21控制系统的时域数学模型

1、第一节第一节 时域数学模型时域数学模型微分方程微分方程第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第一节 控制系统的时域数学模型项 目内 容教 学 目 的 如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何建立控制系统的时域数学模型。教 学 重 点 如何建立控制系统的时域数学模型。教 学 难 点及 其 处 理 关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂，逐步分层次讲解。数学模型的基本概念数学模型的基本概念中学时中学时的函数概念：的函数概念：在在电路电路的学习中对函数概念的理解：的学习中对函数概念的理解：自动控制系统自动控制系统对函数概念的理解：对函数概念的

2、理解：( )yf xxy自变量，因变量xy激励电路系统响应xy控制量控制系统被控制量研究对象的复杂程度加深一一 引引 言言同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的概念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题，可以通过自动控制原理课程把数学、工程、控制三者联系统一起来。u数学模型的定义数学模型的定义：能够描述控制系统输出量和输入量数量关系的表达形式。实际物理系统理想化物理模型数学化数学模型线性化线性数学模型无量纲化可用数学模型标准化标准数学模型u按输入输出的表达形式按输入输出的表达形式数学模型的分类数学模型的分类l微分

3、方程（时间域）l传递函数（复数域）l动态结构图（各元件传函的连接关系）l响应曲线（step、pulse）l频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）v分析法v试验法数学模型建立（建模）的方法数学模型建立（建模）的方法单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程的一般形式为：的一般形式为：式中，c(t)是输出量；r(t)是输入量。为了所表示系统的可实现性，一般限定 。 1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmdddac tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr

4、 tb r tdtdtdt微分方程的一般形式微分方程的一般形式mn二二 时域数学模型时域数学模型-微分方程微分方程建立系统建立系统(或元件或元件)的微分方程的一般步骤的微分方程的一般步骤1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量；2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程；4、标准化。 例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。n电气系统(1)由KVL，得( )( )( )iou tRi tu t

5、( )( )odu ti tCdt又因为(2)消去中间变量 i(t)( )( )( )oiodu tu tRCu tdt(3)标准化( )( )( )ooidu tRCu tu tdt解： 例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。11( )( )( )0iRCu tutut12( )( )( )0CRoututu t11 1( )( )RutRi t22 2( )( )RutR i t11211( ) ( )( )Cuti ti t dtC221( )( )ou ti t dtC对L1，由KVL得对L2，由KVL得列出各元件的输入变量和输出变量的

6、关系式R1：R2：C1：C2：解：121122112222( )( )()( )( )oooid u tdu tRC R CRCR Cu tu tdRdCtt321 2122( )( )()( )( )oooiTd u tdu tTTTTu tu tdtdt111TRC222TR C312TRC或式中：v提醒注意上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的输入，直接利用例1的结论，可列方程如下：1111( )( )( )ccidutRCutu tdt221( )( )( )oocdu tR Cu tutdt消去中间变量uc1(t)，得：2112211222( )( )()( )( )oooi

7、d u tdu tRC R CRCR Cu tu tdtdt原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。负载效应 例3 由理想运算放大器组成的有源网络如图，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。01( )( )0i ti t0 0( )( )iR i tu t1 111( )( )( )oRi ti t dtu tC由KVL：1、由KCL：2、消去中间变量 并标准化，得： 01( )( )i ti t、i01i( )( )( )odu tdu tR CRCu tdtdt ii( )( )( )odu tdu tTu tdtdt 或解：n机械系统 例4 一

8、个由弹簧、质量、阻尼器组成的做直线运动的力学系统。图中，m为物体的质量，k为弹簧系数，f为粘性摩擦(阻尼)系数，F(t)为物体受到的外作用力，y(t)为物体的位移。试列写质量m在外力F(t)作用下，位移y(t)的运动方程。 f22( )( )( )( )kfd y tF tmgF tF tmdt( )( )fF tf vf dy tdt1、由牛顿第二定律：由虎克定律：摩擦力和速度成正比：0( ) ( )kF tk y ty0kymg其中22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt2、消去中间变量Fk(t)和Ff(t)，并整理得：f22( )( )( )( )d y

9、tdy tmfky tF tdtdt机械力学系统的数学模型：211221122122( )( )()( )( )oooid u tdu tRC R CRCR CRCu tu tdtdt相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。v提醒注意两级滤波电路网络的数学模型：相似系统建立系统建立系统(或元件或元件)的微分方程的一般步骤的微分方程的一般步骤1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量；2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量

10、、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程；4、标准化。小结 非线性数学模型线性化非线性数学模型线性化 实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：实际的物理元件都存在一定的非线性，例如： 弹簧系数弹簧系数 是位移的函数是位移的函数 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关 电动机本身的摩擦、死区电动机本身的摩擦、死区 例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。n电气系统思考uo(t)输出量的变化过程是什么？( )( )( )ooidu tRCu tu tdtn机械系统 例4 一个由弹簧、质量、阻尼器组成的做直线运动