2020届中原名校高三下学期质量考评(一)数学(文)试题(解析版)

1、2020届中原名校高三下学期质量考评（一）试题数学（文）2i （i为虚数单位）的虚部为（一、单选题1 .复数z 1 iA. 32【答案】BC.3. i2D. 3i2【解析】先化简复数z ,再根据虚数概念求解.【详解】因为z 二2i2i - -i ,所以虚部为31 i22 22故选B本题考查复数运算以及虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题2 .设集合 A x1 log2x 3 , B xx2 3x 4 0 ,则 AU B等于（）A.1,2B.1,8C. 2,4D. 4,8【答案】B【解析】解出集合 A、B ,利用并集的定义可求出集合AU B.【详解】Q A x1 log2x 32,8 , B

2、 x x2 3x 4 01,4 ,因此，AUB 1,8故选：B.【点睛】本题考查并集的计算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.3.若样本1 x1,1 x2,1 x3,L ,1 xn的平均数是10,方差为2,则对于样本2 2x1,2 2x2,2 2x3,L ,2 2xn ,下列结论正确的是（）A.平均数为20,方差为4B.平均数为11,方差为4C.平均数为21,方差为8D.平均数为20,方差为8【答案】D【解析】由两组数据间的关系，可判断二者平均数的关系，方差的关系，进而可得到答案【详解】样本1 Xi,1 X2,1X3,L ,1Xn的平均数是10,方差为2,

3、所以样本2 2x1,22X2,2 2X3,L ,2 2Xn的平均数为2 10 20,方差为22 2 8.故选：D.【点睛】样本X1,X2,X3,L ,Xn的平均数是X,方差为s2,则aX1b,aX2b,aX3 b,L ,aXn b 的平均数为aX b，方差为a2s2.44设 a 2 , b logo50.6, c tan一，贝U ()5A. a b cB. c b aD. cabC. b c a【解析】由指数函数的性质得a 1,由对数函数的性质得b0,1 ,根据正切函数的b log0.5 0.60,1 ,函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到a, b,c的取值范围是解答的关键，着性质得c

4、 0 ,即可求解，得到答案.由指数函数的性质，可得 a 20.5 1 ,由对数函数的性质可得4根据正切函数的性质，可得c tan 0,所以c b a,故选B.5【点睛】其中解答中熟记指数本题主要考查了指数式、 对数式以及正切函数值的比较大小问题,重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.r5.已知向重a (m,1),r r(3,m 2),则 m 3是a/b的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件一，-rr【解析】向重a ( m,1)，br ro(3, m 2)，a/b，则3 m(m 2)/咏2 2m 3 0,m 3或者-1,判断出即可.【详解】rr解：向

5、量 a (m,1)，b (3, m 2)，r r ir ca/b，则 3 m(m 2),即 m2 2m 3 0，m 3或者-1 ,所以m 3是m 3或者m1的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题6.函数 f(x) Asin(_的3x )(0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为4等差数列，要得到函数g(x) AcosX的图象，只需将 f(x)的图象(A.向左平移一个单位12B.向右平移个单位4c.向左平移一个单位4D.向右平移3个单位4【解析】依题意有f x的周期为Tx Asin3x7.x Asin 3x2 Asin3xjt

6、4jt4Asin 3 x冗 JT124 开,故应左移.根据最小二乘法由一组样本点x ,yi(其中i 1,2,L ,300 ),求得的回归方程是bx ?,则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线B.若所有样本点都在回归直线y?bx台上，则变量同的相关系数为1C.D.对所有的解释变量X (i 1,2,L ,300), bxj?的值一定与yi有误差若回归直线？ 族 ？的斜率g 0 ,则变量x与y正相关 【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故 A错误;所有样本点都在回归直线? b?x ?上，则变量间的相关系数为1,

7、故B错误;若所有的样本点都在回归直线y? b?x j?上，则b?x ?的值与yi相等，故c错误；相关系数与8符号相同，若回归直线？ b?x夕的斜率? 0,则r 0,样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故 D正确.故选D.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.28.已知点M是抛物线x 4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C ：(x 1)2 (y 4)2 1上一动点，则|MA| |MF|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当 M ,A, P三点共线时，MA MF|的

