北京大兴区2015届高三上学期期末考试数学理试题版含答案

1、(B)2+i(D)-2iB=，则A等于3(B)4(D);或牛(0,%c)上是单调减函数的是(B)y=cosx(D)y=/x(A)充分不必要条件(C)充要条件(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件大兴区20142015学年高三期末检测数学(理科)、选择题，共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A=xx0,B=x|一父0,则AB等于x一1(A)(0,1)(B)(0,收)(C)(-«,1)(D)(1,也c)(2)如图，在复平面内，复数4和z2对应的点分别是A和B,则Z2等于z1(A) 12i(C) -1-2i(3)在AABC

2、中，a=<2,b=J3(A)6(D) 3兀4(4)下列函数中，既是偶函数，又在1(A)y=x2(C)y=lnxF(5)已知等比数列an,则“a1<a2<a3”是“an为递增数列”的(6)已知直线l_L平面a,直线m仁平面P,有下列四个命题：若«/P,则l_Lm；若a_LP,则l/m;若l/m,则ot_LP;若l_Lm,则aIIP.以上命题中，正确命题的序号是(A)(C)(B)(D)x-2y+1>0,(7)已知不等式组jx<2,表示的平面区域为D,若函数yx_1+m的图像上存在区x+y-1>0域D上的点，则实数m的取值范围是-11(A)0,-(B)-

3、2,-22一3(C)-1,-(D)-2,12已知集合A=0,2可，集合M=yy=2sin(x+*,xWA,若M=1,0,1,则不同集合A的个数是(A)12(B)27(C)42(D)63二、填空题，共6小题，每小题5分，共30分。1 一.e(9) 若函数f(x)=,则1ff(x)dx=.x1(10)已知向量a=(3,Y),b=(0,2),则向量a在向量b方向上的投影是.(11)已知数列GJ为等差数列，若a1+a3=4,a2+a4=10,则an的前n项和Sn=(12)已知圆M:x2+y2=4,在圆周上随机取一点P,则P到直线x+y=2的距离大于2点的概率为.(13)在MBC中，/BAC=120,A

4、B=2,AC=1,BD=kBC(0九<1),设f(Z)=ADBC,则f(九)的取值范围是.(14)设抛物线C1,双曲线C2的焦点均在x轴上，C1的顶点与C2的中心均为原点，从每条曲线上至少取一个点，将其坐标记录于下表中:x1夜£23y22242&则G的方程是;C2的方程是三、解答题，共6小题，共80分。(15)已知函数f(x)=3sin2x2.3sinxcosxcos2x(x三R).(I)求函数f(x)的最小正周期及单调减区间；(n)若f(x0)=2,xo0,-,求xo的值.(16)2014年5月，北京市提出地铁分段计价的相关意见，针对“你能接受的最高票价是多少？”这个

5、问题，在某地铁站口随机对50人进行调查，调查数据的频率分布直方图及被调查者中35岁以下的人数与统计结果如下:(I)根据频率分布直方图，求a的值，并估计众数，说明此众数的实际意义;(n)从“能接受的最高票价”落在8,10),10,12的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中35岁以上(含35岁)的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.最局票价(兀)最Wj票价35岁以下人数2,4)24,6)86,8)128,10)510,123(17)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形，EA_L底面ABCD,EF/AD,且AB=6,AE=32,EF=3.(I)若AC与BD交于点O,求证

6、：EO/平面FCD;(n)求证：DE_L平面ABF；(出)求二面角AFDB的余弦值.(18)已知f(x)=ax22(a0).(x1)2(I)若a=1,求f(x)在x=1处的切线方程；(n)确定函数f(x)的单调区间，并指出函数f(x)是否存在最大值或最小值.(19)已知椭圆G:与+/=1(a>b>0)的离心率为叵,右焦点为(272,0),过原点O的a2b23直线l交椭圆于A,B两点，线段AB的垂直平分线交椭圆G于点M.(I)求椭圆G的方程;11(n)求证：2+为7£值，并求iAOM面积的取小值.|OA|OM|(20)已知f(x)=3x2-ex,函数f(x)的零点从小到大依

7、次为x,i=12.(I)若xwm,m+1)(mWZ),试写出所有的m值;a1=g(0),，+=ga),求证:a1<a2<一<an<x2;(m)若h(x)=xe2,b=h(0),bn+=h(bn)，试把数列bn的前2n项及x1按从小到大的顺序排列。(只要求写出结果)理科参考答案与评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案ACBDCBDD、填空题（每小题5分，共30分）(9) 1(10) -4(11) 3n2-5n221(12) 14(13) (-5,2)2(14) y2=8x;x24=1(第一个空3分，第二个空2分)三、解答题(共80分)(15)(

8、本题满分13分)解：(I)f(x)=1+2sin2x+J3sin2x1 -cos2x-=123sin2x2=3sin2x-cos2x2=2(3sin2x-1cos2x)222_兀，一八=2sin(2x)+2：4分6所以，f(x)的最小正周期T=：6分2由2kjt+-<2x-<2k7t+3-,k=Z：7分2 62化简彳导k<x<kTt+23 6所以，函数f(x)的单调递减区间为+,kTt+5-5,内Z：9分36(n)因为f(x0)=2,所以2sin(2x0)+2=26即sin(2x0)=0:2分又因为三0,-一2所以2x0-三:三：3分666则2x0=0,即x0=:4分(

