第5课时集合的基本运算—补集教师版

1、第2课时补集及综合应用定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.记法：全集通常记作U.思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案剩下不大于1的数，用集合表示为xR|xW1.梳理补集的概念自然语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有兀素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作集合语言?uA=x|xU，且x?A图形语言性质 AU(?uA)=U,An(?uA)=?; ?uU=?,?u?=U1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.(V)2 .存在x°U,Xo?A，且Xo?uA.(X)1 13 .设全集U=R,A=xX>1，则?uA

2、=xX1.(X)4. 设全集U=x,y|xR,yR,A=x,y|x>0且y>0，则?uA=x,y|xw0且yw0.(X)类型一求补集例1(1)已知全集U=a,b,c，集合A=a,则?uA等于()A.a,bB.a,cC.b,cD.a,b,c解析？uA=x|xU且x?A=b,c.答案C(2) 若全集U=xR|2wx<2,A=xR|2wx<0，则？uA等于()A.x|0<x<2B.x|0Wx<2C.x|0<xW2D.x|0Wxw2解析/U=xR|2wxw2,A=xR|2Wxw0,/.?uA=x|0<xw2，故选C.(3) 设全集U=x|x是三角形

3、,A=x|x是锐角三角形,B=x|x是钝角三角形，求AnB,?u(AUB).解根据三角形的分类可知AnB=?,AUB=x|x是锐角三角形或钝角三角形,?u(AUB)=x|x是直角三角形.跟踪训练1(1)设集合U=1,2,3,4,5，集合A=1,2，则?uA=.答案3,4,5已知集合U=R,A=x|x2x2>0，则？uA=.答案x|1<x<2已知全集U=(x,y)|xR,yR，集合A=(x,y)|xy>0，则?uA=.答案(x,y)|xyw0类型二补集性质的应用命题角度1补集性质在集合运算中的应用例2已知A=0,2,4,6,?uA=1,3,1,3,?uB=1,0,2，用列

4、举法写出集合B.解/A=0,2,4,6,?uA=1,3,1,3,/U=3,1,0,1,2,3,4,6.而?uB=1,0,2,B=?u(?uB)=3,1,3,4,6.反思与感悟从Venn图的角度讲，A与？uA就是圈内和圈外的问题，由于(?uA)nA=?,(?uA)UA=U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2如图所示的Venn图中，A,B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合若A=x|0Wxw2,B=y|y>1，贝UA*B=.解析AnB=x|1<x<2,AUB=x|x>0,由图可得A*B=?(AUB)(AnB)=X|0Wx<1或x>2.命题角度2

5、补集性质在解题中的应用例3关于x的方程：x2+ax+1=0，x2+2xa=0,x2+2ax+2=0若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围.解假设三个方程均无实根，则有凶=a24<0,2<a<2,&=4+4a<0,即a<1,解得一2<a<1,庄=4a28<0,.2<a<2.当a<2或a>1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a的取值范围为a|a<2或a>1.跟踪训练3若集合A=xpx2+3x+2=0中至多有一个元素，求实数a的取值范围.解假设集合A中含有2个元素，即ax2+3x+2=0有两个不相等的

6、实数根，aH0,9则解得a<8，且aH0,=98a>0,8则集合A中含有2个元素时，实数a的取值范围是aa<：且ah0.99在全集U=R中，集合aa<所以满足题意的实数a的取值范围是aa>9或a=0.8且aH0的补集是aa>9或a=0,88类型三集合的综合运算例4(1)(2016浙江)已知全集U=1,2,3,4,5,6，集合P=1,3,5,Q=1,2,4,则(?uP)UQ等于()A.f1)B.3,5C.1,2,4,6D.1,2,3,4,5解析I?uP=2,4,6,(?uP)UQ=1,2,4,6.答案C已知集合A=x|xwa,B=x|1wxw2,且AU(?rB

7、)=R,则实数a的取值范围是.解析？rB=xx<1或x>2且AU(?rB)=R,X|1WxW2?A,a>2.跟踪训练4(1)已知集合U=xN|1WxW9,AAB=2,6,(?uA)n(?uB)=1,3,7,AA(?UB)=4,9,则B等于()A.1,2,3,6,7B.2,5,6,8C.2,4,6,9D.2,4,5,6,8,9解析根据题意可以求得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,画出Venn图(如图所示),可得B=2,5,6,8,故选B.l3已知集合U=x|xw4,集合A=x|2<x<3,B=x|3WxW2,求AAB,(?uA)UB,AA(?uB).解如图所示