8、值最小，根据圆的性质可知最小值为|CP r；根据抛物线方程和圆的方程可求得 |CP , 从而得到所求的最值.【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP| |MF当M,AP三点共线时，|MA MF |的值最小，且最小值为|CP r |CP 1Q抛物线的准线方程： y 1, C 1,4CP 4 1 5 MA MF .5 14min本题正确选项：B【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解【答案】C1,则该三棱锥外接球的D. 30P ABCD ,且底面为矩【解析】作出三棱锥的实物图P ACD ,然

9、后补成直四棱锥形，可得知三棱锥P ACD的外接球和直四棱锥 P ABCD的外接球为同一个球，然后计算出矩形 ABCD的外接圆直径 AC ,利用公式2R JPB2 AC2可计算出外接球的直径2R,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积三棱锥P ACD的实物图如下图所示:底面ABCD,可知四边形 ABCD为矩形，且 AB 3, BC 4.矩形ABCD的外接圆直径 AC = 5AB2 + BC2 = 5 ,且PB 2.所以，三棱锥 P ACD外接球的直径为2R JPB2 AC2 岳,2因此，该二棱锥的外接球的表面积为4 R22R 29 .故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积

10、，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10.在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a b 8, c 2/7,2222 B2a b a b c 2abc 1 2sin ,则 ABC 的面积为（）2A. 6.3B. 8,3C. 3,. 3D. 4、3【答案】C【解析】先根据余弦定理以及二倍角余弦公式，将o o oo B 2a b a b c 2abc 1 2sin ,变形整理为2sin AcosC sin A ,确定22a cosC bcosC ccosB,再根据正弦定理，变形整理为- 11co

11、sC -,然后根据余弦定理， 确定ab 12,根据三角形面积公式 S absin C求 22解即可.【详解】2. 222.22a b c依题后、,2a b a b c 2abccosB,即 2a b ccosB ,故2ab2a b cosC ccosB,故 2acosC bcosC ccosB,即2sin AcosC sin B cosCsin CcosB余弦定理，c2 a2 b2 2abcosC a-1sin A,因为 sin A 0 ,故 cosC 一 ；由 22b 3ab,即 28 64 3ab,即 3ab 36,则 ab 12,则 ABC 的面积 S 1absinC 6 373.22故

12、选：C【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题11 .若 x, a, b 为任意实数，且（a 2）2 （b 3）2 1 ,则（x a）2 （ln x b）2 的最小值为（）A. 3 2B. 18C. 3 2 1D. 19 6 2【答案】D【解析】由题意可得 a,b在 2,3为圆心，1为半径的圆上，（x a）2 （ln x b）2表示点a,b与点x,ln x的距离的平方，设过切点m,ln m的切线与过2,3的法线垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为1,解方程求得切点，圆心和切点的距离 d ,可得距离的最小值为 d r ,可得所求值【详解】解：(a 2)2 (b 3)2

13、1,可得a,b在 2,3为圆心，1为半径的圆上， 22 .(x a) (ln x b)表布点 a,b与点x,ln x的距离的平方，又x,ln x在曲线y lnx上，设曲线y ln x上一点为 m,ln mln m 3 1可得1m 2 m即有ln m m22m设过点 m,ln m的切线与点 m,ln m与 2,3的连线垂直，3，由 f m = ln m2m在m 0递增，且f 13 ,可得切点为1,0圆心与切点的距离为 d J(1 2)2 (0 3)23J2，_2_可得(x a) (ln x b)的最小值为 372 119 6亚，故选：D.【点睛】本题考查两点的距离的运用，圆的方程和运用， 考查导