9、16)(本题满分13分)(I)由题意得:0：042a20：220：0620：042=12分a=0：16由频率分布直方图估计众数为7,3分说明在被调查的50人中，能接受最高票价为7元的人数比能接受最高票价为其他值得人数多。(n)由题意知,50名被调查者中：选择最高票价在8,10)的人数为0：06父2父50=6人。选择最高票价在10,12的人数为0：04父2父50=4人故X的可能取值为0,1,2,c5p（x=0）=-35C6c31C4=8P（X=1）=C2c1C3321<3.C_5,C3C1333C4C6C4P（X=2）=等C6C2c13C3一8所以，X的分布列为:X012P11382811

10、35EX=012=一(17)(本题满分14分)证明：(I)如图，取CD中点G,连OG,FG,在ACAD中，因为O,G分别是CA,CD的中点,1所以OGIIAD,且OG=1AD,21又由已知得，EF/AD,且EF=AD,2EF所以EFQ0G，所以四边形OGFE是平行四边形，所以E0/FG.3分又E00平面FCD,FGu平面FCD所以n)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系则内0,0,0),B(6,0,0),F(0,3,3v2)D(0,6,0),E(0,0,3J5),2分所以DE=(0,-6,32),AB-(6,0,0),AF-(0,3,32)所以DEAB；0,且DEAF-0-1818-0所以D

11、E_LAB,DE_LAF；又ABnAF=A，所以DE_L平面ABFEO平面FCD4分4分(出)设平面BFD的法向量为n=(x,y,z)由(n)知DF=(0,-3,3啦),DB=(6,-6,0)nDF=-3y+342z=0人,，口一厂厂所以.，令z=1,得门=32,J2,1)、nDB=6x-6y=0又平面AFD的法向量为AB=(6,0,0)3分设二面角A-FD-B的大小为0,8是锐角nAB贝Ucos0=+nAB6.2_,106、5=亏.10所以二面角A-FD-B的余弦值为-一5（18）（本题满分13分）,一,x"2(I)当a=1时，f(x)=x2,(x1)所以直线方程为y-341 5即

12、y=_x.一2 4；(x-1)，(n)f(x)=a(x1)2-(ax2)2(x1)-(x1)(ax-a4)(x1)44(x1)其中a-0,x(_：1)U(1，二)4令f(x)=0,得x=1-ax4(3,1一)a41a4(1,-1)a(-1,-Hc)f'(x)小于0T00小于0f(x)递减极小值递增递减41)当1一一<一1,即0<a<2时,a444一f（x）的增区间是（1一一，一1）,城区间是（-°0,1一一）和（一1,士叼，当x=1-一时，取得极aaa4一.4小值f(1)。又x=(1,+空肘，f(x)>0>f(F,)所以f(x)有最小值aa4a2

13、f(1)=；a4(a-2)2）当a=2时，f（x）的减区间是（-00,1）和（1,2），f（x）无最大值和最小值。43,_1)和(1,收),当ax=1-时，取得极大值f(14)。又xw9,)aa有最大值4f(1)=a2a4(a-2)时，f(x)<0<f(1-),所以f(x)a,9分43)当a>2时，f(x)的增区间是(1,1)，减区间是(a(19)(本题满分14分)解：(I)由题意C=2j2,c.6_因为e=，所以a=2寸3,a3所以b2=a2-c2=422所以椭圆G的方程为x2=1.4分(n)当直线l垂直于坐标轴时，111111.,L易得2+2=2+2=，AAOM的面积S=

14、-|OA，OM|=2131分OAOMab32当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx(k00),A(x1,y1)Iy=kx则由x2v2消元得(1+3k2)x2=12,y-=11242所以X11213k2'2y1.22=kx112k213k2222212(1+k)所以OA=%十必=(一kr11+3k1又OM是线段AB的垂直平分线，故方程为y=-一x,k一口212(1+k2)同理可得OM=4d5分k2+3,11从而22OAOM13k2k2312(1k2)12(1k2)4k2-412(1k2)1、，一=为定值。37分,1112一万法一：由一=2+2之,所以OAOM之6,3OA2OM

15、2OA|OM|J1当且仅当OA=OM时，即1+3k2=k2+3,k=±1时，等号成立,1,一所以AAOM的面积S=2|OAOM|3。9分所以，当k=±1时，AAOM的面积有最小值3。10分、，_1_方法二：AAOM的面积S=,|OAOM,212所以S2=-|OAOM212(1k2)12(1k2)413k2k23222236(1k)36(1k)-：Z22Z22Z(13k)(k3)13kk32(2所以，当且仅当1+3k2=k2+3时，即k=±1时，AAOM的面积有最小值3。10分(20)(本题满分13分)1_-解：(I)f(1)=3A0,f(0)=1<0,f(1

16、)=3-e>0,ef(3)=33-e30,f(4)=48-e4：二0所以m=1,0,3,3分(n)1-g(x)=-e2,g(x)在R上单调递增，当0<x<1时,31e2.0<g(x)<g(1)=用<1,由(I)知，0:二x2：二1,f(x2)=3x2-ex2=0,1A即g(X2)=-e>=%,2分3所以0<g(0)<g(X2)=X2<g(l)<l下面用数学归纳法证明0:二a1：二a2<a3：1:二an=：x2由式知，0<a1<x2,所以0cg(0)<g(a1)<g(x2),即0<ai<a2<X2,所以，当n=1,2时，命题成立假设n=k(k至2)时命题成立，即0<a1<a2<a3<|<ak<x2当n=k+1时，由式得0二g(0):二g(ai):二g(a2):二g(a3)IH:二g(aj:二g%)即0:二ai:二a2:二a3Wi<ak:二aki：二4当n=k+1时，命题也成立，所以ai<a2<'"Canex2,7分1x(m)h(x)=下e2,h(x)在R上单调递减，由于1<x1<0,所以31一1<h(0)=一尸<h(x1)=