2020届四川省宜宾市高中高三第一次诊断测试数学(文)试题(解析版)(一)

1、2020届四川省宜宾市高中高三第一次诊断测试数学(文)试题一、单选题1 .已知集合 U= 1 , 3, 4, 5, 7, 9, A= 1 , 4, 5,则？A=()A. 3 , 9B. 7 , 9C. 5, 7, 9D. 3 , 7, 9【答案】D【解析】利用补集的运算，直接求出A在U中的补集即可.【详解】解：因为集合 U= 1,3,4,5,7,9,A= 1,4,5,所以 euA =3,7,9.故选:D.【点睛】本题考查了补集的运算，属基础题.2.已知i是虚数单位，复数 m+1+ (2-mj)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是()A.(一巴1)B. (T, 2)C. (2,

2、+8)D.(-巴 1) U (2, +8)【答案】Am K0【解析】根据复数对应的点在第二象限，可得,然后解不等式组得到m的取值2-m> 0范围.【详解】解：因为复数m+1+(2 - m) i在复平面内对应的点在第二象限，m 1< 02-m> 0解得mx - 1.所以实数m的取值范围为(-8, 1).故选：A【点睛】本题考查了复数的几何意义和一元一次不等式组的解法，属基础题.rrT w 一3.已知向量 a=0, m）, b =（2,1）且（ab ）_Lb ,则实数A. 3B. -C. -D - 322【答案】D【解析】根据平面向量的坐标运算和数量积运算法则，列出关于m的方程，

3、然后解方程求出m的值.【详解】解：由 a =(1,m),b =(2, 1)，得 a b =(1,m +1),因为(a -b) _L b ,所以(1 -b)b =0 ,所以m2 1 M(m+1) =0，所以 m = 3.故选：D .【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积，属基础题.4.某车间生产 A, B, C三种不同型号的产品，产量之比分别为 5: k: 3,为检验产品 的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 120的样本进行检验，已知B种型号的产 品共抽取了 24件，则C种型号的产品抽取的件数为()A. 12B. 24C. 36D. 60【答案】C24 k【解析】根据题意可得 土4

4、= -k一，解方程求出k的值,再根据C种型号的产品所120 5 k 3占的比例，求出C种型号的产品应抽取的数量 .解：由题意，得型=一k，所以k=2,1205 k 3所以C种型号的产品抽取的件数为120M3一=36.5 2 3故选：C本题考查了分层抽样的定义和特点，属基础题.y= cosx的图象(1 、一倍，纵坐标不变.5 .要得到函数y=cos.2x+ 的图象，只需要将函数4A.向左平行移动工个单位长度，横坐标缩短为原来的8二 1B.向左平行移动一个单位长度，横坐标缩短为原来的一倍，纵坐标不变.42C.向右平行移动土个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变.8TTD.向右平行移动 二个

5、单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变.4【答案】B【解析】直接利用三角函数图象的平移和伸缩变换,得到由y= cosx变换为y =cos 1 2x +的方式.【详解】f 31 1JT解：要得到函数y=cos 2x十一 I的图象，只需要将函数y = cosx的图象向左平移 三个44单位，得到y=cos(x十三)，再把横坐标缩短为原来的 工，纵坐标不变即可.42故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和伸缩变换，属基础题.6 .设直线 m n是两条不同的直线，a , 3是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.m"n, my a?n"aB.mL n, ml a

6、, n± 3 ?a ± 3C.m/a , m/ 3 ? a /3D).a ± 3 , m/ ? ? ml 3【答案】B【解析】在 A中，n与S平行或nu a；在b中，由线面垂直的性质定理得 « -L P ;在C中，a与B相交或平行；在D中，m/豆,m与P相交、平行或 m匚B .【详解】解：因为mn是两条不同的直线，a , §是两个不同的平面，所以在A中，m/ n, m/ a ? n? a或n / a ,故A错误；在B中，mln, ml a , nX 3 ,由线面垂直的性质定理得a，§ ,故B正确;在C中，m/ a , m/ B ? a

