利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

1、利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题河南省偃师高中高洪海2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。一.洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)(3)limfx'-l,x皿gxlimf(x)=0及limg(x)=0；xaxa可导且g'(x)w0;那么lim0limUl。xagxxagx法则2(2)若函数f(x)和g(x)满足下列条件:limf(x)=0及limgfx)=0；xE：x三A>0,f(x)和

2、g(x)在(-°o,A)与(A,七c)上可导，且g'(x)w。；limf-)=l,gx那么limSlim匚吟。x:gxx:gx法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limf(x)=°°及limg(x)=°°；xax-a(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)w0；(3)limf-)=l,xagx那么lf)=lim匚*。xagxxagx利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：将上面公式中的xa,x8换成x一+8,x-8,xta*,xta洛必达法则也成立。洛必达法则可处理0,

3、0二0&在着手求极限以前，首先要检查是否满足二C一二0,01,由O0I,0,°°型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。(5)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二.高考题处理1 .(2010年全国新课标理)设函数f(x)=ex-1xax2。(1) 若a=0,求f(x)的单调区间；(2) 若当x0时f(x)圭0,求a的取值范围原解：(1)a=0时，f(x)=ex1x,f'(x)=ex1.当xW(*,0)时，f'(x)<0；当xW(0收)时，f&

4、#39;(x)>0.故f(x)在(*,0)单调减少，在(0,2)单调增加(II)f'(x)=ex-1-2ax由(I)知ex至1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f'(x)之x-2ax=(1-2a)x,1从而当12a之0,即a'一时，f'(x)>0(x>0),而f(0)=0,于是当x父0时，f（x）>0.1.由e>1+x(x=0)可得e->1x(x=0).从而当a>时,2f'(x)<ex-1+2a(e-1)=e-(ex-1)(ex-2a),故当xe(0,ln2a)时,综合得a的取值范围为f'(x)&l

5、t;0,而f(0)=0,于是当xw(0,ln2a)时，f(x)<0.1-,2原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）当x=0时，f（x）=0,对任意实数a,均在f（x）占0；xe-x-1、，xxa_x_1令gx)=e2一x(x>0),则gx)=空-2exx,令h(x)=xe-2e+x+2(x>0),则XXXh(x)=xe-+1,h(x)=乂>0,知h'(x)在(0,依为增函数，h'(x)>h'(0)=0;知h(x)在(0,+产为增函数，h(x)>h(0)=0;.g'(x)A0,g(x)在(0,f

6、)上为增函数。xx-1由洛必达法则知，lime一2一x0x综上，知a的取值范围为（J|',2xelim2ylimx_0xxx_02.（2011年全国新课标理）已知函数，曲线（I）求a、b的值；y=f（x）在点（1,f（1）处的切线方程为x+2y3=0。(n)如果当x>0,且x#1时，f(x)+k,求k的取值范围。x-1x：（原解：（I）f'（x）=x1.lnx)bxb2(x1)由于直线x+2y3=0的斜率为12,且过点（i,i）,故f(1)=1,b=1,亘-b2b2,lnx1(n)由(i)知f(x)=所以x1xf(x).(=-)x-1x11-x2(2lnx+3)。x(k-

7、1)(Y2-1)考虑函数h(x)=2lnx+(x>0),则h'(x)=2(k-1)(x1)2x(i)设k芸0,由h'(x)=x22k(x1)-(x7)知，当x"1时，h'(x)<0,h(x)递减。而h(1)=0故当xe(0,1)1.一时，h(x)>0,可得2h(x)>0;1-x，、-1当xu(1,+0°)时，h(x)<0,可得h(x)>01-x2从而当x>0,且x=1时，f(x)-(1nX+)>0,即f(x)X-1xInxk>+一.x-1x+2x+k1的图像开口向2=4-4(k-1)>0,对

8、称轴x=A1当xW1-k(1,1TTk时，(k-1)(x2+1)+2x>0,故h'(x)>0,(ii)设0<k<1.由于(k1)攵+1+)x=2(k1)x21而h(1)=0,故当x三(1,)1-k(iii)设k至1.此时x2+1>2x,=0,故当xW11,+m)时，h(x)1.-时，h(x)>0,可得2h(x)<0,与题设矛盾。1-x而h(1)(k-1)(x2+1)+2x>0=h'(x)>0,广、“1/>0,可得2"h(x)<0,与题设矛盾。1-x2综合得,原解在处理第(k的取值范围为(-00,0II)

9、时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下:2xlnx另解：(II)由题设可得，当x0,x#1时，k<十1恒成立。1 -x22 2人,、2xlnxx11nx-x1令g(x)=2-1(x0,x=1)，则gx;=221-x1-x22,.2,一一一一._1一.一1再令h(x)=(x+1)lnxx+1(x>0,x#1),贝Uh(x)=2xlnx+x,h(x)=2lnx+11,xx1.易知h"(x)=2lnx+1在(0*为增函数，且h"(1)=0；故当xw(0,1)时，h“(x)<0,当xxW(1,+笛)时，h”(x)A0；j.h'(x)在(0,1)上为减函数，

