中考数学平行四边形-经典压轴题及答案

1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图，在RS ABC中，N B=90°, AC=60cm, N A=60°,点D从点C出发沿CA方向以 4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀 速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t 秒(0<tW15) .过点D作DFLBC于点F,连接DE, EF.(2)(3)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由; 当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)能，t=10；(3

2、) t=或12.15【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角 CDF中，利用直角三角形的性质求得 DF的长，即可证明；(2)易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方 程求得t的值；(3) DEF为直角三角形，分N EDF=90°和N DEF=90°两种情况讨论.【详解】解：(1)证明：: 在 RS ABC 中，N C=90° - N A=30°,1 _ 1 一一一 AB- ac= x60=30cm,2 2 CD-4t, AE-2t,又 在 RS CDF 中，N C=30°,3 c一

3、 DF-CD=2t, . DF-AE；4(2)能， DFII AB, DF-AE, 四边形AEFD是平行四边形，当AD-AE时，四边形AEFD是菱形，即60 - 4t=2t,解得：t-10, 当t-10时，AEFD是菱形;(3)若4 DEF为直角三角形，有两种情况:如图 1, N EDF=90°, DEII BC,15贝U AD=2AE,即 60-4t=2x2t,解得：t=f ,如图 2, N DEF=90°, DE±AC,则 AE=2AD,即 2t = 2（60 4t），解得：t=12,综上所述，当t=15或12时， DEF为直角三角形.2.已知人口是 ABC的

4、中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；室1莺二（1）如图1,当AB = AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2,当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与 BPE面 积相等的三角形（不包括 BPE本身）.【答案】（1）见解析；（2） APE、 APF、 CPF、 PGH.【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理得出EGII AP, EFII BC, EF=-BC, GH II BC, GH=;yBC,推出EFII GH, EF=GH,证得四边形EGHF是平行四边形，证得EFL

5、AP,推出EFLEG,即可得出 结论；(2)由4 APE与 BPE的底AE=BE,又等高，得出S APE=S BPE，由 APE与 APF的底EP=FP,又等高，得出' APE=S APF，由 APF与 CPF的底AF=CF,又等高，得出，APF=" CPF, 1【详解】(1)证明:证得 PGH底边GH上的高等于 AEF底边EF上高的一半，推出S = S =S , S PGH 2 S AEF APF'即可得出结果.EG II AP,EFII BC,ef=2 bc1GHII BC, GH= -BC,2.EFII GH,EF = GH,.四边形EGHF是平行四边形，, A

6、B = AC,.AD±BC,.EF±AP, EG II AP, EF±EG,.平行四边形EGHF是矩形;(2) 丁 PE是 APB的中线，. APE 与 BPE 的底 AE = BE,又等高，S=S, APE BPE,AP是 AEF的中线， APE 与 APF 的底 EP = FP,又等高，S=S APE APFS=S APF BPEPF是 APC的中线， APF 与 CPF 的底 AF= CF,又等高，S=S, APF CPF'S=S, CPF BPE'EFII GHII BC, E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点， AEF底

7、边EF上的高等于 ABC底边BC上高的一半， PGH底边GH上的高等于 PBC底边BC上高的一半，. PGH底边GH上的高等于 AEF底边EF上高的一半，; GH = EF, s = 1=sS _ S 一, PGH 2 AEF APF, E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，综上所述，与 BPE面积相等的三角形为： APE、 APF、 CPF、 PGH.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、 三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.3.（问题情境）在 ABC中，AB = AC,点P为BC所在直线上的任一

8、点，过点P作 PD±AB, PEAC,垂足分别为D、E,过点C作CFLAB,垂足为F.当P在BC边上时（如 图 1）,求证:PD+PE = CF.证明思路是：如图2,连接A，由4 ABP与 ACP面积之和等于 ABC的面积可以证得： PD+PE = CF.（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）,试探索PD、PE、 CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG±BE. P

