命题公式等值式

1、20162.3 命题公式的等值式，蕴含关系式数学科学学院季丹丹一、命题公式的等值式二、代入规则与替换规则,等值演算三、蕴含关系式一、命题公式的等值式定义2.3.1 设A，B为命题公式，若为重言式，则称与等值，记作AB，此时称AB为等价重言式. 说明：A与B等值，当且仅当A与B有相同的真值表. AB不表示公式. A与B是逻辑等价关系. 例2.3.1判断(PQ) 与 PQ是否等值. 下面给出一组基本等值式1.双重否定 A A 2.幂等律 A AA, AAA3.交换律 ABBA，ABBA 4.结合律 (AB)C A(BC) (AB)CA(BC) 5.分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(A

2、B)(AC) 6.吸收律 A(AB) A，A(AB) A 7.零 律 A1 1,A0 0 8.同一律 A0 A，A1 A 9.德摩根律 (AB) AB (AB) AB 10.互补律 AA 1，AA 0 11.蕴含等值式 AB AB，AB BA 12.等值等价式 AB(AB)(BA) AB AB 13.归谬论 (AB)(AB) A一组基本等值式二、代入规则与替换规则,等值演算定义2.3.2 由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程称 为等值演算1.代入规则定理2.3.1 在重言式A中，任何命题变元Pi出现的每一处，用另一公式代入，所得公式B仍是重言式.这就是代入规则.例2.3.2 求证(AB)(

3、AB)为重言式.证明 由互补律PP 1. 用公式(AB)代入公式中的P.定义2.3.3 若C是公式A中的一个连续部分，而C本身也是公式，称C为A的子公式.二、代入规则与替换规则,等值演算2.替换规则定理2.3.2 设C是A的一个子公式，CD，将A中的子公式C置换成D后，得到公式B，则AB，这就是替换规则.例例2.3.3 2.3.3 证明证明A(B(BA)A(B(BA)AB.AB.证明证明 由吸收律知，由吸收律知， B(BA) B(BA)B,B,由替换规则由替换规则证证得得. .例子例2.3.4 证明(AB)CA(BC).证明 (AB)C(AB)C(蕴含等值式) ABC(德摩根律) A(BC)(

4、蕴含等值式) A(BC)(蕴含等值式)例子在实际生产生活中，许多问题都与逻辑有着密切的联系. 下面我们来解决一个常见问题.例2.3.7 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人. 乙说：王教授不是上海人，是苏州人. 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人. 王教授听后，笑曰：你们三个人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半. 试用等值演算判断王教授是哪里人？例子分析：王教授只可能是其中一个城市的人或者三城市都不是. 所以，丙至少说对了一半. 因此，可得甲或乙必有一个人全错了. 设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人

5、；R：王教授是杭州人.则有： 甲：PQ； 乙：QP； 丙：QR又因为，若甲全错了，则有QP，因此，乙全对. 同理，乙全错则甲全对. 所以丙是一对一错. 故王教授的话可符号化为：)()()()()(RQPQRQRQQP例子 1因为王教授不可能既是苏州人又是杭州人，王教授是上海人.)()()()(RPQRQPQRQQPRQP)()()()()(RQPQRQRQQP)()(RPQRQP三、蕴含关系式定义2.3.4 设A，B为命题公式，若AB是重言式，记作A B，称为重言蕴含式或蕴含关系式.蕴含关系式满足4条性质： (1) A A (2)A B,B C,则A C (3)A B,A C,则A (BC)

6、(4)A C,B C,则AB C定理2.3.5 A，B为两公式，A B的充要条件是A B且B A.定理2.3.6 设A，B为命题公式，（1）若A为真时，必有B为真，则A B为永真式，即A B；（2）若B为假时，必有A为假，则A B为永真式，即A B.例2.3.9 求证PQPQ)(定理2.3.5 A，B为两公式，A B的充要条件是A B且B A.定理2.3.6 设A，B为命题公式，（1）若A为真时，必有B为真，则A B为永真式，即A B；（2）若B为假时，必有A为假，则A B为永真式，基本蕴含关系式可用等值演算法，真值表法，前后件真假的推导方式证明.化简式 AB A, AB B 假言推论 A(A B