时间序列-1-2

1、1一、时序分析的应用一、时序分析的应用二、时间序列的概率特性二、时间序列的概率特性三、平稳时间序列三、平稳时间序列四、时间序列的运算四、时间序列的运算2 一般来说一般来说, 采用参数模型（特别是采用参数模型（特别是ARMA模型），对所观测到的有序的随模型），对所观测到的有序的随机数据进行处理和分析的一种数据处理机数据进行处理和分析的一种数据处理的统计方法，称为的统计方法，称为时间序列分析时间序列分析，亦称，亦称时间序列方法时间序列方法，或时序分析，或时序方，或时序分析，或时序方法。法。时间序列方法时间序列方法3常见的时间序列模型有常见的时间序列模型有 研究、分析和处理时间序列，就是为了从研究、

2、分析和处理时间序列，就是为了从中提取有关的信息，揭示时间序列本身的结构中提取有关的信息，揭示时间序列本身的结构与规律，从而认识产生时间序列系统的固有特与规律，从而认识产生时间序列系统的固有特性，掌握系统与外界的联系规律，从系统的过性，掌握系统与外界的联系规律，从系统的过去值去预测其将来值。去值去预测其将来值。4、非平稳、非平稳ARIMA模型。模型。3、季节性模型；、季节性模型；2、滑动平均（、滑动平均（Moving Average）模型；）模型；1、自回归（、自回归（Autoregressive）模型；）模型；4 1. 预报分析预报分析一、时序分析的应用一、时序分析的应用 时间序列分析的目的可

3、以概括为四个方面时间序列分析的目的可以概括为四个方面:描述描述,推断推断,预报与控制预报与控制.故究其应用方面可分为故究其应用方面可分为以下四部分内容以下四部分内容: 根据对某个变化量的一般观测数据，建立根据对某个变化量的一般观测数据，建立统计预测模型，从而预报该量在未来时刻的统计预测模型，从而预报该量在未来时刻的取值问题，此即为时间序列的预报问题。取值问题，此即为时间序列的预报问题。5例如例如,根据历史数据与动态模型作出预报根据历史数据与动态模型作出预报:预报明日、下周某支股票股价预报明日、下周某支股票股价;预报上海、深圳股价；预报上海、深圳股价； 预报下年水产品总产量预报下年水产品总产量;

4、预报下一时段化工生产的浓度读数预报下一时段化工生产的浓度读数;预报下日的日平均气温预报下日的日平均气温;预报下月臭氧每小时读数月平均值。预报下月臭氧每小时读数月平均值。6 2. 控制分析控制分析根据若干量的观测结果的分析，建立适当的统根据若干量的观测结果的分析，建立适当的统计控制模型，寻求对某些量进行优化控制，属计控制模型，寻求对某些量进行优化控制，属于控制分析内容，或最佳控制设计内容。于控制分析内容，或最佳控制设计内容。 例如，由记录的过去若干小时用电负荷量数据，例如，由记录的过去若干小时用电负荷量数据，可以分析得出供电系统和发电系统的某种最优可以分析得出供电系统和发电系统的某种最优控制方法

5、。控制方法。 7又如下图给出一个与动态系统有关的输入和输又如下图给出一个与动态系统有关的输入和输出时间序列：出时间序列： 可以寻求某种控制方法，使输出函数可以寻求某种控制方法，使输出函数近似为正弦函数。近似为正弦函数。动态系统动态系统输入输入(空气供应速度空气供应速度)输出(CO2浓度)83. 诊断分析诊断分析 根据两个时间序列的记录值，建立统计模根据两个时间序列的记录值，建立统计模型，分析判断它们是否具有相同属性；或根据型，分析判断它们是否具有相同属性；或根据一个时间序列的记录值，分析判断它是否具有一个时间序列的记录值，分析判断它是否具有某些指定的属性，谓之诊断分析，亦称为识别某些指定的属性

6、，谓之诊断分析，亦称为识别诊断。诊断。 例如：分析地下水位的变化量，为了预报例如：分析地下水位的变化量，为了预报地震的发生情况，则需从地下水位时间序列数地震的发生情况，则需从地下水位时间序列数据中分析，是否存在异常现象，是否处于正常据中分析，是否存在异常现象，是否处于正常状态。状态。 9又如又如: 了解人的两次脉博之间时间间隔的了解人的两次脉博之间时间间隔的时间序列数据，是为了诊断该人员心跳是时间序列数据，是为了诊断该人员心跳是否正常或异常，对身体有无损害。否正常或异常，对身体有无损害。104. 频谱分析频谱分析 对时间序列的周期谐波分量，或频率特性对时间序列的周期谐波分量，或频率特性进行统计