10、在(1,依止为增函数；故h'(x)>h'(1)=0二h(x)在(0,收U为增函数丫h1=0,当xw(0,1)时，h(x)<0,当xW(1,+8)时，h(x)>0，当xw(0,1)时，g'(x)<0,当xw(1,+8)时，g'(x)A0二g(x昨(0,1)上为减函数，在(1,收)上为增函数xlnx1+lnx11由洛必达法则知mg(x)=2lim中+1=2lim-T2r+1=2X<-2r1=0ak<0,即k的取值范围为(-00,0规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值

11、有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。从高考题看含参不等式恒成立问题的解题策略海口一中操冬生已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。一分离参数，转化为求函数的最值对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一

12、边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。例1(2010年全国卷1理)已知函数f(x)=(x+1)lnxx+1'一.2(I)右xf(x)<x+ax+1,求a的取值范围(n)证明：(x-1)f(x)_0x,1.一1斛析：(I)*f(x)=+lnx-1=Inx+(x>0),xf(x)=xlnx+1,由xf(x)Wx+ax+1xx1得a之Inxx,令g(x)nx二,于是，问题化为求函数g(x)的取大值。1tg(x)=一-1,当0cx<1x''时，g(x)>0；当x>1时，g(x)<0。.当x=1时，g(x)有最大值，g(x)max=g(1)

13、=-1，a之一1(n)略。评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：(1)f(x)<g(a)恒成立Uf(x)max<g(a);(2)f(x)Eg(a)恒成立uf(x)maX<g(a)；(3)f(x)>g(a)恒成立uf(x)min>g(a)°(4)f(x)之g(a)恒成立uf(x)min之g(a)。二分离参数，转化为求函数的确界如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：函数y=f(x)(xwD)的上确界为minMf(x)三M,x

14、wD,记作M上；函数y=f(x)(xwD)的下确界为maxMf(x)之M,xwD,记作M下。于是，有如下结论：(1)若f(x)无最大值，而有上确界，这时要使f(x)<g(a)恒成立，只需M上<g(a)o(2)若f(x)无最小值，而有下确界M下，这时要使f(x)>g(a)恒成立，只需M下2g(a)。例2(2010年湖南卷理)已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,cwR)对任意的xwR,恒有f(x)Wf(x)(I)证明：当x至0时，f(x)M(x+c)2(n)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)f(b)WM(c2b2)恒成立，求M的最小值。解析：(I)略。(n)由f&#

15、39;(x)Wf(x)即x2+(b2)x+cb20恒成立，得(b2)24(cb)W0匕2从而c_一1_24(1)当cab时，M>f(c)-f(b)c2b.b，令t=一，则一1<t<1,cJb：M1=b,等号当且仅当=1,即b=±2时成立1因为函数g(t)=2-(-1<t<1)的最大值不存在，但易知其上确界为1t.OO3OO当c=b=2时，f(c)f(b)=8或0,c2b2=0,从而f(c)-f(b)(c2b2)恒成立2一.一一3综合(1)(2)倚M的取小值为一2例3(2010年全国卷n理)设函数f(x)=ex-1-x-ax2(i)若a=0,求f(x)的单

16、调区间。(n)若x*0时，f(x)>0,求a的取值范围。解析：(n)由f(x)至0对所有的x至0成立，可得(1)当x=0时，awR;_xxe_x_1.e_x_1(2)当x>0时，a=2，设g(x)=2，问题转化为求g(x)的最小值或下确界。xx'x2ex-2xexx22xA2xx2，2xxg(x)=4,令h(x)=xe-2xe+x+2x,因为h(x)=xe-2e+2x+2,xx>0,又h(x)的二阶导数h"(x)=2xex+x2ex2ex+2,h(x)的三阶导数h(x)=ex(x2+4x)a0,所以h(x)是增函数，故h(x)>h(0)=0,所以h(x

17、)增函数，故卜仁)八(0)=0,所以4*)是增函数，故h(x)>h(0)=0,从而g'(x)>0,于是g(x)在(0,收)上单调递增，故g(x)无最小值，此时，由于g(0)无意义，但运用极限知识可得g(x)>lim+g(x)。由洛必达法则可得：期g(x)二期e+-x-1-2x故xA0时,、1一1一,、g(x)>-o因而a<-,综合(1)(2)22知a取值范围为_qo1L2评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用洛必达法则求螺+g(x)超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们应该探求这类问题的另一种更为

18、一般地思考途径。三从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例3,我们可以把含参不等式整理成f(x,a)>0或f(x,a)20的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解题过程中常常要用到如下结论：(1)如果f(x,a)有最小值g(a),则f(x,a)>0值成立yg(a)>0,f(x,a)之0恒成立ug(a)_0(2)如果f(x,a)有最大值g(a),则f(x,a)<0值成立ug(a)<0,f(x,a)<0恒成立仁g(a)<0。332例4(2010年天津文)已知函数

