方程与椭圆方程，使求解；（2）采用点差法求解出斜率，然后写出直线的方程.【详解】解：（1）因为离心率，所以，又因为椭圆的短半轴长，所以，即椭圆方程为，联立得，因为直线与椭圆有公共点，所以，即，解得．（2）设，由在椭圆内，过点的直线与椭圆有两个交点,再由椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在.则，整理得：所以斜率，所以直线的方程为．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系及中点弦问题，难度一般.解答直线与椭圆的位置关系一般需要联立直线方程与曲线方程，根据判断，中点弦问题可以采用点差法求解.31．椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.当时，直线的斜率为（为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设原点到直线的距离为，求的取值范围；（3）若直线，直线的斜率满足，判断并证明是否为定值.【答案】（1）；（2）；（3）是定值，证明过程见解析.【分析】（1）先设，，根据题意，得到，两式作差，根据弦中点的坐标，由题意，求出，再根据焦点坐标，得到，两式联立，即可求出结果；（2）先设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，，根据韦达定理，求出，得到的方程为：，与椭圆方程联立，设，，求出，表示出，根据点到直线距离公式，表示出，进而可根据换元法求取值范围；（3）根据（2）的结果，由，求出，再由弦长公式，分别求出与，进而可得出结果.【详解】（1）设，，由题意，，两式作差，得，整理得：，又是斜率为的弦，的中点为，当时，直线的斜率为，所以，即，即①，又椭圆右焦点为，所以②，由①②解得：，，因此，椭圆的标准方程为；（2）设直线的方程为：，由消去得，，设，，则，所以，故，因为是的垂直平分线，所以的方程为：，即，由消去得，，设，，则，所以，即的中点的坐标为，因此，又原点到直线的距离，所以，令，则；（3）由（2）可得：，所以，因为直线，直线的斜率满足，所以，整理得：，所以，所以，，因此.即取定值.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，椭圆中的范围，以及定值问题，熟记椭圆的标准方程的求法，中点弦问题，椭圆的性质，根据韦达定理，弦长公式等即可求解，难度较大.32．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）求证：为定值；（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，由此可求得椭圆的方程；（2）设点、，利用点差法可得出，再利用可求得的值；（3）设点，根据直线和的倾斜角互补和面积公式计算出点的坐标，进而可求得椭圆的方程.【详解】（1）由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；（2）设点、，则线段的中点坐标为，，.由题意可得，，，由于点、都在椭圆上，则，两式作差得，（定值）；（3）设点，则、，，直线与直线的倾斜角互补，，又，且，则，解得.的面积为且，解得，，即点.，解得，因此，椭圆的标准方程为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查了点差法的应用，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于难题.33．已知直线：与椭圆：交于，两点.（1）若直线过椭圆的左焦点，求；（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据椭圆的方程，求得左焦点，得到直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，以及直线与圆锥曲线的弦长公式，即可求解；（2）设，，得到线段的垂直平分线方程为，将点代入椭圆的方程，两式相减整理得，再由，两两方程组，求得中点坐标，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆，可得，则，左焦点，则直线的方程为，设，，联立方程，整理得，所以，且，，所以.（2）设，，的中点，由题知线段的垂直平分线方程为，直线不平行于轴，即，由，两式相减整理得①，因为是的中点，所以，，因为，所以，所以①变形为，解得，所以，代入直线，可得，解得.【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．34．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．(1)若的倾斜角为且过点F，求；(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先可得直线的方程，设，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后可得的值，然后可得答案.（