9、HBC,垂足分别为G、H,若AD = 16, CF = 6,求 PG+PH 的值.（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1： y=-3x+8与直线l2： y=- 2x+8相交于点A,直线512与x轴分别交于点B、点C.点P是直线12上一个动点，若点P到直线11的 距离为2.求点P的坐标.A图 图【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（-1, 6）,（1, 10）【解析】【变式探究】连接AP,同理利用 ABP与 ACP面积之差等于 ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQBC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的

10、距离，再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】变式探究:连接AP,如图3：pD±AB，PE±AC，CAB,且 SA abc = Saacp - SAABP，111 一ABCF= -ACPE- - ABPD.222; AB = AC,. CF = PD - PE；结论运用:过点E作EQBC,垂足为Q,如图，达!美-c图丁四边形ABCD是长方形，. AD = BC,乙 C = N ADC = 90°.; AD = 16, CF = 6,. BF = BC - CF = AD - CF = 5,由折叠可得：DF = BF, N BEF = Z DEF. DF = 5.;

11、 N C = 90°,二 DC= ，DF2 CF2 = <102 62 =8.; EQ±BC, N C = N ADC = 90°,. N EQC = 90° = N C = N ADC.四边形EQCD是长方形.EQ=DC = 4. AD II BC,. N DEF = N EFB.丁 N BEF = N DEF,.乙 BEF = Z EFB. BE = BF,由问题情境中的结论可得：PG+PH = EQ. PG+PH = 8. PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A (0, 8), B (6, 0), C (-4, 0)'AB=

12、 *62 82 =10, BC = 10. AB = BC,(1)由结论得：P1D1+P1E1 = OA=8: P1D1=1 = 2,=P1E1 = 6即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，. y=2x+8=6,. x=- 1,即点P1的坐标为(-1, 6)；(2)由结论得：P2E2 - P2D2 = OA=8: P2D2 = 2,二p2E2 = 10即点P1的纵坐标为10又点P1在直线12上，. y=2x+8=10,. x=1,即点P1的坐标为(1, 10)【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积 法列出等式是解决问题的关键.4. （1）（问

13、题发现）如图1,在RtA ABC中，AB=AC=2, N BAC=90°,点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE, CE, AF,线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）（2）无变化；（3） AF的长为v,3 - 1或<3 +1.当正方形CDEF旋转到B【答案】（1） BE=【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD=.-,2，再得出BE=AB=2,即可得出 结论；（2）先利用三角函数得出CA

14、=豆，同理得出CF =包，夹角相等即可得出 CB 2CE 2 ACF- BCE,进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2,先利用勾股定理求出 EF=CF=AD=、;2 , BF=%；6，即可得出BE-6 - <2，借助（2）得出的结论，当点E在线 段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论.试题解析：（1）在RS ABC中，AB=AC=2,根据勾股定理得，BC=2 AB=2 ；2 ,点D为BC的中点，. AD=1 BC八;2 , 2丁四边形CDEF是正方形，. AF=EF=AD=<2 ,; BE=AB=2,. BE、2 AF,故答案为BE-2 AF；（2

15、）无变化；如图 2,在 Rt ABC 中，AB=AC=2,. N ABC=N ACB=45°,. sinN ABC= CA =卫, CB 21 o在正方形 CDEF 中，N FEC=- N FED=45，在 RtA CEF 中，sinZ FEC=CE 2,CF CA CECb '丁 Z FCE=Z ACB=45°,. Z FCE - Z ACE=Z ACB - Z ACE,. Z FCA=Z ECB, BE CB 一一. ACF BCE，. af = CA r2 , . BE=%.：2 AF, 线段BE与AF的数量关系无变化； （3）当点E在线段AF上时，如图2,由

