L(三章6讲)守恒定律

1、光电信息学院 李小飞第三章第第三章第6 6讲：讲：力学量平均值随时间的演化力学量平均值随时间的演化对称性与守恒律1. 经典物理中的守恒量与条件（对称性）机械能空间平移不变动量守恒（空间均匀性）机械能空间转动不变角动量守恒（空间各向同性）机械能时间平移不变能量守恒（时间均匀性）2. 量子力学中的守恒量守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化 守恒量：力学量的值不随时间变化 引入：物理学中的守恒定律*FF d *( )( , ),( , ).F tt Ftt drrcr量子力学中有哪些守恒定律，成立条件又是什么？*dFFF ddFddtttt （1）Hit1*)(1Hit由薛定谔方程有 *(

2、)( )( )F tt F tt d一、一、力学量平均值随时间的力学量平均值随时间的演化演化(1) 体系所处的状态 随时间变化(2) 力学量算符 ， 随时间变化( )F t( ) t表明：平均值随时间的演化有两方面的原因: *11dFFdFHdHFddttii*1 ()dFFdxFH HFdxdtti)(1FHHFitFdtFd（2） *11dFFdFH dHFddttii因 是厄米算符 H HFdHF d1 ,dFFF Hdtti则二、守恒二、守恒的条件的条件0dFdt如果： F c.充分条件：0,0FtFH,1HFitFdtFd 证明：（）若F是守恒量，则其测量值的概率分布也不随时间改变考

3、虑到 可以选择包含 和 在内的一组力学量完全集，将其共同本征态记为 ，有： 0,HFHFnnnnEHnnnFF在 态下，t 时刻测量 得到 的概率为)(tFnF2)(tCn2( )0ndC tdt因此，实际要证明 三、守恒量的三、守恒量的 性质性质dttCnn)()(*体系的任一状态 均可用 展开：)(tn( )( )nnntC t)()()()()()()(*2tCdtdtCtCtCdtdtCtCdtdtCdtdnnnnnnn*)()()()(tCdtdtCtCdtdtCnnnn*( )( )( )( )nnnnddC tC ttdt ddtdt *( )( )nnt dt dt *( )(

4、 )nnHtt ddi *1( )( )nnt dHt di *1( )()( )nnt dHt di *( )( )nnnEt dt di 2*( )( )( )nnnnnEEt dt dC tii 2*( )( )( )nnnnEdCtCtCtdti22*( )( )( ) ( )nnnnnnEEdCtCtCtCtdtii 2*( )( )( )( )( )0nnnnndddC tC tC tC tC tdtdtdt得结论： 如果某力学量A为守恒量，则无论体系处于何种状态， 其平均值及其各测量值的概率分布都不随时间变化。*1( )()( )nnt dHt di 又212HTp21 , ,

5、02p Hpp0ptpi 不显含时间四、常用守恒定律四、常用守恒定律证明（证明（1 1）：自由）：自由粒子的粒子的动量是守恒量动量是守恒量 1 ,0dppp Hdtti 守恒p证明：证明：动量守恒源于空间平移不称性动量守恒源于空间平移不称性设体系沿x轴方向作一无穷小平移xxxxDxxxxD)()(xx)()(xxxD波函数的变化为：显然即)(exp )()()(xxxxxxxxxD作变换xxx则上式可化为/iexpexp)(xpxxxxDxpx i则平移x的算符可表示为Note: 与平移变换无穷小算符对应。/exp)(prrDip推广：对于三维空间：rrrr若体系具有平移不变性，D, H=0对

6、于无穷小平移/i1prD则可推出0,Hp=动量守恒与三维平移变换无穷小算符对应证明（证明（2 2）：粒子）：粒子在中心力场中运动的在中心力场中运动的角动量是守恒量角动量是守恒量 求哈密顿算符在球坐标系中的形式： 22( )2H T VU r 20( ),4ssZeeU rer22222222222221111(sin)sinsinxyzr rr 11 sinsincoscoscossin11 cossinsincossinsin1cossin0 xrrryrrrzrr22222211()(sin)( )2sinsinHrU rrrr 2222211(sin)sinsinL 22222( )22

7、LHrU rrrrr 角动量各分量及角动量平方均为守恒量角动量守恒定律！（1）在球坐标系中算符 等只是 的函数，与时间t无关，相对于时间的变化率为零。（2）角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈密顿算符对易2,LLLLzyx( ,)可见：角动量守恒源于可见：角动量守恒源于空间转动空间转动对称性（自己证明）对称性（自己证明）22222( )22LHrU rrrrr 222( )22rpLHU rr总能径向动能+转动动能+势能22222221 ()2222rrppLLTprr2222rLppr2222rprrrr 1rpir r证明（证明（3 3）：哈密顿算符）：哈密顿算符不显含时间的不显含时间的