7、分析，称之频谱分析。进行统计分析，称之频谱分析。例如，某机械的振动中会有周期分量，就需要例如，某机械的振动中会有周期分量，就需要对其进行频谱分析。对其进行频谱分析。在实际应用中，涉及一个时间序列的统计分析，在实际应用中，涉及一个时间序列的统计分析，称之一元时间序列分析，涉及各个时间序列的称之一元时间序列分析，涉及各个时间序列的联合统计分析，则谓之多元时间序列分析。联合统计分析，则谓之多元时间序列分析。11二、时间序列的概率特性二、时间序列的概率特性 时间序列是一列依时间顺序记录下的随机时间序列是一列依时间顺序记录下的随机数据，数据，x1,x2,，实际上可视为一列随机变量，实际上可视为一列随机变

8、量X(t1),X(t2),的一个观测值，即的一个观测值，即X(t),tT为一随机过程，为一随机过程，T为时间集，若为时间集，若t取值为取值为T=0,1, 2，则则X(t),t= 0,1, 2， 即为随机时间序列。即为随机时间序列。 对一个连续时间的随机过程对一个连续时间的随机过程,若进行等间若进行等间隔的观察采样隔的观察采样,这样获得的数据序列，即为一这样获得的数据序列，即为一个随机序列。个随机序列。12因此，时间序列分析的任务实际上是对上述一因此，时间序列分析的任务实际上是对上述一部分特殊随机序列进行统计分析，对平稳随机部分特殊随机序列进行统计分析，对平稳随机序列的统计分析是时间序列分析的主

9、要内容。序列的统计分析是时间序列分析的主要内容。13 1. 时间序列的有限维分布族时间序列的有限维分布族 设一个时间序列为设一个时间序列为X(t),tT ， T=0,1, 2，,由随机过程理论知识，由随机过程理论知识，一个随机过程的概率特性由其有限维分布函一个随机过程的概率特性由其有限维分布函数族唯一决定：数族唯一决定：),(2121nntttxxxFF)(,)(,)(221nnXtXxtXxtXP,2121TtttRxxxnn142. 时间序列的数字特征时间序列的数字特征（1）均值函数）均值函数设设X(t),tT=0,1, 2，为一个时为一个时间序列间序列 ),()()(tXtxxdFtEX

10、tm（2）均方值函数）均方值函数 222),()()(txdFxtXEtX15（3）自相关函数）自相关函数 )()(),(tXsXEtsRX（4）自协方差函数）自协方差函数)()()(),(tsXtXsXEtsC（5）方差函数）方差函数2)()()(tXtXEtXVartD22)(),()(tXXXtttCtD易见16 在时间序列中在时间序列中,其数字特征一如随机过程其数字特征一如随机过程的数字特征的数字特征,亦可分别按随机变量为离散型与亦可分别按随机变量为离散型与连续型分别计算。连续型分别计算。 在时间序列分析理论中在时间序列分析理论中,平稳线性序列是平稳线性序列是研究的主体内容研究的主体内

11、容,因此下面介绍平稳线性序列因此下面介绍平稳线性序列的概念。的概念。17三、平稳时间序列三、平稳时间序列 在随机过程论中，定义了宽平稳与严稳两种在随机过程论中，定义了宽平稳与严稳两种平稳过程。对于随机序列，相应的有两种平稳平稳过程。对于随机序列，相应的有两种平稳的时间序列：的时间序列： 1. 严平稳时间序列严平稳时间序列定义定义1.1 设设X(t),t=0,1, 2，为时间为时间序列，若对于任意正整数序列，若对于任意正整数n和和n个整数个整数t1,t2,tn, s，随机变量，随机变量)( , ),( ),(21stXstXstXn18),(2121nntttxxxF),(2121stststx

12、xxFnn的联合分布函数与的联合分布函数与s无关，即无关，即 易见，严平稳序列的分布特性随时间的平移而易见，严平稳序列的分布特性随时间的平移而保持不变。保持不变。 例例2.1 由定义可知由定义可知,独立同分布时间序列独立同分布时间序列是一种最简单的严平稳时间序列。是一种最简单的严平稳时间序列。19 严平稳序列具有以下性质严平稳序列具有以下性质: i) 一维分布函数与时间一维分布函数与时间t无关，即无关，即)(),(xFtxFXX因此严平稳序列的均值函数为常数。因此严平稳序列的均值函数为常数。 ii) 二维分布函数只与时间间隔有关，只与时二维分布函数只与时间间隔有关，只与时间起点无关，即对任意间