16、（1）知，CF=EF=CD=、2 ,根据勾股定理得，BF=%6 由（2）知，BE=j2AF,.，. BE=BF - EF= v'6 - <2 ,. AF= <3 - 1,在 RtA BCF 中，CF=、2 , BC=2 <2 ,当点E在线段BF的延长线上时，如图3,一上CA22在 RtA ABC 中，AB=AC=2,，Z ABC=Z ACB=45°,，sinZ ABC=一 二一,CB 21 oCF CACE CB '在正方形 CDEF 中，Z FEC=- Z FED=45 ,一上CF 22在 RtA CEF 中，sinZ FEC=，CE 2丁 Z F

17、CE=Z ACB=45°,. Z FCB+Z ACB=Z FCB+Z FCE,. Z FCA=Z ECB, ACF BCE, 空=CB = 22 , BE= J2 AF, AF CA '由（1）知，CF=EF=CD= v2 ,在 RtA BCF 中，CF= $2 , BC=2、2 ,根据勾股定理得，BF= x. 6 ,. BE=BF+EF=花+ $2 ,由（2）知,BE= <2 AF,. AF= <3 +1.即：当正方形CDEF旋转到B, E, F三点共线时候，线段AF的长为,：3 -1或+1.5.如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G,

18、OC到点E,使OG=2OD、OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG.(1)如图1,若正方形OEFG的对角线交点为M,求证：四边形CDME是平行四边形. 正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE'F'G',如图2,连接 AG, DE',求证：AG'=DE', AG,±DE,；设旋转角为a (0°<a<180°),若AAON是等腰三角形，请直接写出a的值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析:(3)在(2)的条件下，正方形OE'F'G'的

19、边OG'与正方形ABCD的边相交于点N,如图3,(3) a 的值是 22.5°或 45°或 112.5°或 135°或 157.5°.【解析】【分析】1(1)由四边形OEFG是正方形，得到ME=；yGE,根据三角形的中位线的性质得到1CDII GE, CD=5GE,求得 CD=GE,即可得至I结论；(2)如图2,延长E'D交AG4 H,由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD,乙AOD=N COD=90°,由四边形OEFG是正方形，得到OG'=OE',乙E'OG'=90°,由旋

20、转的性质得到N G'OD=N E'OC,求得N AOG'=N COE',根据全等三角形的性质得到AG'=DE', N AG'O=N DE'O,即可得到结论;(3)分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)证明：:四边形OEFG是正方形，L 1- ME= - GE,2; OG=2OD、OE=2OC,1.CD II GE, CD= GE, 2. CD=GE, 四边形CDME是平行四边形；(2)证明：如图2,延长E'D交AG'于H,V四边形ABCD是正方形，/. AO=OD, Z AO

21、D=Z COD=90°,V四边形OEFG是正方形，OGZ=OEZ, Z E'OGO0,.将正方形OEFG绕点。逆时针旋转，得到正方形OEFG，/. Z GzOD=Z E9C,/. Z AOGz=Z COE',在 AGZO 与 ODEZ中，OA=OD< ZAOG,= ZDOE, OG'=OEf：. AG'Og ODE'/. AG'=DE', Z AG'O=N DE'O,/ Z 1=Z 2,Z GzHD=Z G'OE'=90°,/. AG'_LDE;；（3）正方形OEFG，的边

22、OG，与正方形ABCD的边AD相交于点N,如图3,I、当 AN=AO 时，,/ Z OAN=45°,/. Z ANO=Z AON=67.5°, Z ADO=45°,/. a=Z ANO-Z ADO=22.5°；口、当 AN=ON 时，/. Z NAO=Z AON=45°,Z ANO=90°,a=90°-45o=45°；正方形OEFG，的边OG7与正方形ABCD的边AB相交于点N,如图4,OAN=45°,. N ANO=N AON=67.5°,丁 N ADO=45°,. a=N ANO+