7、与3相交或平行，故C错误；在D中，m/ a , a，B ? m与3相交、平行或 m? B ,故D错误.故选：B.本题考查了命题真假的判断和空间中线线、线面、面面间的位置关系，属基础题.）B. c<b<aD. b<a<c47.已知 a =23, bA. b<c<aC. c<a<b1 11n3=e3【答案】A.1【解析】将a,b,c都化为3的形式，根据哥函数的单调性判断出三者的大小关系 x3【详解】i2 iii依题意a=163 b=eln” =33 c=93,而y =x3为R上的增函数，故 b<c< a.故选：A.【点睛】本小题主要考查指

8、数运算，考查募函数的单调性，考查指数嘉比较大小，属于基础题8.执行如图所示的程序框图，输出的 k值为（）1_ ./ .出/ /A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】 执行程序框图，可知：第一次循环：a =2,k =2 ；第二次循环：a = 4,k=3；第三次循环：a =8,k =4 ；第四次循环：a = 16,k = 5,此时满足判断条件，终止循环，输出 k=5,故选B.【答案】C【解析】求出f (x)的导函数,利用导数研究函数的单调性，然后结合图象得到答案解：由 f(x) =Jnx_，得,1 1 - lnx(x)x2(x 1)2(x 0)'人1.令 g(x) = 1+ l

9、nx ,则 g'(X)= x0,所以g(x)在(0,+ °°)上单调递减，一 .、121.2又 g(e) = 一> 0, g(e) =1 +- -lne1.11< 0, e所以存在xo e (e, e2),使得g( xo) = 0,所以当x C (0, x°)时，g( x) > 0, f ' ( x) > 0;当 x C ( xo,+ °°)时，g( x) V 0, f ' (x) v 0,所以f (x)在(0, Xo)上单调递增，在(Xo,+ 8)上单调递减.故选：C.本题考查了利用导数研究函数

10、的单调性和零点存在定理,属中档题.i n )10.已知支w 0,一 |且3sin,22a - 5cos2a +sin2 a = 0,贝U sin2 a+cos2aA. 1b. 一生17C. -空或117D. 一 1【解析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，求出tana ,再求出a的值，进一步求 出 sin 2 a +cos2 OC .2_2223sin - -5cos " " 2sin - cos-解:由 3sin a - 5cos a +sin 2 a = 0,得22sin ； cos 二2 ._-所以 3tan & tan" -5 = 0 ,即 3t

11、an 2 a +2tan a 5=0,解得 tan a = 1 或tan 二 1tan :=.3冗、tt因为 a | 0, l,所以 tan a = 1,所以 a =二,所以 sin 2 a +cos2 a = sin +cos =122'故选:A【点睛】本题考查了三角函数的化简求值和同角三角函数基本关系式，考查了转化思想和计算能 力，属基础题.3T11 .如图，在 RtAABC, CC =-ji-,AC= 46D在 AC上且 AD DC= 3: 1,当/ AEDt大时， AED的面积为（A. 3B. 2C. 3D. 3 3【解析】根据条件得到 /AED =/AEC /DEC ,然后设

12、/AED= 0 , / AEC= a , / DE仔3，用两角差的正切公式求出tan 8 ,再用基本不等式求出tan 0最大值，从而得到当/ AEDt大时， AED勺面积.解：因为 ADDC= 3:1,所以 DC=1AC= 1, 4,11所以 Sa aed= Sa ace Sa dec = AC?CE DC?EC1AC?CE-1?1AC?CE= AC?CR - -1) =3AC?EC22 42 8831ji因为 AC= 4, CE< CB而在 RtAABC43 ,2C= ，B= AC= 426 ,所以 CB= 4 73 , / AED= / AEO / DEC设/ AED= 0 , /

13、AEC= a , / DEC= § ,则 tan 0 =tan( atan： -tan:')1 -tana tanPAC DCTO AC-DC ECAC DC . EC2 AC DC 1 -EC EC2EC 4 ECEC2. CEEC3EC当且仅当EC=, ip EC 2时，取等号EC所以tan 0的最大值为3,此时/ AEDt大, 4所以当/ AEDm大时，AED勺面积S AED=3?4?2=3.故选：C.【点睛】本题考查了三角形的面积公式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题.12 .已知函数 f (x) = 4alnx - 3x,且不等式 f (x+

