教学案例：根式与分数指数幂正式版

1、教学案例：根式与分数指数幂厦门市集美区灌口中学 吴清平背景在基本初等函数（）一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的：和，教材中是通过实例引入并给出定义：如果，那么x叫做a的n次方根。如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作。当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。“老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：

2、有什么办法可以顺利地引入根式呢？解决策略当我们重新回忆“”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果：古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为x，既然，推导的结果即。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。那么，“”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚：是一个数，它的平方等于2！由此，“”也是

3、一个数，它的n次方等于a！更进一步，是什么呢？由知，故也是一个数（对数），a的次方等于N。如此，则及便不难理解了。于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处：（1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。（2）数学符号是学习数学的一大难点，若不能引起足够的重视，则学生便常常会把符号混用，导致知识的缺陷。重视数学符号的功能，更应讲清它的来龙去脉，帮助学生在有意义的学习中轻松记忆相关内容。（3）有利于学生的后继学习。是什么？i又是什么？许多符号在后面的学

4、习中都会陆续出现，当学生充分理解根式的意义时，接下来的学习便不会再有困难了。当然我们更要追问：为什么要引入正分数指数幂？负分数指数幂又是如何定义的？通过对以上问题的认真、深刻思考，我们设计了如下教学课例：教学设计：根式与分数指数幂一、教学任务分析知识与技能（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。过程与方法通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。情感、态度与价值观通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。二、教

5、学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。三、教材分析教科书先给出了两个实际例子：国内生产总值（GDP）的增长问题，生物体内碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中已学的整数指数幂，也让学生感受其中的函数模型，并且还有思想教育价值；后一个问题，让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根与立方根的概念扩充

6、到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理指数幂逼近无理系数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数。四、教学基本流程实例 根式 分数指数幂 无理指数幂五、教学情景设计第一课时 根式1、问题情境设疑问题1、根据国务院发展研究中心2000年发表的未来20年我国发展前景分析判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？分析：设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么。设疑：正整数指数幂的含义是什么？它具有

7、哪些运算性质？问题2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，年后，它体内碳14的含量P分别为，当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为，。设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？2、数系的扩充你是否看过杂技团演出中“小狗做算术”这个节目？台下观众出一道10以内的加

8、法题，比如“2 + 5”，由演员写到黑板上，小狗看到就会“汪汪汪”叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的“数学尖子”表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。我们开始接触数学时，便是从0、1、2、3、4、等认识起的，并把它们称作自然数，初步有了“加”的运算：两个自然数相加，仍为自然数。但是，两个自然数相减呢？随着社会的发展，人们又发现了很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西，为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称整数。一个数连加几次，如5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5，每次书写

9、都挺麻烦的，于是便引入了另一种运算“乘“，连加即为乘，“×”也只是一种记号，其初始含义是连加的意思（na = a + a + + a）。类似地，连乘记为乘方，即。两个整数相乘后仍为整数，自然地我们考虑其逆运算“除”，如2÷3，它却不是整数，于是又引入了分数，它仍是一个记号：把n分成m等分。进一步我们自然地会追问：如果，那么x是什么呢？如x 2 = 4，由于，那么x 2 = 2时，x等于多少？我们知道存在实数x，它的平方等于2，但我们没有办法用有理数表示它，从而便有了根式的概念：用表示，“”是什么呢？它是一个数，它的平方等于2！更一般的情况，“”是什么呢？也是一个实数，它的n

10、次方等于a，即！3、根式（1）平方根：；立方根：。（2）n次方根：如果，那么x叫做a的次方根。类似于平方根与立方根的结论，我们有：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，记为：。当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，记为；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0。（3）根式：，n 根指数，a 被开方数。第二课时 分数指数幂1、复习（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：运算性质：。问题设疑：如何计算：？分析：，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？问题：能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？2、分数指数幂实例引入：，问题：1、从以上两个例

11、子你能发现什么结论？2、如何表示？结论：规定问题3、分析：如：，。规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。3、有理指数幂的运算性质：回到前面的问题，则有，相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。案例分析与反思1、以上我们只展示了课堂教学的片断，对根式与分数指数幂的概念的教学提出自己的设想，目的是讲清知识发生、形成的过程及引入根式、分数指数幂的必要性，激发学生的学习兴趣。2、本课例是根式的拓展与延伸，处处注意与初中所学知识的类比，如根式与平方根、立方根的类比，分数指数幂与整数指数幂的类比，使知识的形成水到渠成，学生在原有认知的基础上进行有益的推广，其学习

12、是主动的、积极的，知识形成是自然的，没有强加之嫌，在教师的引导下，学生始终处于“我要学”的状态，并自觉去探究新的教学任务。3、为什么要引入根式？又为什么要学习分数指数幂？教材中并没有详细说明，只是用“数学上的规定”来阐述。若我们不能及时引导学生追问“为什么”，则只能是用条条框框的割裂方式肢解知识的结果，把孩子活生生的思考也肢解了。几经如此，学生宝贵的思维火花便将熄灭，而走上这样一条路：不再思考，刻板记忆，不求甚解，渐渐地，思维的心灵变得麻木了。因此，在教学过程中，对任何细节，都应鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其他事物之间的联系，使它逐渐成为学生的一种根深蒂固的习惯。这些知识本身或

13、许并不重要，但形成一种有如“水银泻地无孔不入”的思想方法，却是智力素质提高的一个方面。4、本节以两个具体事例：国内生产总值（GDP）的增长问题，生物体内碳14的衰减问题引入，但这两个例子与本节的教学联系不大，尤其是第一课时根式，更是没有什么关系，因此，要不要用这两个例子呢？或者，把它们移至指数函数的图象与性质一节引入更贴切些。育星教育网 学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，

14、大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具

15、有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种

16、：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效

17、的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可

18、能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生

19、的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技

20、巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理

21、的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达