人教B版新课标高中数学必修一教案《基本不等式》

1、15 / 12基本不等式ab（第1课时）»教学设计2教材分析I1“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标,1 .学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不 等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2 .通过实例探究抽象基本不等式；3 .通过本节的学习，体会数学来

2、源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点1 ）【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式jab ab的证明过程；2教教学难点】基本不等式Tab ab等号成立条件 2教学过程J>1 .课题导入基本不等式而a-b的几何背景：2如图是在北京召开的第 24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际， 来源于生活.2 .讲授新课

3、1.探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为 a, b那么正方形的边长为 J02b2 .这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为 a2 b2.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2 b2 2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有2 2 一a b 2ab.2.得到结论：一般的，如果a,bR,那么a2 b2 2ab（当且仅当a b时取""号）(1)(2)(3)3 .思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为a2 b

4、2 2ab （a b）222当 a b时,（a b） 0,当 a b时,（a b） 0,所以，（a b）20,即（a2 b2） 2ab.a b4. （1）从几何图形的面积关系认识基本不等式Jab 2特别的，如果a>0, b>0,我们用分别代替 a、b ,可得a b 2JOb ,通常我们把上式写作：.ab 0广（a>0,b>0）（2）从不等式的性质推导基本不等式Tabb2用分析法证明：要证ab. ab2只要证a+b 要证（2）,只要证a+b- 0要证（3）,只要证（-） 2（4）显然，（4）是成立的.当且仅当 a=b时，（4）中的等号成立.（3）理解基本不等式Jab a-

5、b的几何意义探究:在右图中，AB是圆的直径，点 C是AB上的一点，AC=a, BC=b.过点 C作垂直于 AB的弦DE,连接 AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式a b .Jab 的几何解释吗？2易证 RtA AC DRtADCB,那么 C D2= CA - CB即 CD= <ab .这个圆的半径为 a_b,显然，它大于或等于 CD,即ab JOb,其中当且仅当点 22C与圆心重合，即a=b时，等号成立.a b因此：基本不等式 Tab 几何意义是 半径不小于半弦2评述：1.如果把a_上看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中2项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项

6、不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称a-b为a、b的算术平均数，称Jb为a、b的几何平均数.本 2节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.补充例题例1 已知x、y都是正数，求证：(1) >2; x y(2) (x+y) (x2+y2) (x3+y3) > 8 x3y3.分析：在运用定理：ab tGb时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把 2握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：x, y 都是正数 >0, >0, x2>0, y

7、2>0, x3>0, y3> 0“、x v c'xyx v(1) - 2 2J2=2 即- >2.y x y xy x(2) x+y>2x-'xy >0x2+y2R2 Jx2y2 >0x3+y3> 2'x3y3>0，(x+y) (x2+y2) (x3+y3) > 2,xy - 2jx2y2 - 2,x3y3 = 8 x3y3即(x+y) (x2+y2) (x3+y3) > 8 x3y3.【设计意图】例题讲解，学以致用.(3) 堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证(a+b) (b+c) (c+ a) &g

8、t; 8 abc分析：对于此类题目，选择定理：a- vab (a>0, b>0)灵活变形，可求得结2果.解： a, b, c都是正数 a+ b> 2ab > 0b+c>2 Jbc >0c+ a>2 vac >0a a+ b) (b + c) (c+ a) >2 "ab > 2 Jbc , 2 Jac = 8 abc即(a+ b) (b + c) (c+ a) > 8 abc.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4.课时小结a b本节课，我们学习了重要不等式a2+b2>2ab；两正数a、b的算术平均数(一),a b几何

9、平均数(Tab )及它们的关系(ab >十ab ).它们成立的条件不同， 前者只要求a、b都是实数，而后者要求 a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决2 b2h问题： ab< , ab< ( ) 222【设计意图】课时小结，内化知识.教学反思本次课通过实例探究抽象基本不等式；由北京召开的第24界国际数学家大会的会标情境引入，贴近生活，贴近数学，能让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.（第2课时）教学基本不等式Jab2设计教材分析L“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是

10、在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标JJa b1.进一步掌握基本不等式 如 ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解2决一些简单的实际问题2 .通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式abb ab,并会用此定理求某些2函数的最大、最小值.3 .引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际 相结合的科学态度和科学