14、数的几何意义，以及转化思想和运算能力，属于中档题.112.若函数f (x) m x2 2ln x在 ,e上有两个不同的零点，则实数m的取值范e围为()A. e, e2 2B. 1 ；e2 2e1 ，,、C.1,4 D. (1,)e【答案】C2【斛析】令g x x 2ln x ,判断g x的单倜性和极值，根据 g xm有两解得出m的范围.【详解】 解：令f x 。可得m x2 21n x,一 一 2 一人2 一2 2x22令 g x x 21n x ,则 g x =2x .x x1当二 x 1 时，g x 0,当1 x e时，g x 0, e1g x在4,1上单调递减，在 1,e上单调递增， e

15、当x 1时，g x取得极小值g 11,-11,、2-1,、又 g二F4,g(e)e2, gg(e)，eeeQ m g x有两解，,11 m 4. e故选：C.【点睛】本题考查了函数零点与函数单调性,极值的关系，考查函数单调性的判断，属于中档题.二、填空题13 .甲、乙、丙三人参加会宁一中招聘老师面试，最终只有一人能够被会宁一中录用，得到面试结果后，甲说：“丙被录用了” ；乙说：“甲被录用了” ；丙说：“我没被录用若这三人中仅有一人说法错误，则甲、乙、丙三人被录用的是 【答案】甲【解析】分别假设甲说的是真话，甲说的是假话来分析，即可得出结论 【详解】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假

16、话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立 故答案为：甲.【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础14 .九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 15 2【答案15【解析】利用分割面积法求出内切圆半径，进而求出内切圆的面积，再利用几何概型的概率公式计算即可.解：Q直角三角形

17、两直角边长分别为5步和12步,斜边长为13步, ,1-设内切圆的半径为r,则一r5 2内切圆的面积为：4 ,则豆子落在其内切圆外的概率是：112 13- 12 5 r 2212 5 41-12 515 215故答案为:【点睛】15 215本题考查了几何概型的概率计算，是基础题x, yx y 1 015 .已知不等式 x y 1 0表示的平面区域为 D ,若对任意的2x y 2 0式x 2y t 0恒成立，则实数t的最大值为【解析】根据已知不等式组画出可行域，可通过直线平移求得直线 z x 2 y的纵截距最大时，z最小，代入A点坐标求得Zmin ,则t Zmin ,即可得到结果【详解】 解：由已

18、知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示:可求得 A 3,4 , B 0,1 , C 1,0 .当直线z x 2 y经过点A 3,4 ,时，直线的纵截距最大，z最小Zmin 3 2 45, t 5.故答案为：5.【点睛】本题考查线性规划求解 z ax by的最值的问题，属于基础题 .16 .已知点A 0, 1是抛物线x2 2 py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且 PF m PA ,若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过 P点, 当m取最小值时，双曲线 C的离心率为 .【答案】2 1【解析】由点 A坐标可确定抛物线方程，由此得到F坐标和准线方程；过 P作准线的垂线，垂足

19、为 N ,根据抛物线定义可得 -PN- m ,可知当直线PA与抛物线相切时， PAm取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.【详解】Q A 0,1是抛物线x2 2py准线上的一点p 2抛物线方程为x2 4y F 0,1 ,准线方程为y 1过P作准线的垂线，垂足为 N ,则PN PFpF pNQ PF mPAPA PA设直线PA的倾斜角为，则sin m当m取得最小值时，sin 最小，此时直线PA与抛物线相切设直线PA的方程为y kx 1 ,代入x22.4y 得：x 4kx 4 016k2 16 0，解得：k 1P 2,1 或 2,

20、1双曲线的实轴长为 PA PF2 J2 1 ,焦距为AF 2双曲线的离心率e,2 1故答案为：,2 1【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义 的应用；关键是能够确定当 m取得最小值时，直线 PA与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P点坐标.三、解答题17 .已知数列an的前n项和为Sn,点(an，Sh)在直线y 2x 2上，n N(1)求an的通项公式；(2)若 bn n (an 1)log 2 an ,求数列bn的前 n 项和 Tn。【答案】(1) an 2n(2) Tn (n 1) 2n 1 2【解析】由点在直线上代入得到an、S