13、起点无关，即对任意 sttxx,2121),(),(12212121ttxxFttxxFXX20因此其自相关函数，自协方差函数均与时间起因此其自相关函数，自协方差函数均与时间起点无关，而只与时间间隔有关，即点无关，而只与时间间隔有关，即 )(),(1221ttRttRXX)(),(1221ttCttCXX 2. 宽平稳时间序列宽平稳时间序列定义定义2.2 设设 X(t), t= 0,1, 2，为时为时间序列，若其具有性质间序列，若其具有性质)()(122tEXtX常数)(2tXEt)(),(31221ttRttRXX则称此则称此X(t) 为宽平稳时间为宽平稳时间序列。序列。21 例例2.2 白

14、噪声序列是一种宽平稳时间序列。白噪声序列是一种宽平稳时间序列。因为白噪声序列因为白噪声序列 X(t),t=0,1, 2，具具有性质有性质0)(1tXE)()()(22stsXtXEstst 0 2 若白噪声序列为相互独立同正态分布序若白噪声序列为相互独立同正态分布序列时，称之为正态白噪声序列，这个序列列时，称之为正态白噪声序列，这个序列在时序分析中起着重要作用。在时序分析中起着重要作用。22 3. 平稳线性序列平稳线性序列定义定义2.3 设设j为白噪声序列，序列为白噪声序列，序列 jjtjtaX称为称为j的无穷滑动平均序列的无穷滑动平均序列,又称为又称为平稳线平稳线性序列性序列。 jja2其其

15、中中式中的无穷求和是在均方意义下收敛的，即式中的无穷求和是在均方意义下收敛的，即230lim2jjtjnnjjtjnaaE平稳线性序列有下列性质：平稳线性序列有下列性质： 01tEX）0) (lim)(lim2kttkXkXXEkR）为简单起见为简单起见,以后我们用以后我们用xt既表示时间序列既表示时间序列,又表示其相应的样本函数又表示其相应的样本函数.24四、时间序列的运算四、时间序列的运算 1. 时间序列的线性运算时间序列的线性运算设设xt与与yt为两个时间序列，为两个时间序列，a、b为任意常数，为任意常数，则则 2, 1, , 0 tbyaxzttt称为时间序列称为时间序列xt与与yt的

16、线性运算序列。的线性运算序列。易见，易见， 当当xt与与yt的均值函数为的均值函数为mx (t)与与my (t)时，时，zt的均值函数为的均值函数为 )()()(tbmtamtmyxz0)(0)()(tmtmtmzyx有时，特别，当252. 时间序列的延迟运算时间序列的延迟运算设设xt为一时间序列，为一时间序列，k为一正整数，其为一正整数，其k步步延迟延迟运算序列运算序列即为即为, 2, 1, 0txyktt 1）若）若xt为严平稳序列，则为严平稳序列，则yt亦为严平稳的序列；亦为严平稳的序列；延迟运算序列有如下性质延迟运算序列有如下性质 2）若）若xt为宽平稳序列，则为宽平稳序列，则yt亦为

17、宽平稳的序列；亦为宽平稳的序列； 3）若）若xt为正态序列，则为正态序列，则yt亦为正态序列。亦为正态序列。问题问题: 若若xt为白噪声序列，是否为白噪声序列，是否yt也为白噪声序列也为白噪声序列?26 3. 时间序列的线性与延迟的联合运算时间序列的线性与延迟的联合运算 设设xt为一时间序列，为为一时间序列，为xt-i 其其i步延迟序列，则步延迟序列，则 ktktttxaxaxay110 2, 1, , 0t 2, 1, , 0 ，其中i为常数kaaaak , , , , ,210为为xt的延迟与线性联合运算，其中的延迟与线性联合运算，其中yt称为对序称为对序列列xt的滑动（加权）平均序列。的滑动（加权）平均序列。27特别地，特别地，时取kaaaak1 , 0210, 2, 1, 0,21tkxxxyktttt为为xt的滑动平均序列。的滑动平均序列。滑动平均滑动平均是将动态数列进行修匀的一个重要是将动态数列进行修匀的一个重要方法，它从第一项开始，逐项递增，分别计方法，它从第一项开始，逐项递增，分别计算序时平均数，形成一个新的平均数动态序算序时平均数，形成一个新的平均数动态序列。列