14、1) >4 ax- 3ex,在(0, +00)上恒 成立，则实数a的取值范围()3 3A. I 以一IB. I3, iC.(-巴 0)D. (-8, 04 .4【答案】B【解析】不等式f(x+1)>4ax-3ex,在(0,+)上恒成立等价于f(x+1)>f(ex)在(0,)上恒成立，然后利用函数f(x)的单调性进一步求出 a的范围.【详解】解：f (ex) =4ax 3ex,所以 f (x+1) >4 ax - 3ex在(0,+ °°)上恒成立,等价于f(x+1)Rf(ex)在(0,+8)上恒成立，因为 xC (0,+ 8)时，1 <x+1ve

15、x,所以 f (x)在(1,+ 8)上递减，所以当x>1时，f ' (x) wo恒成立，即x>1时，4a3 M 0恒成立，所以aM3x,所以a<3, 44所以a的取值范围为(q°,3l4故选：B.【点睛】本题考查了函数恒成立问题和利用函数的单调性求参数范围，考查了转化思想和计算能力，属中档题.二、填空题13.书架上有6本不同的数学书，4本不同的英语书，从中任意取出1本，取出的书恰好是数学书的概率是 .,3【答案】35【解析】先算出“任意取出1本书”的基本事件总数，再算出事件“取出的书恰好是数学书”包含的基本事件个数，然后利用概率公式求出概率 .【详解】解：从

16、6本不同的数学书,4本不同的英语书中任意取出1本的基本事件总数为 10,取出的书恰好是数学书包含的基本事件个数为6,则取出的书恰好是数学书的概率P=-1053故答案为：3.5【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，关键属熟悉古典概型的概率计算步骤，属基础题.14 .已知函数f (x) =2x3-ax2+2在x= 2处取得极值，则实数 a =.【答案】6【解析】先求出f'(x),再根据x=2是f(x)的一个极值点，得到(2) =0,然后求出a 的值.【详解】解：由 f(x) =2x3- ax2+2,得 f'( x) =6x2- 2ax.因为在x= 2处取得极值，所以f'(2

17、) =24-4a=0,所以a=6.经检验a=6时x=2是f (x)的一个极值点，所以a=6.故答案为:6.【点睛】本题考查了函数极值点的定义，考查了方程思想，属基础题.15 .若ABC勺内角 A B、C的对边分别为a、b、c,其面积为S, b = 4, BA.AC=8, S = 4, 贝U a=.【答案】2 10【解析】根据BAlAc =8 , b=4得到ccosA =-2,再根据S = 4得到csin A =2，联立【详解】解：因为 BA，AC =8, b = 4,所以 AB，AC = bccosA= 4ccosA= -8，所以 ccosA=一2.一 1 一因为 S = 4csinA =4

18、,所以 csinA = 2. 2.一 一一 3-92-联立，得tanA= - 1,所以A =，所以cosA =-，所以c = 一= 2 J2 ,42cosA 222L I 72)在ABC，由余弦定理，得 a2 =b2+c22bccosA = 16+816V2x - =40, I 2 J所以a u2而.故答案为：2 . 10 .【点睛】本题考查了平面向量的数量积、三角形的面积公式和余弦定理，考查了方程思想和计算能力，属基础题.16 .同学们有如下解题经验：在某些数列求和中，可把其中一项分裂为两项之差，使某1些项可以抵消，从而实现化简求和.如：已知数列an的通项an =,则将其通n n 1一，11

19、 一，一项化为an =一一,故数列a的刖n项的和n n 1Sn = i1 11 Km + |'1- Li-.斐波那契数列是数学史22 3n n 1 n 1 n 1上一个者名数列，在斐波那契数列an中，a1=1, 32= 1 , an = an书+ an (n u N ),若 32021 = a,那么 4019= .【答案】a-1【解析】根据题意可得an =an-2 - an小然后类比数列的裂项相消法求出S2019.【详解】解：由题意，得an= an+2 - an+1,贝 U S2019 = a1+a2 + a3+ + a2019 = a3 a? +a4 a3 + a5 a4+ + a2

20、021 a2010=a2021 a2 = a 1.故答案为：a- 1.【点睛】本题考查了数列的裂项相消法求和，考查了类比推理能力，属基础题.第9页共17页三、解答题17 .已知数列an的前n项和为S,满足Sn =2n'2.(1 )求数列 an的通项公式；(2)设bn= (2n-1) an,求数列bn的前n项和Tn.【答案】(1) an=2n；(2) Tn =(2n 3)2n*+6【解析】 根据数列的递推式可知，当n =1时，S =a1，当n-2时，an =Sn -Sn_1,进一步求出通项公式；(2)先求出bn的通项公式，再利用错位相减法求出bn的前n项和Tn.【详解】n 1_解：(1)

