固体物理(第12课)能态密度

1、nNNNNNNNbbbaaa 321321321321、被限制在第一布里渊区点的数目）：中的分布密度（单位体积点占据的体积：平均一个、kVVkkVNNNbNbNbkZhhhbNhbNhbNhk 221 221*1 , . 13333332211321333222111示意图示意图KLnJLnILnkzyx 222a2a2Na2k kx xk ky yk kz za2a2Na2KLnJLnILnkzyx 222倒易点阵波矢空间空间k321NaLNaLNaLzyxzyxnNanNanNanLnLnLk 2电子具有的波长22Nb33Nb11Nb电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k确定，而

2、k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。故k的取值为lb/n，即l2/na时，意味着电子波长 为na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面波与晶面垂直。可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。边长为L的金属中，电子以波长(Na/nx + Na/nx +Na/nx)的平面简谐波存在。晶格常数为a的简立方晶格常数b为2/a的倒易格点。b对应面间距。最大的 k，对应波长为2a。最小的 k，对应波长为L。

3、K越小，所对应波长越长。b原胞体积 )(222321213132321aaaVVaabVaabVaaba能态密度:单位能量间隔内的电子状态数量电子能级是简并的222222222zyxnnnmLhmkEdEdZEZENZZZEEEE 0lim)(dkkVdkkVkkkkEEEkk232344dZ48 E 对对应应的的量量子子态态数数为为：点点数数为为：球球壳壳中中对对应应的的球球面面半半径径：点点分分布布在在球球面面上上的的空空间间中中：能能量量为为在在示意图232233)2(33482(k)Z :,kEmVkVe电子的状态数的球体中半径为kxkykzE E+dEE E+dE k k+dk k

4、k+dkE E为等能面为等能面( (红色线红色线) )2/122222/12/32223)(2222244CEdEdZENmEddkmEkmkEdEEhmVdkkVdZ(1) 费米狄喇克分布费米狄喇克分布量。个电子时自由能的增加情况下，系统中增加一的子化学势。指体积不变：费米能级（量），电几率为：的量子态被电子占据的为在热平衡状态下，能量 11)( /FTKEEEeEfEBF 1)( 0)( 0KT .EfEEEf EEaoFoF时时：占据的最高能级占据的最高能级是电子是电子时，时，oFEKT0 示意图示意图21)( 0KT . EfEEbF时时：几几率率相相等等被被电电子子占占据据和和不不占

5、占据据的的的的量量子子态态的的能能级级，则则该该能能级级对对应应大大小小相相等等若若金金属属中中存存在在一一个个同同FE返回返回 11)(/ TKEEBFeEfT=0KT=0K T3 0)()(dEENEfNN个个电电子子，则则设设金金属属中中有有3/222oF3232228-2/322/3oFE01/232E)/1010(109.1m 24E32CE1N 0 .oFnmcmnnVNghmVCCdEKTa：电子浓度时：1.51.57eV7eV oFoFoFEEECECNdECEENdEENEEfNEdNEoF533252 1)()(2/32/502/100 l上式表明,即使在绝对零度,电子的平

6、均动能也不为0,这不同于经典理论.l经典理论:电子的平均动能等于3kBT/2,当T趋于0K时,平均动能为0.l量子理论：电子必须遵守泡利不相容原理.因此,即使在绝对零度,不可能所有的电子都填在最低的能量状态.计算结果表明,即使在T=0K,电子的速度也高达108cm/s.平面波平面波 02/302/302/302/3002/31/20)(32)(3232)(32 )(32CE)()()(NdEEfEgNCEEgdEEfCEdEEfCEEECfdEECfdEEfdEENEf，则则令令示意图示意图 )()()( )(21 )()()(2102FFFFFFFFFEgIEgIEgIdEEfEEEgdEE

7、fEEEgdEEfEgNEEEg 则有：则有：附近作泰勒级数展开，附近作泰勒级数展开，在在将将 nnxxxfnxxxfxxxfxfxf)(!1 )(! 21)()()(00200000类似于类似于 函数，故可函数，故可扩展到扩展到- - + + 222/32/3oF22210222210121)(32)( )E(32N)(6)()()()(601oFBoFFFFFBFFFFBFFETkEEECEgCEgTkEgEgIEgIEgINTkdEEfEEIdEEfEEIdEEfI ，示意图示意图 FoFFoFFETbEEEEa，随随着着比比较较接接近近且且和和 )( )(返回返回降降应应随随着着温温度

8、度的的上上升升而而下下增增大大。金金属属中中的的自自由由电电子子数数上上升升，温温度度，则则由由于于如如果果FoFFEENEEE NT)( 费米球费米球FFmEk2 费米半径：费米半径：0K KT=0K时,E=EF0以下能级全被电子占据.T0K时,EF-kBT范围内电子被激发到EF+kBT范围内.对金属热传导有重大影响. EF-kBT EF+kBTkBT2.3510-2eV1 如果电子浓度为n，用自由电子模型，求零度(0K)时,k空间中费米球的半径kF0。解: 根据自由电子模型，K空间的状态密度为每个状态可容纳自旋方向相反的两个电子，如果费米球的半径取kF0，则总电子数为 解出32V30334)2(2FkVN3120)3(nkF电电子子数数目目。的的价价计计算算该该金金属属中中每每个个原原子子个个原原子子占占据据的的体体积积，试试为为金金属属中中每每，时时设设某某金金属属在在？多多少少个个相相差差和和，则则，在在金金属属中中若若VVkKTTkEEEfEfoFB3/12212190 . 21 . 0)(9 . 0)( . 1 多多少少？是是多多少少？对对应应波波矢矢k k