平面接地导体边界

1、第三章 静电场边值的解法1什么是静电场的边值问题什么是静电场的边值问题一个已知有界区域中的（静）电场的源一个已知有界区域中的（静）电场的源 E及有界区域边界上电场的边界条件，求解电场的问题及有界区域边界上电场的边界条件，求解电场的问题0E可以分为两步求解：可以分为两步求解： 先求解电位先求解电位 ，再求电场强度，再求电场强度E求解电位求解电位 就是求解就是求解 满足给定边界（边值）条件下满足给定边界（边值）条件下2的解。的解。电位的定解问题又称为电位的定解问题又称为电位的边值问题电位的边值问题。 第三章第三章 静电场边值问题的解法静电场边值问题的解法第三章 静电场边值的解法2 静电场和恒定电场

2、的边值问题，可归结为在给定静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。 常用的方法常用的方法直接法直接法间接法间接法解析法解析法数值法数值法有限差分法有限差分法（FD）有限元方法有限元方法（FEM）矩量法矩量法（MoM）第三章 静电场边值的解法3本 章 内 容3.1 3.1 唯一性定理唯一性定理3.2 3.2 镜象法镜象法3.3 3.3 分离变量法分离变量法3.4 3.4 点电荷密度的点电荷密度的 函数表示函数表示3.53.5* * 格林函数法格林函数法3.63.6* * 有限差分法有限差分法第三章 静电场边值的解法44

3、.2, 4.6 , 4.9, 4.13, 4.22 第三章第三章 作作 业业第三章 静电场边值的解法5一、边值问题一、边值问题v存在边界面的电磁问题。存在边界面的电磁问题。v根据给定边界条件对边值问题分类：根据给定边界条件对边值问题分类： 第一类边值问题狄里赫利(Dirichlet)问题：已知电位函数整个边界面上的已知电位函数整个边界面上的 分布值分布值。 第二类边值问题纽曼（ Neumann ）问题：已知函数在整个边界面上的已知函数在整个边界面上的法向导数法向导数 。SfSfn3.1 3.1 唯一性定理唯一性定理第三章 静电场边值的解法622Sfn已知已知一部分一部分边界面上的边界面上的函数

4、值函数值，和，和另一部另一部分分边界面上函数的边界面上函数的法向导数法向导数。11Sf12SSS第三类边值问题（混合边值问题）：第三章 静电场边值的解法7唯一性定理内容：在场域在场域V的边界面的边界面S上给定上给定电位电位 或者或者 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域在场域V内的解唯一内的解唯一。n二、唯一性定理二、唯一性定理说明：说明：若对同一面积，同时给定若对同一面积，同时给定 和和 的值，则不的值，则不 存在唯一解。存在唯一解。n第三章 静电场边值的解法81 1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；2 2、为静态场

5、边值问题求解方法提供了理论依据，、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。为结果正确性提供了判据。3 3、唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊、唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据。松方程）的理论依据。唯一性定理的意义： 当直接求解场方程有困难而采用其它方法求解时，如果能当直接求解场方程有困难而采用其它方法求解时，如果能够找到一个函数，使它满足边值条件，并可证明它也满足够找到一个函数，使它满足边值条件，并可证明它也满足场方程的话，则根据唯一性定理可以确信它即是所要求的场方程的话，则根据唯一性定理可以确信它即是所要求的解。解。第三章 静电场边值的解法

6、9补充：标量格林定理 Sd)(V)(2sVdSd)(V)22sVd格林第一定理格林第一定理 格林第二定理格林第二定理令：令：Sd)(V)(22sVd第三章 静电场边值的解法10证明：证明：第一定理第一定理,A令，代入式高斯公式后求得代入式高斯公式后求得dSn)(d)(dV)(SsV又有又有2)()(代回前一式得代回前一式得SSd)(dV)(V2第三章 静电场边值的解法11证明：证明：第二定理第二定理令式第一定理中的令式第一定理中的 交换位置，得交换位置，得和Sd)(V)(sVd将上式与将上式与第一定理第一定理相减，求得相减，求得Sd)(V)22sVd得证得证第三章 静电场边值的解法12证明（反

7、证法证明（反证法）：）：/2/20*2222Sn ddVdV222SVVn设满足泊松方程的解有两个：设满足泊松方程的解有两个： ，即有：即有：令：令：*则有：则有：利用格林第一定理：利用格林第一定理：第三章 静电场边值的解法130sss02dVVCfnn0n02dVVC（1 1）在边界）在边界S S上，对于第一类边值问题上，对于第一类边值问题（2 2）在边界）在边界S S上，对于第二类边值问题上，对于第二类边值问题 （3 3）对于第三类边值问题，在一部分边界上有）对于第三类边值问题，在一部分边界上有另一部分边界上有另一部分边界上有nn002dVVC,SSff所以所以所以所以所以所以第三章 静电

