第十一章概率与统计

1、第一章概率与统计考纲要求：1. 理解随机变量发生的概率的意义.2. 了解等可能事件概率的意义，会用排列组合的基本公式运算一些等可能事件的概率3. 理解互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率和独立重复试验的概率的计算公式.4. 理解离散型随机变量的分布列，数学期望和方差的定义，了解服从二项分布，几何分布的离散型随机变量的数学期望和方差的计算公式5. 了解常见的几种抽样方法，会读懂频率分布直方图，理解总体密度曲线的意义6. 了解正态分布和线性回归.第一节随机事件的概率互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率1. 事件的定义 随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件

2、； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2. 随机事件的概率一般地：大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近于某个常数nP(0乞P乞1),在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).3. 等可能事件的概率在一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)二m.n4. 互斥事件有一个发生的概率 互斥事件的定义:不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件；如果事件Ai,A2/,An中的任何两个事件互斥,那么就说事件AA,An彼此互斥. 对立事件的定义：事件A和事件B互斥,

3、且它们之中必有一个发生，这样的两个事件叫做对立事件.事件A的对立事件可以表示成A. 互斥事件有一个发生的概率如果事件A,A2,，An彼此互斥,那么事件AA2A发生(AA,，代中有一个发生)的概率P(A,A2-AnP(A,)P(A2P(An). 互斥事件有一个发生的概率可以理解成：分类发生的事件的概率，等于各数事件发生的概率之和，类似于分类计数原理. 特别地:如果代B为对立事件，那么P(A)P(B)二1.5. 相互独立事件同时发生的概率 相互独立事件的定义：事件A(或B)是否发生与事件B(或A)是否发生的概率，相互之间没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件 事件A.B发生(事件A与事件B同时发

4、生)的概率P(ABP(A)P(B). 相互独立事件有一个发生的概率的计算可以理解成：分步发生的事件的概率等于各步事件发生的概率之积，类似于分步计数原理 独立重复试验：在同样条件下进行的，各次这间相互独立的一种试验. 如果在1次试验中，某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率Pn(k)C：Pk(1-P)nJ它的值是二项式P(-P)n展开式的第k1项.例1将5本不同的书全部分发给4个同学，每名同学至少有一本书的概率是()"15c152448A.B.C.D.-64128125125【解析】将5本不同的书全部分发给4个同学共有n=45,每名同学至少有一本的分

5、法数m二CGCCA：=240,故每名同学至少有一本书的概率p=竽=15.A3464例2在一个口袋中有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到两个黑球的概率等于()A2c3c3,9A.B.C.D.-78728例3从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中,既有男同学,又有女同学的概率为()A9101920A.B.C.D.-29292929C20C10C20C1020C20'Go920；方法二：P=131.29C3029297只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口,电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第()D.Z【解析】方

6、法一：P二3C30例4已知盒中装有3只螺口与向下放着，现需要一只卡口灯炮使用3次才取到卡口灯泡的概率为八2117A.B.4040C色10111例5三名战士射击敌机，他们的命中率分别是-厂厂,则敌机被击落的概率为332例6接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.8,现有5人接种该疫苗，至少有3个出现发热反应的概率为.例7在如下图所示的电路中，开关a,b,c开或关的概率都1为-,且相互独立,求灯亮的概率.2_【解】先求灯不先的概率，即1-P(C)1-P(A)P(B)1 35二1-2 48a_b_.120课后练习四十一1. 在一个袋子里装有分别标有数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除数字外完全

7、相同现从中随机取出2个小球,则取出的小球标的数字之和是3或6的概率是(11_13A.B.C.D.12105102. 甲：AA是互斥事件；乙：A1,A2是对立事件；那么(A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分又不必要条件3. 将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依久成等差数列的概率为(1111A.1B.丄C.丄D.91215184. 一个骰子连续抛掷三次，至少一次出现6点向上的概率是(A525厂3191A.B.C.D.-2162162162165. 在正方体上任选3个顶点连接成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为(B.27C