21、因为 Sn=22,所以当 n=1 时，S =a1 =2,当 n2 时，an =Sn Sn=2n+22n +2=2n,上式对n =1也成立，所以an =2n.(2)由(1)知 bn =(2n -1)an =(2n -11j2n,所以 Tn =12 隹2 a3，(2n_1)_2n,2Tn =1122 -323 524 . (2n -1)_2n1,两式相减，得 E =2+2(22 +23 +十 2n)(2n -1)2n+=2 2代(1一2”) -(2n-1也n1, 1 -2所以 Tn =6 (2n -3)L2n 1 .【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式和错位相减法求数列的前n项和，考查了分类讨

22、论思想和计算能力，属中档题.数列前n项和的求法有公式法、倒序相加法、裂项相消法、 错位相减法、并项求和法和分组求和法.518 .在 ABC43, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且满足 acosC = . - b - c cosA. 3，、升1(1)右 sinC = 一，a+c= 10,求 c； 5(2)若 a=4, c = J5,求 ABC勺面积 S.22【答案】(1) c=2; (2)5【解析】(1)利用正弦定理，将边化为角，然后求出sin A,进一步求出c；(2)利用余弦定理，得到关于b的一元二次方程，并求出b,然后代入面积公式中求出S.【详解】5一 一 一 5 一斛

23、：(1)因为 acosC =(b -c)cos A ,所以 sin AcosC =(sinB 一sinC)cos A, 335所以-sin B cos A =sin AcosC cos A sin C =sin( A C) =sin B ,一34因为 sin B。0 ,所以 cos A = -，sin A = ，55由正弦定理，知sin A:sin C =4:1 = a: c ,所以a =4c,又 a+c = 10，所以 c = 2.3.4(2)由(1)知 cos A = 一 sin A = 5 ,5 ,2222所以由余弦定理，得8sA=£ ' ,所以yFT即 5b2 -67

24、5b -55 =0 ,所以 b =1155 一一一 122所以 ABC勺面积 S =1bcsin A =2225本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用和三角形的面积公式，考查了转化思想和方程思想，属中木题.19 .手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数(单位：百步)，绘制出如下频率分布直方图：(1)求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；(2)若该单位有职工 200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；(3)选取在(2)的条件下，该单位从行走步数大于 15000的3组职工中用分层抽样的方法 6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人

25、担任领队，求这两人均来自区间(150,170的概率.2【答案】(1) 125; (2) 112; (3)5【解析】(1)由频率和为1,列出关于a的方程，然后求出a的值，再利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；(2)根据一天行走步数不大于13000频率M样本容量，求出频数；(3)根据分层抽样原理抽取 6人，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.【详解】解：(1)由题意，得(0.002 +0.006 +0.008 +a+0.010 +0.008+0.002+0.002)20=1 ,所以 a =0.012.设中位数为 110 +x ,则 0.002x20 +0.006 X20 +0.008x

26、20 +0.012x=0.5 ,所以x =15,所以中位数为125.(2)由 200 M(0.002 父20 +0.006 父20 +0.008X20 +0.012 父20) =112 ,所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人.(3)在区间(150, 170中有 200 M0.008 m 20 =32 人，在区间(170,190中有 200 M0.002 x20 =8人，在区间(190, 210中有 200 M 0.002 父 20 =8 人，按分层抽样抽取 6人，则从(150, 170中抽取4人，(170, 190中抽取1人，(190, 210中抽取1人；设从(150, 1

27、70中抽取职工为a、b、C、d ,从(170, 190中抽取职工为 E,从(190, 210中抽取职工为 F ,则从6人中抽取2人的情况有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种情况，它们是等可能的，其中满足两人均来自区间(150, 170的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6种情况， 62所以两人均来自区间(150,170的概率P= = ;15 5【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题，属基础题.20 .如图，正方形ABCD勺边长为2,点E是边CD的中点，将 ADEgAE翻折得到 ASE且平面 ASE