8、场边值的解法14 311rArrE 322rArrEttEE21nnDD212122112ddd21QAQSSSSESESD设尝试解：设尝试解：【例【例2.1.1 】两个同心导体球壳之间充满两种介质。两个同心导体球壳之间充满两种介质。内导体带电，电荷量为内导体带电，电荷量为Q Q，外导体球壳接地。求介，外导体球壳接地。求介质中的场强。质中的场强。 第三章 静电场边值的解法15 镜像法基本思路镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适在所研究的场域外的某些适当位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面当位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上的感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影上的感应电荷或媒质分界

9、面上的极化电荷的影响。响。 镜像法理论依据镜像法理论依据：唯一性定理。：唯一性定理。 等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处，等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处，故称为镜像电荷。故称为镜像电荷。 镜像电荷位置选择原则：镜像电荷位置选择原则：1 1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。 2 2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。 3.2 镜像法第三章 静电场边值的解法161 1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 xzhq导体 原问题：原问题：无限大接地导体平

10、面（无限大接地导体平面（z=0z=0）, ,点电荷点电荷q q：z = h求：空间中电位分布。求：空间中电位分布。一、平面接地导体边界一、平面接地导体边界第三章 静电场边值的解法17 xzhhqq( , , )P x y zRR要求：要求：与原问题边界条件相同与原问题边界条件相同原电荷：原电荷：q: z = h镜像电荷镜像电荷( (等效电荷等效电荷):-q：z=-h取消导体边界面，取消导体边界面，z 00空间媒空间媒质充满整个空间。质充满整个空间。等效问题等效问题第三章 静电场边值的解法18由等效问题，可以求出在由等效问题，可以求出在z0z0空间内的电位分布为：空间内的电位分布为：11( ,

11、, )()4qx y zRR22222211()(0)4()()qzxyzhxyzh讨论：无限大导体分解面上感应电荷总量讨论：无限大导体分解面上感应电荷总量0snnzDEnz 2223/22 ()qhxyh第三章 静电场边值的解法192223/22223/20022/202 ()2 ()()inssqhqdsdxdyxyhqhrdrdrhqhqrh 即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。第三章 静电场边值的解法20如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。要满足在导体平面上电位为零，则要满足在导体平面上电位为零，则必须引入必须

12、引入3 3个镜像电荷。如图所示。个镜像电荷。如图所示。2 2、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像403020104444),(rqrqrqrqzyx221211)()(zyyxxr221212)()(zyyxxr221213)()(zyyxxr221214)()(zyyxxr =0 =0第三章 静电场边值的解法21对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为若夹角为 ，则所有，则所有镜像电荷数目为镜像电荷数目为2n-12n-1个个。n xq第三章 静电场边值的解法22 xzhq( , , )P x y zR12问题：问

13、题：点电荷位于两种电介质分界点电荷位于两种电介质分界面上方面上方h h，求空间电位分布。，求空间电位分布。分析：分析：在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极化电极化电荷荷和和电荷电荷q q共同产生。共同产生。方法：方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。3 3、【例、【例4.1.14.1.1】点电荷对电介质分解面的镜像】点电荷对电介质分解面的镜像第三章 静电场边值的解法23 xzhq( , , )P x y zR12解决问题过程解决问题过程：设媒质设媒质1 1中电位函数为中电位函数为 媒质媒质2 2中电位函数

14、为中电位函数为 12 xzhq( , , )P x y zR1 q1R1 1、建立、建立 求解方程。镜像求解方程。镜像电荷电荷 位于位于z0z0z0区域中，整区域中，整个空间充满媒质个空间充满媒质2 2。 位置与位置与q q重合。重合。2 xzhq( , , )P x y zR2q2qq221( , , )()4qqx y zR22221(0)4()qqzxyzh3 3、在、在z=0z=0面上应用电位边界条件面上应用电位边界条件第三章 静电场边值的解法2512121212(1(qqqqq 计算媒质 中电位)计算媒质2中电位)上式即在点电荷在介质分界面上镜像电荷电量。上式即在点电荷在介质分界面上

15、镜像电荷电量。说明：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电说明：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为常数代换为 即可。即可。01200121200zzzzzz12qqqqqqqq第三章 静电场边值的解法26 xzhhl( , )P x zRRl xzhl导体 对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到等效问题：等效问题：llzh 在在z0z0空间的电位分布为：空间的电位分布为：11( , , )(lnln)2lx y zRR4 4、线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像、线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像2222()ln()ln(0)2