8、.9746.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为-,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率5D.-7A.17为八1696192256A.B.C.D.-6256256256257.10张奖券中只有3张有奖,5个人购买，每人一张,至少有一个中奖的概率是A31厂111A.B.C.D.1012212118.甲射手击中靶心的概率为丄，乙射手击中靶心的概率为-，甲,乙各射击一次32于A.甲,乙都击中靶心的概率B.甲，乙恰好有一人击中靶心的概率C.甲，乙至少有一个击中靶心的概率D.甲，乙不全击中靶心的概率9. 某人工作一天出废品的概率是0.2，则4天中仅有1天出废品的概率为.10. 将10参加比赛的代表队，通

9、过抽签分成代B两个组，每组5个队,其中甲，乙两队恰好被分在A组的概率为.11. 一批零件10个,其中有8个合格品,2个次品，每次任取一个零件装配机器,若第一次取得合格品的概率为R,第二次取得合格品的概率为P2,则R,P2的大小关系是.12. 从3台甲型彩电和2台乙彩电中任取2台,其中两种品牌的彩电齐全的概率是第二节离散型随机变量的分布列数学期望方差1随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母,来表示 离散型随机变量：对于随机变量的取值，可以按一定次序列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.2. 随机变量的分布列 设离散型随机变量可能的取值

10、为XX2，Xn，厂取每一个值Xi的概率P(二Xi)二Pi，则称表X1X2XiPP1P2Pi为随机变量的分布列. 分布列的两个性质：I.0<Pi<1U.PiP21 二项分布：如果在一次实验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)C：pk(1-p)n丄，称这样的随机变量'服从二项分布，记作B(n,p). 几何分布：如果在一次实验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中，某事件第一次发生所需实验的次数是一个随机变量C=1,2,3;),则P(=k)p(1-p)n：称这样的随机变量复从几何分布3.随机变量的数学期望和方差一般地:

11、如果随机变量的分布列为X1X2XiPP1P2Pi则称E=X1P1X2P2XnPn宀为随机变量的数学期望,简称期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.D丄化-E)2P1(xE)2p(xE)2P为随机变量的方差,它反映了离散型随机变量取值的集中与离散程度.出=0为随机变量匕的标准差. 期望的性质：E(a：b)=aErb. 方差的性质：D(b)=a2D 若B(n,p),则=np,=npq. 如果离散型随机变量服从几何分布,那么E=1,DE=弓PP其中q=1p例1两封信随机投入到代B,C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望Eg=例2设离散型随机变量的分布列为01234P1113351010101

12、0(1)2的分布列为P-1|的分布列为P例3某人进行射击，每次中靶的概率为0.8,现规定中靶就停止射击；若没有中靶，则继续射击，如果只有3发子弹,则射击次数©的数学期望为.1例4甲,乙两人进行围棋比赛，每盘比赛甲胜的概率为-,而围棋比赛规则中不会出3现平局.规定某人胜3局则比赛结束.(1) 4盘结束比赛且甲胜的概率是多少？(2) 求比赛盘数的分布列和数学期望.【解】(1)4盘结束比赛且甲胜的概率P-C2(-)2-;33327(2)比赛结束所需的盘数=3,4,5，且-j13231P(=3)=(；)(-)333P(f；=4)(1)2Z1C；(2)212=23333332710278271

13、0727P345110_8_32727所以'的分布列为e、334另527例5从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数的分布列.(1) 每次取出的产品都不放回此批产品中；(2) 每次取出的产品都放回此批产品中，然后再取出一件新产品每次取出一件产品总把一件合格品放回此批产品中例6某人抛掷一枚骰子，出现各数的概率都是6构造数列的3.使an，记SnP亠an.,（当第n次掷出偶数时）厂1（当第n次掷出奇数时）（1）求S4=2的概率；若前两次均为奇数，求S7=-1的概率.课后练习四十二(

14、)D.n=7,p=0.451设随机变量'B(n,p),且E=1.6,D=1.28,贝UA.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.3212. 如果随机变量B(15,-),则使P二k)取最大值的k值为()4A.3B.4C.5D.3或43. 袋中有5个白球,3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则Pf=12)等于()A.C；0(7. 连续向一目标射击，直至击中目标为止，已知一次射击命中目标的概率为-,则射击次为3的概率等于.)(1)求每个风景点至少一个个旅行团观光的概率；求观光甲风景点的旅行团数的数学期望.

