2020届四川省绵阳市高三4月线上学习评估数学(文)试题(解析版)

1、2020届四川省绵阳市高三4月线上学习评估数学（文）试题一、单选题1 .设集合 A x N|5 x>0,Bx|x2 3x 2 0,则(aB (D. 3,4,5A. 0,3,4B. 0,3,4,5 C, 3,4【解析】分别用列举法表示 A、B两个集合，再计算aB即可.由题得，A 0,1,2,3,4,5, B 1,2aB 0,3,4,5.故选：B.本题考查了集合的补集运算，属于基础题3 2i15.i2b.5.i2C.5.-i D. 25. i2【解析】试题分析:3 2i2i3 3i一 - 22i 2i"T21 i1 5i【考点】复数的除法3.若直线2x 4y0经过抛物线y 2x2的

2、焦点，则1C. 2A.一2【答案】B【解析】计算抛物线的交点为0,1 ，代入计算得到答案8【详解】221y 2x可化为x - y ,焦点坐标为 2故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题4.如图所示的是某篮球运动员最近5场比赛所得分数的茎叶图，则该组数据的方差是DC. 2【解析】先根据茎叶图得到数据26 ,32 ,求出均值，再利用公式求出方差即可.由茎叶图可知，5场比赛得分的均值为29 ，故其方差为：1(26 29)2 (28 29)2 (29 29)2 (30 29)2 (32 29)2 4. 5故选：D.【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的方差的问题，属于简单题5 .已知函数 f

3、(x)22 X'x)0'，则 f (f ( 1)()x2 1,x 0,A. 2B . 3C. 4D . 5【答案】A【解析】根据分段函数直接计算得到答案.因为f (x)2x2 x所以 f(f( 1)f(2)22 2 2.故选：A.【点睛】 本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力6 .要得到函数y 2sin 2x 的图象，只需将函数 y 2cos2x的图象6A.向左平移一个单位长度3B.向右平移一个单位长度3C.向左平移一个单位长度6D.向右平移个单位长度6【答案】D【解析】先将y 2sin 2x 化为y 2cos 2 x -,根据函数图像的平移原 66则，即可得出结果.

4、【详解】因为 y 2sin 2x - 2cos 2x 2cos 2 x ,636所以只需将y 2cos2x的图象向右平移一个单位.6【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型7 .已知数列an是公差为d（d 0）的等差数列，且4包自成等比数列，则包 （）dA. 4B . 3C. 2D . 1【答案】A【解析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案【详解】,2一 2. 一由4©3且6成等比数列得a3a1a6,即a12da1al5d ,已知d 0 ,解得包4.d故选：A.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力2J5338

5、 已知 a , b ., c log 2 ，人（）3523A. a b c B.cba C. cab D. b c a【答案】C1 ；2 ；【解析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中 0 （-）5 1 , （-）3 1 ,351log2 0 ,则可得结论.3【详解】I *1 51 0，。（3）5（3），（2）3（2）0 1，55，1， C10g 2 3 10g 2 1 0,c a b.故选：C.【点睛】本题考查了指数哥，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选才i中间量 0和1是解题的关键，属于基础题 .9.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十

6、八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（A. 96 里B . 72 里【答案】B【解析】人每天走的路程构成公比为算a,192 ,代入得到答案.C. 48 里D. 24 里1，的等比数列，设此人第一天走的路程为a1,计2 1 , 一由题意可知此人每天走的路程构成公比为一的等比数列,2设此人第一天走的路程为1212378，解得a1192 ,从而可得1a2 192 96,a4 192224,故 a2 a496

7、24 72.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力10 .已知整数x,y满足x2y2 10 ,记点M的坐标为(x,y),则点M满足x yJ5的概率为()9A.35355C.377D .37【解析】列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率因为x,y是整数，所以所有满足条件的点M(x,y)是位于圆x2 y2 10 (含边界)内的整数点，满足条件x2 y2 10的整数点有(0,0),(0, 1),(0, 2),(0, 3),( 1,0),(2,0),( 3,0),( 1, 1),( 2, 1),( 3, 1),( 1, 2),( 2, 2)

