北京四中2014届九年级数学总复习专练：绝对值基础知识讲解

1、绝对值(基础)【学习目标】1 .掌握一个数的绝对值的求法和性质；2 .进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3 .会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4 .理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：(1)绝对值的代数意义：一个正数fa(a>0)的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值1a|=0(a=0)是0.即对于任何有理数a都有.a(a:0)(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远

2、，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.要点二、有理数的大小比较1 .数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上的位置如图所示，则avb.2 .法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0:正数大于0负数与0:负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：(1)分别计算两数的绝对值；(2)比较绝对值的大小：(3)判定两数的大小.3

3、 .作差法：设a、b为任意数，若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-bv0,a<b;反之成立.aaa4 .求商法：设a、b为任意正数，右一>1,则a>b；右一=14Ua=b；右一<1,则a<b；bbb反之也成立.若a、b为任意负数，则与上述结论相反.5 .倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念01.求下列各数的绝对值.i1【思路点拨】11，-0.3,0,-1-31在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.【答案与解析】、，一，11万法1:因为-1

4、万到原点距离是1个单位长度，所以因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|=0.3.因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|=0.因为_''.31|'到原点的距离是31个单位长度，所以匚311=31.D2I212、一一一11f1、1万法2:因为-1-<0,所以1-=1-|=1.2212)2因为-0.3<0,所以|-0.3|=-(-0.3)=0.3.因为0的绝对值是它本身，所以|0|=0【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解（如方法1）,一种是利用绝对值的代数意义求解（如方法2）,后种方法的具体做法为：首先判断

5、这个数是正数、负数还是零.再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零.从而求出该数的绝对值.2.已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是.【答案】2009或-2009【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点.【总结升华】已知绝对值求原数的方法：（1）利用概念；（2）利用数形结合法在数轴上表示出来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数.【答案】绝

6、对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题3】【变式2】如果|x|=2,那么x=_;如果|x|=2,那么x=.如果|x-2|=1,那么x=;如果IxI>3,那么x的范围是【答案】+2或-2;+2或-2;1或3；*>3或*<-3【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6,【答案】6或-6类型二、比较大小则点A表示的数为3.比较下列有理数大小：（1）-1和0;(2)-2和|-3|;(3)-1-1i和,3-卜0.1【答案】（1）0大于负数，即-1V0;（2）先化简|-3|=3,负数小于正数，所以-2V3,即-2v|-3|;(3

7、)先化简-1'-!L1,33（4）先化简=-0.1,这是两个负数比较大小：因为-1=1,-0.1=0.1,而1>0.1,所以-1:二0.1,即1V|0.1再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断.【解析】（2）、（3）、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则.【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值,举一反三：【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题2】【变式1比大小：八5八6-3-3-;-|-3.2|-（+3.2）;0.00011000;67L1.38-1.384;-兀-3.14.【答案】>=;>

8、><【变式2】（山东临沂）下列各数中，比一1小的数是（）A.0B.1C.-2D.2【答案】C【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a,-a,-1的大小关系是（）.4e10A.-avav-1B.-1v-avaC.av-1v-aD.av-av-1【答案】C类型三、绝对值非负性的应用&4,已知|2-m|+|n-3|=0,试求m-2n的值.【思路点拨】由Ia|>0即绝对值的非负性可知，|2-m|>0,|n-3|>0,而它们的和为0.所以|2-m|=0,|n-3|=0.因此，2-m=0,n-3=0,所以m=2,n=3.【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|

9、=0且|2-m|>0,|n-3|>0所以|2-m|=0,|n-3|=0即2-m=0,n-3=0所以m=2,n=3故m-2n=2-2X3=-4.【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+,+|m|=0时，则a=b=,=m=0.类型四、绝对值的实际应用5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.检测结果（单位：克）：-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢？请说明理由.【答案】因为I+10|<|+15|v|-20|v|

10、-25|v|+30|v|-40|,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好.这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.002L的误差.现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数.检查结果如下表：+0.0018-0.0023+0.0025-0.0015+0,0012+0.0010请用绝对值知识说明：（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】（1）绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0,0018,-0.0015,+0,0012,+0.0010的这四瓶.（2）第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量.【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：