8、体系，能量守恒体系，能量守恒 0tH当 不显含t时，H0,HH 又1,0dHHH Hdtti能量守恒源于时间平移对称性能量守恒源于时间平移对称性 （自己证明）（自己证明）2 ( , )( , )(, )( , )Pr tP Pr tPr tr t证明（证明（4 4）：）： 哈密顿算符哈密顿算符对空间反射对空间反射不变，则宇称守恒不变，则宇称守恒( , )(, )Pr tr t 空间反演算符也称为宇称算符空间反演算符也称为宇称算符定定义空间义空间反射反射算符：算符：21P 反射算符 的本征值：P本征值1P ( , )r t(, )r t空间反射含义：rr22( , )( , ),( , )( ,

9、 )( , )Pr tPr tPr tPPr tPr t1 1、宇称算符、宇称算符： 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定宇称的波函数。宇称是对空间对称性的描述。2 2、证明宇称守恒定律、证明宇称守恒定律体系的哈密顿算符具有空间反射不变性，(, )( , )Hr tH r t即 ( , )( , )(, )(, )( , )( , )PH r tr tHr tr tH r t Pr t有有：( , )( , )Pr tr t( , )( , )Pr tr t(偶宇称)(奇宇称)11P PHHP ,0P H 故 1,0dPPP Hdtti因此,为运动恒量，证毕！P0Pt又 不显含t，P 含义：

10、 若体系的哈密顿量具有空间反射不变性，宇称守恒。此时，哈米顿算符和宇称算符具有共同本征函数，即：能量本征函数也是宇称的本征函数对称性与守恒定律的对应关系对称性与守恒定律的对应关系杨振宁，杨振宁， 李政李政道，吴健雄：道，吴健雄：弱相互作用体系弱相互作用体系宇称不守恒宇称不守恒杨杨- -米尔斯规范场米尔斯规范场理论理论19561956年提出，年提出，19571957年获诺奖年获诺奖19541954年提出后，实现弱相互作年提出后，实现弱相互作用与电磁相互作用的统一用与电磁相互作用的统一CP对称破缺1980年诺奖年诺奖Higgs, 2013年诺奖年诺奖中微子，中微子，2015年诺奖年诺奖外尔费米子，

11、外尔费米子，Where is yang，where is bang光子：光子：质量质量0,电荷电荷0，自旋自旋 电子：质量电子：质量e, 电荷电荷-1，自旋，自旋1/2，中微子：中微子：质量很质量很小小, 电荷电荷0， 自旋自旋1/2 (2015诺奖）诺奖）外外尔尔费米子：质量费米子：质量0, 电荷电荷0, 自旋自旋1/2 ，Arthur B.Mcdonald加拿大Takaaki Kajita日本.中国科学院方忠中国科学院方忠美国普林斯顿大学扎伊德美国普林斯顿大学扎伊德哈桑哈桑2015-7-16 Science The Standard Model of elementary particle

12、1. Gravity. 2. Dark matter 3. dark energy.4. Neutrino masses5. Weyl fermion6. Matterantimatter asymmetry.(1)(1)量子量子体系的守恒量并体系的守恒量并不一定取不一定取确定确定值；值；(2) (2) 量子体系的各守恒量子体系的各守恒量一般不能同时有确定量一般不能同时有确定值值. .五、五、关于量子体系的守恒量的几点关于量子体系的守恒量的几点说明（附）说明（附） 若初始时刻体系处于守恒量F的本征态,则体系保持在该本征态，有确定值; 反之,若初始时刻体系并不处于守恒量F的本征态,则以后的状态一

13、般不是F的本征态, 因此没有确定值。但无论是不是本征态，F的平均值和测量值概率分布都是确定的，不随时间变的. 各量都是守恒量，只能说明它们都与哈密顿量对易，但并不能说明它们之间也对易。即算对易，体系并不一定处于它们共同的本征态。因此一般不能同时有确定值定理 体系有两不对易的守恒量F和G，（即有 F,H=0,G,H=0,但F,G0）, 则能级一般简并证明： F, H=0,则F, H有共同的本征函数 FFEH ,又因为 G, H=0, 则()()H GGHGEE G即G也是H的本征函数，对应的本征值也是E。因为F和G并不对易，它们有不同的本征函数系，因此，本征能量为E的两个函数和G一般不会相同，即

14、能级一般是简并的。(3) (3) 守恒量与能级简并守恒量与能级简并. .推论：推论： 非简并能级非简并能级E E对应的态对应的态E E必是守恒量必是守恒量F F的本征态的本征态 EEEEFEEFHFFH证明：设E 是能量为E的一个本征态。因F是守恒量，则F, H=0 即：FE也是能量为E的一个本征态。EEFF即E也是F的本征态，对应的本征值是F，证毕！重要：重要： 体系的体系的守恒量守恒量总是与体系总是与体系的的对称性对称性相联系，而相联系，而能级能级简并简并也往往也与也往往也与体系体系的的对称性对称性相关。相关。 根据根据能级简并，可找出体系的守恒量；根据能级不简并能级简并，可找出体系的守恒