8、,( 1, 3)共 37 个，满足x y J5的整数点有7个，则所求概率为 .37故选：D.【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力11 .在高为J3的正三棱柱 ABC AB1C1中，ABC的边长为2, D为棱B1C1的中点，若一只蚂蚁从点 A沿表面爬向点 D,则蚂蚁爬行的最短距离为()A. 3B , 273C. 372D . 2【答案】A【解析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A点出发，经过BC再到达点D.第二种是从 A点出发，经过A1B1再到达点D.第三种是从A点出发，经过 BB1 ,最后到达点D.分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，

9、即为所求最短距离.【详解】如图1,将矩形BCB1C1翻折到与平面ABC共面的位置BCC1 B1 ,此时，爬行的最短距离为 AD 26；如图2,将AAiBiCi翻折到与平面 ABBiA共面的位置A1B1C1 ,易知A1D AA1 73, DAA 120，此时爬行的最短距离 AD 3;如图3,将矩形BCBiCi翻折到与平面ABBiA共面的位置BC C1 B1 ,此时，爬行的最短距离 AD 2 /3.故选：A.本题考查了空间想象能力， 和平面几何的计算能力,解决本题的关键是依据 “在平面内,两点之间线段最短”.属于中档题2212 .过双曲线xr 4 1(a ba2 b20）右焦点F2的直线交两渐近线

10、于 P,Q两点,OPQ 90 , O为坐标原点，且( )A. 4iB.直2aOPQ内切圆的半径为一，则该双曲线的离心率为3C.屈. 102【解析】由双曲线的渐近线关于x轴对称可知，4OPQ的内切圆圆心M在x轴上,过点M分另1J作MN MTPN为正方形，在 的长度.在RtOMN 离心率的值.OP于N, MT PQ于T,结合条件F2P OP可知四边形RtOPF?中求出OP ,又由题意得出|PN的长，进而求得 ON中，求出tan NOM ,也即是'的值，再根据e J1 （担）2求出 a- a【详解】如图，设 4OPQ的内切圆圆心为 M,则M在x轴上，过点M分别作MN OP于N, MT PQ于

11、T,由F2P OP得四边形MTPN为正方形,由焦点到渐近线的距离为b,得F2Pb,又OF2c,所以OP a ,由NPb所以一a1八MN -a,得 NO 3MNtan NOM NO2a1 a32 -a3故选：B.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法,其中利用渐近线关于 x对称，将内切圆的圆心固定在x轴上，在直角三角形中用边长之比表示b一是关键.属于较难题.a二、填空题13 .已知向量【答案】4.2(1,2),b (1,2),则 13a b|【解析】先算出3a b的坐标，再用求模的公式计算即可1,2)可彳#3a b (4,4),【点睛】本题考查了向量的模的坐标运算，属于基础题14 .已知实数x,

12、y满约束条件x 3 y的最大值为【答案】8【解析】画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案【详解】x y 2,0,根据约束条件 2x y W。，画出可行域，图中阴影部分为可行域.y，i,又目标函数z x 3丫,：表示直线x 3y z 0在y轴上的截距，由图可知当x 3y z 0经过点P(1,3)时截距最大，故z的最大值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键15 .在长方体ABCD ABiCiDi中，AD 3,AA AB 4,则异面直线 AB与AC所成角的余弦值为【解析】由 AB/CD可将直线AB平移到CD ,与AC相交，则 ACD1为异面直线A1B与AC所成

13、角.在 ACD1中，利用余弦定理即可求值.【详解】如图，连接 CD1, AD1 ,则 AB/CD ,所以 ACDi为异面直线 AB与AC所成角,由题意可得 AC AD1 5, A1B CD1 4J2 ,222AC2 CD12 AD12贝U cos ACDi 2AC CD125 32 252 5 4 22.2故答案为:2.25本题考查了平移法求异面直线所成角，属于基础题16 .已知函数f (x)ax1 ,若x)0, f (x)0恒成立，则a的取值范围是【答案】1,)【解析】求导得到f(x)ex a,讨论a 似0和a 1 0两种情况，计算a 10时,函数f(x)在0,xo上单调递减，故f (x)(