28、L平面 ABCE(1)求三棱锥 B- CES勺体积;SG 八(2)设线段SC上一点G满足 =2 ,在BE上是否存在点 H使GH/平面 GC在，求出EH的长度；若不存在，说明理由.【答案】(1)拽；(2) Y5,理由见解析153【解析】(1)过S作SO _L AE于O,从而得到SO_L平面ABCE,进一步得到VB _CES =VS .BCE , 由此求出三棱锥 B -CES的体积.(2)连接AC ,交BE于H ,连接GH ,推导出GH /SA,由此能求出结果.【详解】解:(1)过S作SO_L AE于O,因为平面 ASE_L平面ABCE交线为AE , 所以SO_L平面ABCE.SA日若存一，2在

29、RtAASE中由 SE=1,SA=2,得 SO = 忑,一 11 一1“ 1,2= -Sce SO = - 1 v33、52、515所以三棱锥B-CES的体积为2逅.15(2)连接AC ,交BE于H ,连接GH ,一 ,一 _1因为 CE/AB, CE U1AB,2所以 MBHsACEH ,所以CH EH CEHA HB AB又因为SGGC=2,所以CGGS1 一2，所以CGGSCHHA所以 GH /SA.又因为GH日平面SAE, SA二平面SAE, 所以GH /平面SAE,此时EH =1BE=45.33因为"丁2"1 -所以Vb，sce【点睛】本题考查了折叠问题、三棱锥体

30、积的求法和线面平行的判定定理，考查了转化思想和运算求解能力，属中档题.21 .已知函数f (x) = lnxa x-1(1)若a=4,求函数f (x)的单调区间；(2)若函数f (x)在区间(0, 1内单调递增，求实数 a的取值范围；(3)若 x1、x2C R+,且 x1< x2,求证：(lnx 1 lnx 2) (x1+2x2)< 3 ( x1 x2).【答案】(1)见解析；(2) a M3; (3)见解析【解析】(1)将a=4代入f(x)求出f(x)的导函数，然后根据导函数的符号，得到函数的单 调区间；(2)根据条件将问题转化为43a, +x+4在(0 , 1上恒成立问题，然后

31、根据函数的单调 x性求出a的范围；(3)根据条件将问题转化为x13(x1 - x2)ln一,成乂问题x2x12x2x1,令 t=W(0,1)，即X22,_ ,x »(4 - 3a)x »42x(x 2)lnt 型式), 0成立，再利用函数的单调性证明即可 t 21 3a解f(x)的定乂域是(0,F,(x)G_E2x 8x 4所以 a =4时，f，(x)=x 8x 24 x(x 2)f (x) A0,解得 0 <x<4-2点或 x>4+2V3,由 f '(x) <0，解得 4-273 <x <4 +273 ,故f(x)在(0,42同

32、和(4 +273 , 土电)上单调递增，在(42时，4+2君)上单调递减.2(2)由(1)得 f (x)=x(4 -3a) x 42x(x 2)若函数f (x)在区间(0 , 1递增，则有x2十(43a)x+4-0在(0 , 1上恒成立，即3a, 4 +x+4在(0,1上恒成立成立，所以只需3a, - +x +4 , xxmin4一 4一因为函数y=+x+4在x=1时取得最小值9,所以3a, 一+x + 4=9,x】xmin所以a的取值范围为(-«,3.当x1 ¥ x2时，因为X1, X2 w R+所以要原不等式成立3(' -1)只需in" 3f =成立即

33、可&Xi 2X2_x1 2X2令 J；。1),则 lnt.,。,由(2)可知函数f(X)在(0,1递增，所以f(X)«f(1) = 0,所以 int 3(t -1), 0 成立， t 2所以(inX 1 - inX 2)( X1+2X2) < 3(X1 - X2).【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题和不等式的证明，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题.22.如图所示，“ 8”是在极坐标系Ox中分别以。J,- |和C2",电|为圆心，外切,22于点O的两个圆.过 O作两条夹角为三的射线分别交。G于O A两点，交。G于O B3两点.(1)写出。C与。G的极坐标方程；(2)求 OABT积最大值.【答案】(1) l_C1 : P = 2sin 9 ; L C2 : P= Tsin 日；(2)叵2【解析】(1)直接由条件求出l_ c1与L C2的极坐标方程即可；(2)由(1)得A(2sin日为,B(Msin(日-),6 -)，代入三角形面积公式，再利用三角函33数求出 OABT积的最大值.【详解】- 一,，一，一一3 n V /3兀)解：(1)因为在极坐标系中圆 C1和圆C2的圆心分别为C1 1,一