15、量；根据能级不简并，又可又可找到守恒量找到守恒量的相应本的相应本征态征态。()()EEH FE F 由于能级E 不简并， FE与E两态之间差一个常数，设为F作业作业1: 1:(1)试述定态与守恒量的区别(2)在非定态下,力学量的平均值随时间变化吗？(3)当体系处于定态,不含时力学量测量值的概率分布随时间变化吗？(4)设Hamilton量为守恒量,则体系一定处于定态吗？(5)试述守恒量与能级简并的关系(1)定态是体系的一种特殊的状态,即能量的本征态, 在定态 下,一切不显含时间t的力学量的平均值和测量值概率分布都不随时间变化;守恒量与定态的区别(2)守恒量则是体系的一种特殊的力学量,它与体系的

16、Hamilton量对易,它在任意状态下(不管是否 定态)的平均值和测量值概率分布都不随时间变化.只有当： 一个体系不处于定态, 同时所讨论的力学量又不是守恒量时, 才需要研究该力学量的平均值和测量值概率分布随时间的变化问题.4.4 守恒量与对称性的关系1. 经典力学的守恒量与对称性的关系机械能对空间平移不变性（空间均匀性）动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）能量守恒1918年 德国数学家 A. E. Noether : 从自然界的每一对称性可得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性。2. 量子力学中的对称性(1) 对称变换

17、与对称性群) 1 ( iHtQHt iHQQt iHQQt1i体系的状态满足薛定谔方程若存在变换Q ,在此变换下有体系对变换不变性的要求即用Q-1运算得HQQHHHQQ ,1与方程(1)比较得或写成)4( 0,HQ这就是体系（Hamilton）在变换Q下的不变性的数学表述。凡满足式(4)的变换称为体系的对称变换。 物理学中的体系的对称变换总构成一个群，称为体系的对称性群。(2) 对称性变换与守恒量在对称变换下考虑概率守恒有),(),(),(),(QQQQ则Q应该是幺正算符，即IQQQQFIQi对于连续变换，可考虑无穷小变换0+，令IOFFIFIFIQQ)()(i)i)(i(2FF(3)空间平移

18、不变性与动量守恒设体系沿x轴方向作一无穷小平移xxxx即F是厄米算符，称为变换Q的无穷小算符。可定义与 Q变换相联系的可观测量，体系在Q变换下的不变性导致0,HF即F是一守恒量。对称变换守恒量DxxxxD)()(xx)()(xxxD描述体系状态波函数的变化为显然即)(exp )()()(xxxxxxxxxD作变换xxx则上式可化为/iexpexp)(xpxxxxDxpx i则平移x的算符可表示为Note: 是与平移变换相应的无穷小算符。/exp)(prrDip推广：对于三维空间中的无穷小平移rrrr则其中设体系具有平移不变性，即 D, H=0对于无穷小平移/i1prD则可推出0,Hp动量守恒是

19、与三维平移变换对应的无穷小算符。(4) 空间旋转不变性与角动量守恒设体系绕z轴旋转一无穷小角度，波函数的变化是R)()(对标量波函数有即)()(R)(exp )()()(R作变换则/iexpexp)(zlR则绕z轴旋转的算符是 izl注：rrrrOnrrrrrnrr现考虑三维空间中绕某方向n的无穷小旋转)()( ,rrR)()(rrrR在上述变换下标量函数的变化是即)()(exp )()()( )()()(rrnrrnrrnrrrrR作变换rrr则/iexp/ )(iexp /)(iexp)(exp)(lnprnprnrnnR对于无穷小旋转n则prl其中如果体系具有空间旋转不变性，R, H=0

20、,注：三个矢量的混合积BACACBCBA)()()(对于无穷小旋转/i1lnR则有0,Hl即角动量守恒(5) 时间均匀性与能量守恒(6) 空间反射对称性与宇称守恒本章小结本章小结1. 算符算符的定义的定义：算符、线性算符、厄米算符的定义：算符、线性算符、厄米算符的定义 3. 算符运算算符运算法法则则：算符的和、算符的：算符的和、算符的乘积乘积,.4. 对易子运算法则，常用对易关系对易子运算法则，常用对易关系5. 厄米算符本征值与本征函数的相关定理厄米算符本征值与本征函数的相关定理6. 常用算符本征值问题常用算符本征值问题7. 不确定性原理不确定性原理8. 共同共同本征函数问题本征函数问题9.

21、运动守恒量运动守恒量2. 算符与力学量的关系算符与力学量的关系：测量问题、平均值的计算：测量问题、平均值的计算 附录附录1 1：用到的部分积分公式：用到的部分积分公式 10!mxmmx edx2202xxedxedx224baxbxaedxea222201.3.5.(21)2(2 )nxnxnnx edxx edxsin,cos22ikxikxikxikxeeeekxkxi22222222111()(sin)sinsinrrrrrr 总结：5、掌握动量算符及其本征函数、本征值。、掌握动量算符及其本征函数、本征值。 1、掌握算符基本假定的表述；物理上可观测量应该对应什么样的算符及原因。、掌握算符基本假定的表述；物理上可观测量应该对应什么样的算符及原因。 9、掌握坐标、动量及角动量算符的对易关