21、n的关系，然后求出通项公式由(1)得bn n 2n ,运用错位相减法求出前 n项和Tn【详解】Q点an，Sn在直线y 2x 2上，n n* ,Sn 2an 2 .当 n 1 时，ai 2ai 2,则 a1 2,当 n 2 时，Sn 2an 2,Sn 1 2an 12两式相减，得an 2an 2an 1,所以 an 2an 1.所以an是以首项为2,公比为2等比数列，所以an 2n.(2) bn n an 1 log2an n an 1 log22n n 2n,Tn1212223 23Ln 12n 1n 2n,234nn 12Tn12223 2Ln 12n 2 ,两式相减得：Tn 21 22 2

22、3 L 2n n 2n 1,-一n 1所以 Tnn 1 22.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用，错位相减求和的运用,概念以及掌握求和的基本步骤。解题的关键是理解各个120 , D为A1B1的中点.18 .在三棱柱 ABC AB1C1 中，AC BC 2, ACB(1)证明：A1C/平面 BC1D ；(2)若AiA AC ,点A在平面ABC的射影在AC上，且侧面A ABB1的面积为2用, 求三棱锥B Ai Ci D的体积.【答案】(1)见解析；(2) 1. 4【解析】试题分析：(1)连接BiC交BCi于点E ,连接DE .利用中点可得DE / /AC , 所以AQ/平面BCQ. (2)

23、取AC中点O,连接AO,过点O作OF AB于F , 连接AiF ,利用等腰三角形和射影的概念可知A。平面ABC ,所以AO AB ,所以AB 平面AOF ,所以AB AF .利用侧面AABBi的面积可计算得三棱锥的高， 由此可计算得三棱锥的体积 .试题解析：(i)证明：连接BiC交BCi于点E ,连接DE .则E为BiC的中点，又D为AiBi的中点，所以DE/AC,且DE 平面BCiD ,AC 平面 BCi D ,则 AC / 平面 BCi D .(2)解：取AC的中点O,连接AO,过点O作OF AB于点F ,连接AF因为点A在平面ABC的射影O在AC上，且AA AiC ,OF O , AB

24、平面 AOF ,所以 AO 平面 ABC, AiO AB , AO则 AF AB .设 AO h ,在 ABC 中，AC BC 2,ACB i20 ,. AB 2/3, OF 工,AiF J- h2 , 2. 4由 SAiABBiB h2 2828,可得AiO h ，42则 VA BCiDVb AgDAOSBAiCiD2 sini20所以三棱锥 Ai BCiD的体积为-.419.世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识 ？在共识中谋合作？在合作中创共赢.2019年1

25、0月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为 34岁，年龄在40,45)岁内的人数为15,并根据调查结果画出如图(1)求m , n的值并估算出志愿者的平均年龄(同一组的数据用该组区间的中点值代表)；(2)这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”参考公式及数据：

26、K22n(ad bc)男性女性总计现场报名50网络报名31总计50(a b)(c d)(a c)(b d)P K2 -k00.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828【答案】（1） m 0.020, n 0.025, 34 （岁）（2）列联表见解析，不能【解析】（1）求出40,45）的频率，由频率和为1,得到m,n的一个关系式，再由中位数为34,又可得m,n另一个关系式，即可求出 m, n,进而求出平均数；（2）根据数据关系补全列联表，求出 K2的观测值，结合提供数据，即可得出结论 .【详解】（1）因为志愿者年龄在40,45）内的人数为15,所以志愿者年龄

27、在40,45）内的频率为：5 0.15；100由频率分布直方图得：（0.020 2m 4n 0.010） 5 0.15 1,即m 2n 0.07,由中位数为34,可得 0.020 5 2m 5 2n （34 30） 0.5,即 5m 4n 0.2,由解得 m 0.020, n 0.025.志愿者的平均年龄为（22.5 0.020 27.5 0.040 32.5 0.050 37.5 0.050 42.5 0.030 47.5 0.010） 534 （岁）.（2）根据题意得到列联表男性女性总计现场报名193150网络报名311950总计5050100所以K2的观测值2一一一.一一 .2k 100