11、道德.教学重难点教学重点基本不等式Vab a-的应用2教学难点利用基本不等式abb a-b求最大值、最小值. 2教学过程）1.课题导入1 .重要不等式:如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取""号)2 .基本不等式：如果 a, b是正数，那么ab JOB(当且仅当a b时取""号).a b我们称 J_b为a b的算术平均数，称 7 ab为a, b的几何平均数2，a2 b2 2ab和a-b Jab成立的条件是不同的：前者只要求a, b都是实数，2而后者要求a, b都是正数.【设计意图】复习引入.2.讲授新课例1 (1)用篱笆围成一个面积

12、为 100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？(2)段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：(1)设矩形菜园的长为 x m,宽为y m,则xy=100,篱笆的长为2 (x+y) m.由可得 x y 2J100 ,2(x y) 40 .等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为 10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 40m.(2)解法一：设矩形菜园的宽为 x m,则长为(36 2x) m,其中0vxv1 ,其面积21 12x362x、2362S= x

13、 (36 2x) = 2x (362x) < 一()2 228当且仅当2x=362x,即x= 9时菜园面积最大，即菜园长9m,宽为9 m时菜园面积最大为81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2 (x+y) =36,x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2 .由xy 81x y 18Jxy - 9,可得22当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为 9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a, bCR+,且a+b=M,2M为定值，则abw ，等号当且仅当a= b时成立.42.两个正数的

14、积为定值时，它们的和有最小值，即若 a, b R+,且ab=P, P为定值， 则a+b>2jP,等号当且仅当a=b时成立.例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式， 然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为l元，根据题意，得1600 l 240000 720(x )x240000240000720720o 16002x x2 40 29

15、7600当x 1600，即x 40时,l有最小值2976000. x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600 元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.【设计意图】 讲解例题，熟悉方法.3.随

16、堂练习1,已知xw 0,当x取什么值时，x2+8的值最小？最小值是多少？2.课本练习.【设计意图】讲练结合，巩固新知.4.课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取 等.【设计意图】课时小结，内化知识.一 教学反思J本次课通过两个例题的研究， 进一步掌握基

17、本不等式 Tab -ab ,并会用此定理求某些函数的最大、最小值.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求 是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.基本不等式Tab贷(第3课时)教学设计教材分析kJ“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利r于培养学生良好的思维品质.一 教学目标J1 .进一步掌握基本不等式 廊 ab

18、会用此不等式证明不等式，会应用此不等式2求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题；2 .通过例题的研究，进一步掌握基本不等式Jab ab ,并会用此定理求某些函数2的最大、最小值.3 .引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.“教学重难点 '教学重点掌握基本不等式Jab ab ,会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的 2最值教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值.教学过程1.课题导入1 .基本不等式：如果 a, b是正数，那么ab JOb（当且仅当a b时取""号）.22 .用基本不等式 a

19、bb a-b求最大（小）值的步骤.2【设计意图】复习引入.3 .讲授新课1）利用基本不等式证明不等式24例1 已知m>0,求证 一 6m 24. m思维切入因为m>0,所以可把 丝和6m分别看作基本不等式中的 a和b,直接利用 m基本不等式.证明因为 m>0,由基本不等式得2、. 24 62 12 2424246m 2 6m m，m当且仅当 = 6m,即m=2时，取等号.m规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和-24 6m =144为定值的前提条件.m【设计意图】例题讲解，利用基本不等式证明不等式，熟练使用基本不等式.4 .随堂练习1思维拓展1已知a, b, c, d

20、都是正数，求证(ab cd)(ac bd) 4abcd .八.一22222思维拓展 2求证(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2.一 ，一 4例2求证：a 7 .a 3思维切入由于不等式左边含有字母a,右边无字母，直接使用基本不等式，无法约“、一一，.44掉子母a,而左边a (aa 3 a 33) 3 .这样变形后，在用基本不等式即可得证.43 2a 3(a 3) 3 2.4 3 744证明3(a 3)a 3 a 34当且仅当 =a-3即a=5时，等号成立.a 3规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值一49例3 (1) 若x>0,求f(x) 4x 一的最小值；x9 (2)右x<0,求f(x) 4x 一的取大值.xE八，、，-一9人、,八，E-,