14、f (0)0 ,不符合，排除，得到答案。因为 f (x) ex ax 1 ,所以 f (x) ex 当 a 1)0,即 a 1 时，f (x)0,则 f (x),f (0) 0 ,故a 1符合题意；。0,所以 f (x),af(x)在0,)上单调递增，从而1.当a 1 0,即a 1时，因为f (x) ex a在0,)上单调递增，且)，使得 f xq0.f (0) a 1 0,所以存在唯一的xq(0,令f (x) 0,得04x x0,则f(x)在0,Xo上单调递减，从而f(x)(f(0) 0,故a1不符合题意.综上，a的取值范围是1,).故答案为：1,).【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化

15、为函数的最值问题是解题的关键 三、解答题17 .在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c,且 2a J5csin B 2bcosC .(1)求 tan B ；(2)若 a 75,c 3,求 b.【答案】(1) tanB 25 (2) b 25【解析】(1)根据正弦定理到 2cos B J5sin B ,得到答案5 5，、 ，一 r ，-(2)计算cosB ,再利用余弦定理计算得到答案3【详解】(1)由 2a 75csin B 2bcosC ,可得 2sin A V5sin C sin B 2sin BcosC2sin( C B) , 5 sin C sin B 2sin

16、B cosC , 2sin C cos Bx'5 sin C sin B因为sinC 0,所以2cosB 而sin B ,所以tan B 典(2) 2cosB75sin B 0 ，又因为 sin2 B cos2 B51,所以 cosB 3因为b2a2c2 2accosB,所以 b2 5 9 2 75本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力平面18 .如图，已知四棱锥 P ABCD的底面为矩形，PAABCD , AB 3,AD AP 4,E 为 PD 的中点.(1)证明：AE PC .(2)若M为线段BC上的一点，且 BM 1,求点M到平面PCD的距离.【答案】(1)见解析；

17、(2)运 2【解析】(1)要证明AE PC只需证明AE ±平面PCD ,只需证明 AE CD和AE PD.其中AE CD需要通过CD 平面PAD来证明，找到条彳矩形 ABCD可得AD CD ,条件PA 平面ABCD可证得PA CD . AE PD可以通过等腰 APD底边的中线 AE即为高来证明.(2)利用Vm pcd Vp cdm等体积法，即可求点 M到平面PCD的距离.【详解】解：(1)证明："pa 平面 ABCD, PA CD , *底面ABCD为矩形，AD CD ,又 PA AD A,'CD 平面 PAD ,则 AE CD ,I ty AD AP 4, E为P

18、D的中点，AE PD,且 CDPD D,AE 平面PCD ,则 AE PC ;11(2) . PD CDSpcd，PD CD 672,1VP CDM 3 SA MCD PA 6,设点M到平面PCD的距离为h,i *, Vm pcd Vp cdm ,-h 6a/2 6 ,33.2【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理，线线垂直的证明问题， 利用等体积法求点到平面的距离问题，属于中档题 .19 .为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了100名高中生，根据问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大352055课外阅读量一般153045总计50

19、50100(1)根据列联表，能否有 99.5%的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关;(2)若用分层抽样的方式从课外阅读量一般的高中生中选取了6名高中生，再从这 6名高中生中随机选取 2名进行面谈，求面谈的高中生中至少有1名作文成绩优秀的概2附：K2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)P K2)k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)有99.5%的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关;(2)【解析】(1)计算观测值 K2,与7.879比较大小，

20、即可得结论;(2)根据分层抽样，分别计算出 6人中成绩一般的人数和成绩优秀的人数，再将所有的结果一一列举出来，用古典概型的公式进行计算一 一 一22 100 (35 30 20 15)100解：(1) K 9.091 7.87950 50 55 4511有99.5%的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关；(2)由题意可知选取的 6名高中生中作文成绩一般的人数是c30,、，,.64 ,记为 a , b , c, d ,15 30 _15 一作文成绩优秀的人数是 62,记为E, F,15 30从所选的6名高中生中随机选取 2名的情况有：(a,b), (a,c), (a,d) , (a, E)