15、(|)2B.C1i(|)10(|)2C.C1312.5个旅行团到3个风景点观光.1(|)2(|)9D.C；1(；)9(28. 随机变量的分布列P(=k)=a()k,k=1,2,3，,则a的值为39. 随机变量等可能取值为1,2,3,-,n,如果P(：4)=0.3,那么n二10. 在独立重复实验中，如果一次试验某事件发生的概率为时所需试验次数的数学期望为11. 随机变量的分布列如下表：其中a,b,c成等差数列，若E：=l,则D©=)2888888884. 一个蓝球运动员投蓝一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,c,b(0,1),已知他投蓝一次得分的数学期望值为2

16、,则ab的最大值为()A.丄B.4824C.12D.-,直到)5. 在6个电子产品中,有2个次品,4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不放回两个次品都找到为止，则所需测试的次数的数学期望是(_514A.4B.5C.D.-336. 袋中有大小相同的5个球分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是()A.5B.9C.10D.257,那么该事件第二次发生-101Pabc第三节统计1. 抽样方法 简单随机抽样：设一个总体含有N个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，称这样

17、的抽样为简单随机抽样简单随机抽样的方法通常有抽签法和随机数表法这种抽样方法适合于个体数较少的总体. 分层抽样：把N个个体进行编号，然后根据样本容量n求得分段的间距k=N,m用抽样方法确定一个起点个体编号m,从而得出以后的各个样本的编号依次是mk,m2k,，m(n-1)k.分层抽样：如果总体数有若干个层，则每个层中所抽取的个体数可按各层个体中所占比例抽取.2. 总体分布的估计 利用频率分布直方图估计某个区间内的数据个数； 利用总体密度曲线进行估计某个区间内的个体分布的百分比.3. 正态分布1_(X-R2 若连续型随机变量的概率密度函数f(X)二1,称服从正态分布,记作N(；")，其中分

18、别是正态分布的期望和标准差. 标准正态分布,记作N(0,1),其密度函数y儿I.当'-0-1时的正态分布称为标准正态分布X2n.标准正态分布中,记P（xXo）-（Xo）.为f（x）1G（0）；（-Xo）=1-G（Xo）2P（X1X2）（X2）-G（X1） 正态曲线的性质和概率的计算，记F（x）=P（乞x）I.P（x2）=F（x2）-F匕）1n.f（J=_2川.P（乞u-x）二P（_ux）x卩IV.F（x）：（）四.线性回归一般地：设X与y是具有相关关系的两个变量，相应于n个观测值(Xi,yi)(i1,2/,n)的n个点大致分布在一条直线的附近，这条直线的方程为7=bxa,nn、区-x)

19、(yi-y)、Xiyi-nxy卄亠b其中i4i4n=n_22_2'(XiX)XinXi4i4a=ybX例1某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是（）A.15,16,19B.15,17,18C.14,17,19D.15,16,20例2为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a

20、，b的值分别为（）A.0.27,78B.0.27,83C.2.7,78D.2.7,83【解析】由频率分布直方图知组矩为0.1.4.34.4间的频数为100X0.1X0.1=1.4.44.5间的频数为100X0.1X0.3=3.又前4组的频数成等比数列，.公比为3.根据后6组频数成等差数列，且共有10013=87人.从而4.64.7间的频数最大，且为1X33=27,二a=0.27，6X5设公差为d，贝U6X27+d=87.4X3二d=5，从而b=4X27+（5）=78.答案：A例3以叮-（x）表示标准正态总体在区间（：，x）内取值的概率，若随机变量服从正态分布N（»匚2）,则概率P（-卜：；刁等于（）A.：（；刁一门（"）B.：（1）一（一1）1-VC.（）D.2门（二）例4若公共汽车车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高'N(175,36)(单位：cm),则该地公共汽车车门的高度应设计为多高?(其中(2.33)=0.9901,结果精确定到1)【解】设该地公共汽车的车门应设计为x,则F(x)_0.99即:，(X0.99,X175_2.