8、.R.n1-2-10LA=x|2<x<3,B=x|3wxw2,?uA=x|xw2或3Wxw4,?uB=xx<3或2<xw4.AAB=x|2<xw2,(?uA)UB=x|xw2或3wxw4,AA(?uB)=x|2<x<3.1设集合U=1,2,3,4,5,6,M=1,2,4,则?uM等于()A.UB.1,3,5C.3,5,6D.2,4,6答案C2 .已知全集U=1,2,3,4，集合A=1,2,B=2,3，则?u(AUB)等于()A.1,3,4B.3,4C.3D.4答案D3 .设集合S=x|x>2,T=x|4wxw1，则(?rS)UT等于()A.x|2

9、<xw1B.x|xw4C.x|xw1D.x|x>1答案C4 .设全集U=R，则下列集合运算结果为R的是.(填序号)ZU?uN;NA?uN:？u(?u?);?uQ.答案5 .设全集U=1,2,3,4,5,6,A=1,2,B=2,3,4，贝UAA(?uB)=.解析I?uB=1,5,6,AA(?uB)=1.1.已知全集U=0,1,2,3,4，集合A=1,2,3,B=2,4，则(?uA)UB为()A1,2,4B.2,3,4C.0,2,4D.0,2,3,4解析?uA=0,4，所以(?uA)UB=0,2,4，故选C.2.已知U=R，集合A=x|x<2或x>2，则?uA等于（）A.x

10、|-2<x<2B.x|x<2或x>2C.x|2<x<2D.x|x<2或x>2解析?uA为数轴上去掉集合A剩余部分.答案C3.已知全集U=1,2,a22a+3,A=1,a,?uA=3，则实数a等于()A.0或2B.0C.1或2D.2解析由题意，知a=2,a22a+3=3,则a=2答案D4图中的阴影部分表示的集合是A.An(?uB)B.Bn(?uA)C.?u(AnB)D.?u(AUB)解析阴影部分所表示的集合为Bn(?uA).答案B5. 已知S=x|x是平行四边形或梯形,A=x|x是平行四边形,B=x|x是菱形,C=x|x是矩形.下列式子不成立的是（

11、）A.BnC=x|x是正方形B.?aB=x|x是邻边不相等的平行四边形C.?sA=x|x是梯形D.A=BUC解析平行四边形有邻边不相等也不垂直的，D错误.6 .已知U为全集，集合M,N?U,若MnN=N，则（）A.?uN?uMB.M?uNC.?uM?uND.?uN?M解析由MnN=N知N?M,?uM?uN.答案C7.设全集U=xN|x>2，集合A=xN|x2>5，则?uA等于()A.?B.2C.5D.2,5解析因为A=xN|xW5或x>5，所以？uA=xN|2<x<.5，故？uA=2.8.设集合M=x|x=3k,kZ,P=x|x=3k+1,kZ,Q=x|x=3k1

12、,kZ，则？z(PUM)等于()A.MB.PC.QD.?解析集合M,P,Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集合.整数集中去掉被3除余0或1的，剩余的只有余数为2的，即集合Q.答案C,(?uA)n(?uB)=9. 已知全集U=R,A=x|xw0,B=x|x>1，则集合解析AUB=xxW0或x>1,?u(AUB)=x|0<x<1.?uA=xX>0,?uB=x|x<1,-(?uA)n(?uB)=x|0<x<1.答案x|0<x<1x|0<x<110. 设U=R，集合A=x|x综上可知，实数m的取值范围是m|m>3,或m

13、W-.+3x+2=0,B=xlx2+(m+1)x+m=0，若(？uA)nB=?，则m的值是.解析A=2,-1，由(?uA)nB=?，得B?A,方程x2+(m+1)x+m=0的判别式=(m+1)24m=(m1)2>0,/B丰?.B=1或B=2或B=1,2. 若B=1，贝Um=1; 若B=2，则应有一(m+1)=(2)+(2)=4,且m=(2)X(2)=4，这两式不能同时成立，B工2; 若B=1,2，则应有一(m+1)=(1)+(2)=3,且m=(1)X(2)=2,由这两式得m=2.经检验知，m=1和m=2符合条件.-m=1或2.11. 若集合A=x|0Wx<2,B=x|x<0或

14、x>1,则图中阴影部分所表示的集合为解析如图，设U=AUB=R,阴影部分为?u(AnB)=x|xw1或x>2.答案x|xw1或x>2111011212. 已知全集U=R，集合A=x|1WxW2,若BU(?uA)=R,Bn(?uA)=x|0<x<1或2<x<3,求集合B.解/A=x|1<x<2,?uA=x|x<1或x>2.又BU(?uA)=R,AU(?uA)=R，可得A?B.而Bn(?uA)=x|0<x<1或2<x<3,x|0<x<1或2<x<3?B.借助于数轴可得B=AUx|0<x<1或2