21、, (a,F), (b,c),(b,d), (b,E),(b,F), (c,d), (c,E), (c,F),(d,E), (d,F) , (E,F),共 15 种，其中符合条件的情况有(a,E), (a,F), (b,E),(b,F),(c,E), (c,F) , (d,E), (d,F) , (E, F),共 9 种， 93故所求的概率为 P.15 5【点睛】本题考查了独立性检验问题，分层抽样，列举法求古典概型.属于中档题.2220 .椭圆E:、与 1(a b 1)的左、右焦点分别为Fi,F2,椭圆E上两动点P,Q a b使得四边形PFQF 2为平行四边形，且平行四边形PFQF 2的周长和

22、最大面积分别为8和2 3.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线PF2与椭圆E的另一交点为M ,当点Fi在以线段PM为直径的圆上时，求直线PF2的方程.22_【答案】(1)人 1 (2) 3x >/7y 3 0或 3x V7y 3 043【解析】(1)根据题意计算得到 a 2, b J3,c 1,得到椭圆方程.(2)设 l pf2y1 y2:x my 1, P x1,y1 ,M x2, y2，联立方程得到y1y26m3m2 4,9，3m2 4.根据FP fM 0,计算得到答案.【详解】(1)由平行四边形PFQF2的周长为8,可知4a 8,即a 2.由平行四边形的最大面积为2，3,可知bc

23、 J3,又a b 1,解得b,3,c 1.22所以椭圆方程为上 L 1.43(2)注意到直线PF2的斜率不为F2(1,0).设 lPF2 : x my1,P不必，Mx2, y2 ，x my 1,由 223x2 4y22消x得3m 12,4 y26my9 0,所以y26myiy23m2923 m2因为myimy1 2 my2 2所以2,yi ,my22, y2ymm2 1y22mViV29 m2 13m2 412m27 9m224:23m2 43m2 40,0.因为点F1在以线段PM为直径的圆上，所以 FP fM所以直线PF2的方程3x J7y 3 0或3x J7y 32-【点睛】本题考查了椭圆

24、方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线,将题目转化为F1M0是解题的关键21 .已知函数 f (x) xln x x .(1)求曲线y f (x)在xe处的切线方程;(2)若不等式f(x) mx(2)当 0 x 1 时，f (x)x In x 2(x 1)2'm对任意x (0,1)恒成立，求正整数 m的最小值.【答案】(1) y 3x e；(2) 1【解析】(1)求出切线斜率f (e),切点坐标(e, f(e),即可求得切线方程；(2)分离参数得m xlnx x对x (0,1)恒成立，构造新的函数 g(x) xlnx x ,对x 1x 1x In x 2g(x)求导，得g(x) 一一再构

25、造函数h(x) x 1nx 2.再求h(x),分析 (x 1)h(x)的单调性，利用零点存在定理发现h(x)在区间(0,1)上存在一个零点 小，由h(%) 0得 1nx(o x0 2 .同时可得 0 x x(o 时，g(x)单调递增，x0 x 1 时，g(x)单调递减，则g(x)max g(x°) x°,则m x° .又因为x° (0,1) , m为正整数，所以m的最小值是1.【详解】 解：(1) f f (x) 1n x 2 ,切线的斜率为f (e) 3,又 f (e) 2e,所求切线的方程为 y 3x e；x In x xmx m整理可得m ,x 1

26、xln x x令 g(x),贝U g (x)x 11令 h(x) x Inx 2 ,则 h (x) 1 -, x由 h(x) 0,得 x 1 ,当0 x 1时，h (x) 0,函数h(x)单调递减,1111 h(1)1 0, h() 1n 2 0 ,eeeeh(x)在区间(0,1)上存在一个零点 %,此时 h(X0) X0 ln X0 2 0 ,即 In X0 X0 2 ,当0 x X0时，h(X) 0 ,即g (x) 0,函数g(X)单调递增，当X) X 1时，h(X) 0,即g(X) 0,函数g(X)单调递减，g(X)有极大值，即最大值为/ X0 ln X0 X0X0(X0 2) X0g(X0) X。，X) 1X0 1则 m X0,；X0 (0,1),正整数m的最小值是1.【点睛】本题考查了利用导函数求切线方程，利用导函数解决不等式恒成立，构造函