23、90°=112.5°； 口、当 AN=ON 时， . N NAO=N AON=45°,. N ANO=90°,a=90°+45°=135°,印、当 AN=AO 时，旋转角 a=N ANO+90°=67.5+90=157.5°,综上所述：若 AON是等腰三角形时，a的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性 质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当 A

24、ON是等腰三角形时，求a的度数是本题 的难点.AD=6,点P是对角线BD上任意一点，连接PA, PC过点PF.,求 APE的面积;6.如图1,在正方形ABCD中，作PE±PC交直线AB于E.(1)求证：PC=PE;(2) 延长AP交直线CD于点如图2,若点F是CD的中点 若AAPE的面积是216，则DF的长为(3) 如图3,点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q,连接7<2 一PQ, MQ,过点 P 作 PNII CD 交 EC 于点 N,连接 QN,若 PQ=5, MN=，则 MNQ 的3面积是图t图2图3【答案】(1)略；(2)8,4或9；(3) 5

25、6【解析】【分析】(1)利用正方形每个角都是90°,对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的 两个内角的和，等角对等边等性质容易得证；(2)作出 ADP和 DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到 PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可；(3)根据已经条件证出 MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】(1)证明：二.点P在对角线BD上， ADP CDP,. AP=CP, N DAP =N DCP,; PE±PC，. N EPC=N EPB+N BPC=90°,丁 N PEA=N EBP+N EP

26、B=45°+90°-N BPC=135°-N BPC,丁 N PAE=90°-N DAP = 90°-N DCP,N DCP=N BPC-N PDC=N BPC-45°,. N PAE=90°-(N BPC-45°)= 135°-N BPC,. N PEA=N PAE,. PC=PE;(2)如图2,过点P分别作PH，AD,PG，CD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点丁四边形ABCD是正方形，P在对角线上， 四边形HPGD是正方形，. PH=PG,PM±AB,设 PH=PG=a,.F 是 CD

27、 中点，AD = 6,贝UFD=3,S=9adf , S=S+ S=1 AD X PH +1DF x PGADF ADP DFP 22,11 -x X 6 + -a X 3 = 9,解得 a=2,乙乙. AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又 PA=PE,. AM=EM,AE=4,; S。=1EA x MP = 1 x 4 x 4 = 8ape 22设HP = b，由可得AE=2b,MP=6-b,S.=1 x 2b x（6 - b ）= 216,ape 225解得b=2.4或3.6,S=S+ S=1 AD x PH +1 DF x PGADF ADP DFP 22'1 x 6

28、 x b +1 DF x b二1 DF x 6,2,.当 b=2.4 时，DF=4；当 b = 3.6 时，DF = 9,即DF的长为4或9;(3)如图， E、Q 关于 BP 对称，PNII CD,. N 1 = N 2, N 2+N 3 = N BDC=45°,. N 1+N 4=45°,. N 3=N 4,易证 PEM2 PQM, PNQ PNC, . N 5=N 6, N 7=N 8 ,EM=QM,NQ=NC, . N 6+N 7=90°, MNQ是直角三角形，设EM=a,NC=b列方程组二 SA_5MNQ- 6【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性

29、质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角 形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角 形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.7.在矩形纸片ABCD中，AB=6, BC=8,现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF, 连接DF.(1)说明 BEF是等腰三角形；(2)求折痕EF的长.【答案】(1)见解析；(2)二.【解析】【分析】(1)根据折叠得出N DEF=N BEF,根据矩形的性质得出AD H BC,求出N DEF;2BFE,求出 N BEF=N BFE 即可；(2)过E作EM±BC于M，则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=

30、AB=6,AE=BM，根据折叠得出DE= BE,根据勾股定理求出DE、在RS EMF中，由勾股定理求出即 可.【详解】(1) :现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,，N DEF=N BEF.丁 四边形 ABCD 是矩形，. AD H BC,，N DEF=N BFE,. N BEF=N BFE,. BE=下，即4 BEF 是等腰三角形；(2)过E作EM±BC于M，则四边形ABME是矩形，所以EM=AB=6, AE = BM.:现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,，DE=BE, DO=BO, BD±EF.丁 四边形 ABCD 是矩形，BC=8,，AD=BC=8,