28、 (19 19 31 31)2193119315.76V 10.828,所以不能在犯50 50 50 5050 50 50错误的概率不超过 0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系【点睛】本题考查补全频率直方图，以及中位数、平均数求法，考查独立性检验，意在考查计算求解能力，属于基础题.2220.已知椭圆C:x2 冬 1(a b 0)的长轴长为4,直线y x被椭圆C截得的线 a b段长为4 10 .5(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线11,12分别交椭圆C于M , N两点(点6 -M,N不同于椭圆C的右顶点)，证明：直线 MN过定点(-,0).5x2

29、?6【答案】(D y2 1；(6,0)4 5【解析】分析：(1)由椭圆的对称性知P,Q两点关于原点对称，不妨设 p在第一象限,由弦长可得p(2Y5,R5)，代入 占 4 1,再结合2a 4可解得a,b ；5 5a b1 一八(2)只要设出直线万程：l1:x my 2,l2 : x y 2,把x my 2代入椭圆方 m程可解得M点坐标，同理可解得 N点坐标，由两点求出直线MN的方程(注意分类讨论MNW x垂直和不垂直两种情形)，通过直线方程可观察出直线所过定点.详解：(1)根据题意，设直线y x与题意交于P,Q两点.不妨设P点在第一象限，又2.5 2.5,5545 b21,可得a2 b25 2,

30、 2-a b又 2a 4,2a 2,b 1,故题意C的标准方程为y21,4(2)显然直线1i,12的斜率存在且不为 0,设l1:x my 2,l2 : xx由x2my2得m2124 y 4my 02m2 8 m2 44m2 m 4同理可得2 8m224m 14m2 74m 11时,5m24 m-,所以直线MN 1的方程为4m ym5m4 m2 12m2 8 m2 4整理得5m-Tx4 m 16m4 m5m4 m2 11时，直线MN的方程为6一,直线也过点55，0所以直线MN过定点 -,0 .5点睛：在圆锥曲线中证明直线过定点,主要采用“设而不求法”,通常求出直线与圆锥曲线的交点坐标(本题是通过

31、设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立求得交点N坐标)，然后求出直线方程，观察直线方程可证此直线过定点.x21.已知函数 f x axln xb在点e, f e处的切线方程为yax2e(1)求实数b的值;(2)若存在2xe,e,满足xO14 e，求实数a的取值范围.【答案】(1)实数b的值为e.【解析】分析:(1)根据导数的几何意义求得曲线y f x在点e, f处的切线方程，与yax 2e对照后可得b e. (2)问题可转化为a1Inx1一在4xe, e2 上有解，令h x11lnx 4x2xe, e，结合导数可得h x min1/ 2，4e1故得实数a的取值范围为一21/ 2 ,4e详解：(

32、1)函数f x的定义域为 0,11,f x - ax b Inx lnx 1f xz a .In xf e a ,又 f e e ae b,，所求切线方程为 y e ae baxe,即 y ax e b .又函数f x在点e, f e 处的切线方程为 yax 2e,b e.所以实数b的值为e.r x01(2)由题意得f xo axo e - e,lnx04_112_所以问题转化为a 在e,e上有解. lnx 4xf 112令 h x 一 ,x e,e , lnx 4x则h x2,11 ln x 4x22r24xxln x 4x In xlnx 2 x lnx 2 , x，2124x ln x2.则当x e,e 时，有p x111.xx. x x所以函数p x在区间e,e2上单调递减,所以 p x p e lne 2 e 0.所以h x 0 ,所以h x在区间e, e2上单调递减所以h x h e21111lne2 4e22 4e2一 一 ，.一11所以实数a的取值范围为 一12 4e点睛：对于恒成立和能成立的问题，常用的解法是分离参数， 转化为求函数最值的问题 处理.解题时注意常用的结论：若 a f x有解，则a f x min；若a f x有解,则a f x max.当函数的最值不存在