19、f(x)=axx+1(xWR)其中a>02(i)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2f(2)处的切线方程，1 1(n)若在区间,一上，f(x)A0恒成立，求a的取值范围22解析：(I)略。2 1(n).f(x)=3ax-3x,令f(x)=0,解得x=0或x=a111，1，(1)若0<aM2,则一之一，于是当一<x<0时，f(x)>0;当0<x<一时，f(x)<0。所以a222,一11当x=0时，f(x)有极大值。于是xW,时，221f(-)0f(x)A0等价于2解得0<ac2.1f()0211(2)若a>2,则一<一,于是当a2

20、1'1.<x<0时，£(*)0；当0<*<一时，f(x)<0,2a1i<一时,21-f(x)A0。所以，当x=0时，f(x)有最大值，当x=时，f(x)有最小值。于1f(-)0f(x)A0等价于«21f(-)0'工5斛信<a<5或a<,因此，2:二a:二5综合(1)(2)得例5:内容同例解析：(I)略(n)f(x)0:a:53x=ex12ax,由方程f(x)=0不能求出极值点。显然，用例但我们注意到f(0)=0,故问题转化为f(x)>f(0)在x>0时恒成立，即函数数，于是可通过求导判断f(x

21、)的单调性，再求出使f(x)之f(0)成立的条件。4的解法是行不通的，f(x)在10,收)为不减函由(I)有ex21+x,当且仅当x=0时成立，故f(x)=ex-1-2axx2ax=(12a)x,而当一八r.1,1-2a之0,即aE时f(x)之0(x>0)2二f(x)是)上的不减函数，二f(x)之f(0)=0-5-当a>一时，由ex1+xx#0可得e">1-x2,f'(x):二ex-12a(e-1)=e-(ex-1)(ex-2a)故当xw(0,ln2a)时，f'(x)<0,而f(0)=0,于是当xw(0,ln2a)时1f(x)<0综合得a

22、<2评析：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住f(0)=0这一重要的解题信息，将问题转化为f(x)>f(0)在x20时恒成立，通过研究函数f(x)在0,+oc)上是不减函数应满足的条件，进而求出a的范围。隐含条件f(0)=0对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用。从以上高考题的解法可知：以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数的单调性、最值(极值)等问题入手，将含参不等式恒成立问题转化为研究函数的性质问题，是确定恒不等式中参数取值范围问题的重要思考方法。对这类问题的处理，需要考生具备过硬的导数、不等式知识，并能灵活运用这些知识研究函数的性质等问

23、题。在高三复习课教学中，有意识地给学生这方面的训练，对培养他们的数学综合素质是大有好处的。洛必达法则微分学中值定理拉格朗日中值定理如果函数J二/W在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点一_的一使固即b-a成立。这个定理的特殊情形，即：二母的情形，称为罗尔定理。罗尔定理若研X)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且G=吸),那末在(a,b)内至少有点c,使租二°成立。下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理一一柯西中值定理柯西中彳1定理如果函数州),g(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且W0,那末在(a,

24、b)内至少有一点c,使Z-g(Gg'g)成立。在求函数的极限时，常会遇到两个函数f(x)、F(x)都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限lim上可能存在，也可能不存在.通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为-型或交型。例F(x)0如，limsn、就是0型的未定式；而极限lim叱就是三型的未定式.我们容易知道，对于未定式的极x0x0xJ二x限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.这种变形没有一般方法，需视具体问题

25、而定，属于特定的方法.本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则.本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.0型未定式0定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：(1) limf(x)=0,limF(x)=0;xM0xx0(2) “*)与5(刈在x0的某一去心邻域内可导，且F'(x)丰0;(3)limf®存在(或为无穷大),则limf里=limUxxK。F(x)这个定理说明：当limX附F(x)x沟F(x)Ux存在时，limf3也存在且等于limf'(x);当limf'(x)为无穷大x因F(x)x因F(x)x网f(x)时，li

26、m上侬也是无穷大.x0F(x)洛必达这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为(LHospital)法则.例1计算极限四解该极限属于“xe-1x0”型不定式，于是由洛必达法则，得0xe-1例2计算极限必xsinaxx.e.=lim=1x01解该极限属于“0”型不定式，于是由洛必达法则，得0sinaxacosaxalim=lim=.x0sinbxx0bcosbxb注若f(x),g(x)仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即f(x)f(x)f(x)一lim=lim=lim=111.xag(x)xag(x)xag(x)3例3计算极限lim3x-122x16.x2x3-2x2-4x8解由洛必达法则，得32x3-12x163x2-126xlim-2二lim-2二limx2x3-2x2-4x8x23x2-4x-4x26x-4ji-arctanx例4计算极限lim2.arctanxlim-二limx-J-11X.二x11x21xx2=1二、型未定式Q0定理2(1)设函数f(x)、F(x)满足下列条件：limf(x)=0&#