31、 N BAD=90°.25在 RtA ABE 中，AE2+AB2=BE2,即（8 - BE） 2+62=BE2,解得：BE = , = DE=BF, AE =8 - DE =8 -25 725 7 9'=BM，FM= 1 - 1=在RtA EMF中，由勾股定理得：EF=I D15一=：.15故答案为：一【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的 关键.8.已知：在矩形ABCD中，AB = 10, BC = 12,四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩 形 ABCD 边 AB、BC、DA 上，AE = 2.曲围2(1)如图，当四边

32、形EFGH为正方形时，求 GFC的面积；(2)如图，当四边形EFGH为菱形，且BF = a时，求 GFC的面积(用a表示)；(3)在(2)的条件下， GFC的面积能否等于2?请说明理由.【答案】(1) 10；(2) 12 a；(3)不能【解析】解：(1)过点G作GM±BC于M.在正方形EFGH中，N HEF = 90°, EH = EF,. N AEH + N BEF = 90°. N AEH + N AHE = 90°,. N AHE = N BEF.又 N A = N B = 90°,. AHEM BEF.同理可证4 MFGM BEF. G

33、M = BF = AE = 2.，FC=BC-BF = 10. 1 1Sefc 我FOGM 乂 10 X 2 - 10 .(2)过点G作GM±BC交BC的延长线于M,连接HF. ADII BC,. N AHF = N MFH. EH II FG,. N EHF = N GFH. N AHE = N MFG.又：N A = N GMF = 90°, EH = GF,. AHEM MFG. GM = AE = 2. 1 15 也 gfc - -FC-GM - -(1 - a) x 2 - 12 - a2I (3) GFC的面积不能等于2.说明一：: 若 S&GFC =

34、2,则 12-a = 2,. a = 10.此时，在 BEF中，EF ="荫 + BF1 = (10 -2)2+ 10z = 1164在 AHE中，- AEL - dEF1 - AE2 - J' 64 -22 = /160 > 12 , . AH>AD,即点H已经不在边AD上，故不可能有S=2. GFC说明二： GFC的面积不能等于2.二点H在AD上，菱形边EH的最大值为、一二， BF的最大值为、.又函数$ GFC=12-a的值随着a的增大而减小， s&gfc的最小值为-L.文:1?：'''', A GFC的面积不能等于2.

35、9.如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,(1)求证：N APB=N BPH；(2)当点P在边AD上移动时，求证： PDH的周长是定值;(3)当BE+CF的长取最小值时，求AP的长.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3） 2.【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出N PBC=Z BPH,进而利用平行线的性质得出N APB=N PBC即可得出答案；（2）首先证明 ABPM QBP,进而得出 BCHM BQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=

36、AD+CD=8；（3）过F作FMLAB,垂足为M,则FM=BC=AB,证明 EFMM BPA,设AP=x,利用折 叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.试题解析：（1）解：如图1,; PE=BE,. N EBP=N EPB.又 N EPH=N EBC=90°,. N EPH-N EPB=N EBC-N EBP.即N PBC=N BPH.又 AD II BC,. N APB=N PBC. N APB=N BPH.(2)证明：如图2,过B作BQPH,垂足为Q.由(1)知N APB=N BPH,又 N A=N BQP=90°, BP=BP,在 ABP和 QBP中，上APH eRPH jlBQP -90°I BP-BP, ABP QBP (AAS), . AP=QP, AB=BQ, 又 AB=BC, . BC=BQ.又N C=N BQH=90°, BH=BH,在4 BCH 和4 BQH 中，BC - BQ*"一 二BQH 一勺/I BH-BH ,. BCH BQH (SAS), . CH=Q