16、2()llxzhRzRxzh第三章 静电场边值的解法271 1、点电荷对、点电荷对接地接地球面导体边界的镜像球面导体边界的镜像 q qOr rRdd( , )P r镜像电荷位于球心与电荷镜像电荷位于球心与电荷q q连线上。连线上。令镜像电荷电量为令镜像电荷电量为 ，与球，与球心距离为心距离为 。要保持边界条。要保持边界条件不变，则：件不变，则：qd二、点电荷对球面导体分解界的镜像第三章 静电场边值的解法28在空间中任意点在空间中任意点 处电位为：处电位为：( , )P r14qqRr222cosRrdrd222cosrrdrd第三章 静电场边值的解法29 q qOr rRdd( , )P rz

17、由边界条件可知：由边界条件可知：0r a14r ar aqqRr221()42cosqadad22)02cosqadad22222222()( )2 ()cos0adqadqa dqd q22222222()( )02 ()0adqadqa dqd q像电荷求解方法1第三章 静电场边值的解法302(aqqqqdadddd 或舍去）结论：点电荷结论：点电荷q q对接地导体球面的镜像电荷为对接地导体球面的镜像电荷为2aaqqddd 电量：位置：222422142cos()/2 (/)cosqrdrdaradradr ad球外电位：球外电位：第三章 静电场边值的解法31可以推得：电荷可以推得：电荷q

18、 q在接地导体球面上产生的感在接地导体球面上产生的感应电荷应电荷inaqqd 即：感应电荷总量定于镜像电荷电量。即：感应电荷总量定于镜像电荷电量。第三章 静电场边值的解法32象电荷求解象电荷求解方法方法2aq0fzo等效问题等效问题aqz qdoP1r2r要使边值问题相同球面上的电位应为零要使边值问题相同球面上的电位应为零044)(2010rqrqar021rqrqqqrr12PoqoPqadfarr12fad2qfaq第三章 静电场边值的解法33 qqOr rRdd( , )P raz讨论：若点电荷讨论：若点电荷q q位于接地位于接地导体导体球壳内球壳内：类似地，可以求得镜像电荷：类似地，可

19、以求得镜像电荷：aqqd 电量：2add位置：222422142cos()/2 (/ )cosqrdrdaradradr ad球壳内电位：球壳内电位：球壳外电位：球壳外电位：0()ra第三章 静电场边值的解法34 qOrRd( , )P r不接地：导体球面电位不为不接地：导体球面电位不为0 0，球面上存在正、负感应电荷球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为（感应电荷总量为0 0）。处理方法：电位叠加原理处理方法：电位叠加原理2、点电荷对不接地球面导体边界的镜像第三章 静电场边值的解法351 1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为 的感应电荷，的感应

20、电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。镜像电荷可采用前面的方法确定。2 2、断开接地。将电量为、断开接地。将电量为 的电荷加到导体球面上，这些电荷必的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。3 3、均匀分布在导体球面上的电荷、均匀分布在导体球面上的电荷 可以用位于球心的等量点可以用位于球心的等量点电荷等效。电荷等效。qqq分析过程分析过程结论：点电荷结论：点电荷q q对对非接地导体球面非接地导体球面的镜像电荷有的镜像电荷有两个两个：第三章 静电场边值的解法36 q qOr rRdd( , )P rq镜像电荷镜像电荷1 1：电量

21、：电量：aqqd 位置：位置：2add镜像电荷镜像电荷2 2：电量：电量：aqqqd 位置：位置：位于球心。位于球心。14qqqRrr球外空间某点电位为：球外空间某点电位为： 点电荷位于不接地导体点电荷位于不接地导体球附近的场图球附近的场图第三章 静电场边值的解法37aqzfVaqz0aV解解:32120102144rqrqarVarqb034 aqz qd q【例【例3.2.1】 导体球半径为导体球半径为a,电电位为位为V ,距离导体球中心为距离导体球中心为f 处放处放置电量为置电量为q的点电荷的点电荷. 求电位求电位.第三章 静电场边值的解法38aqzfQaqz0az qQq解解:2010

22、2144rqrqarqb034 aqz qd q qqQ【例【例3.2.2 导体球半径为导体球半径为a,带电量带电量为为Q ,距离导体球中心为距离导体球中心为f 处放置电处放置电量为量为q的点电荷的点电荷. 求电位求电位.321第三章 静电场边值的解法39如图：线电荷位于半径为如图：线电荷位于半径为a a的导体圆柱外，距离轴心的导体圆柱外，距离轴心f。三、线电荷对导体圆柱分界面的镜像alffal第三章 静电场边值的解法40aldld等效问题等效问题要使边值问题相同要使边值问题相同圆柱面上的电位应为常数圆柱面上的电位应为常数1r2rslllrrrrr rr r22200100200 210lnlnln为计算方便，选电位参考点在为计算方便，选电位参考点在线电荷与其镜像电荷之间的中线电荷与其镜像电荷之间的中点点 00 rr Crrls120ln2Crr12addarr12dad2dalsln20第三章 静电场边值的解法41 真空中一点电荷真空中一点电荷Q Q位于导位于导体球附近。导体球半径为