关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计论文

1、关于向量组线性相关性的几种判定向量组线性相关性在线性代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识。本文从介绍向量组线性相关性的定义着手，然后论述了若干种判定向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定，并比较了不同判定方法的适用条件及范围。正是为了研究线性方程组解的存在性与唯一性，才引入诸如线性相关性、秩、极大线性无关组等基本概念。使用了这些概念，不仅可以圆满地解决线性方程组的问题，还使我们更深刻地认识了线性方程组。

2、同时构建了一座通向向量组线性相关性判定方法的桥梁，使二者之间可以相互转化。在判定向量组线性相关性的问题上，我们可以通过构造线性方程组，在解线性方程组的过程中便可以得到向量组线性相关与否的结论。向量组线性相关性的判定理论作为数学知识中的基础理论，在现实世界中，有着深入的广泛应用。三角网格自适应100P细分方法就是根据线性相关的三个向量在同一个平面的原理，提出了一种新的三维表面自适应loop细分算法，即对网格模型过同一顶点1邻域上的所有三个紧邻边组成的三个向量判断其是否线性相关来断定该顶点的1邻域是否平坦，从而进一步判断该顶点是否参与细分。但是三角网格模型上的三条边不可能都严格地在同一个平面上，当

3、这些向量组成的行列式值趋于零时，便认为它们在同一平面上。实验表明，该方法减少了细分的数据量和处理速度。关键词：向量组；线性相关；行列式；判定方法；矩阵；克莱姆法则；线性方程组等。SeveralMethodsforJudgingtheRelatedLinearityofVectorsGroupAbstractTheRelatedLinearityofVectorsGroupinLinearAlgebraisonecornstone,thebasisofitsderivationandderivedfromourmanyothertheories.Soskilledmasterlinearvect

4、ortodeterminetherelevanceofthemethodallowsustobetterunderstandtheothertheories.ThisarticlefromtheVectorGroup,introducedthedefinitionofalinearcorrelationtoproceed,andthendiscussedanumberofVectorGrouptodeterminethemethodoflinearcorrelation.Forexample,thedefinitionoftheuseoflinearcorrelation,thevalueof

5、thedeterminant,rankofmatrix,homogeneoussolutionoflinearequations,Cramer'sruleappliedtovectorgroups,suchasknowledgeofthelinearcorrelationfound.Andcomparedifferentmethodstodeterminetheconditionsandscopeoftheapplication.Istostudysolutionsoflinearequationsexistenceanduniquenessofbeforetheintroductio

6、nofsuchalinearcorrelation,rank,andsoagreatgroupoflinearlyindependentbasicconcepts.Theuseoftheseconceptscannotonlycompletesolutiontotheproblemoflinearequations,butalsogivesusadeeperunderstandingofthesystemoflinearequations.Atthesametime,awaytobuildalinearvectormethodtodeterminetherelevanceofthebridge

7、,sothatconversionbetweeneachother.Linearvectorinthedeterminationoftherelevanceoftheissue,wecanstructurethelinearequations,solvinglinearequationsintheprocessofvectorcanbelinearornottheconclusionsoftherelevant.VectorGrouptodeterminethelinearcorrelationoftheoreticalknowledgeasthebasisofmathematicaltheo

8、ry,intherealworld,withextensiveuseofdepth.Anewadaptivesubdivisionschemeispresentedbasedontheprinciplewhichisthatthreecomposedofeverythreeadjacentvectorsfromavertexoftrianglemeshiscomputedtoverifywhethertheyarecoplanar.Ifthedeterminatevalueisapproximatelyequaltozero,thesurfacesurroundingthatvertexcan

9、beconsideredasfairlyflatandthecorrespondingtriangleneedn'tbeSuchanapproachcancutdowntheamountofsubdivisionsduringrefiningameshmodelandeffectivelyacceleratetheprocessingspeed.Keywords:Vectorsgroup;Relateddependence;Determinant;Judgingmethod;Matrix;Cramerrule;Solutionofsystemoflinearequations毕业设计（

10、论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；

11、学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名：日期：第1章绪论2第2章向量组线性相关性的定义32.1 向量组线性相关性的定义.32.2 小结.10第3章向量组线性相关的判定方法113.1 定义法.113.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定.113.3 利用齐次线性方程组的解进行判定.123.4 利用矩阵的秩判定向量组线性相关性123.5 利用行列式的值来判定向量组线性相关性.153.6 反证法.173.7 利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定.183.8 利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性.183.8.

12、1 引言183.8.2 预备知识193.9 方程组法.233.10 数学归纳法243.11 有限维向量空间中向量组的线性关系的判别法25第4章向量组线性相关的具体应用.274.1 弓|言.274.2 Loop细分模式.284.3 自适应细分曲面.294.3.1 向量相关性的几何意义.304.3.2 顶点平坦度304.3.3 算法的具体步骤304.4 实验结果与分析.324.5 结论.33结论与展望.34致谢.35参考文献.36附录A外文文献及翻译.37.48附录B主要参考文献的题录及摘要插图清单图4-1loop细分模式模板示意图22图4-2三维空间中3个向量线性相关23图4-3顶点平坦度定义的

13、示意图24图4-4三角形分裂的4种情况26表4-1两种方法的实验结果对比表格清单27向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用。它与矩阵、线性方程组构成一个整体并且可以实现相互转化。若一个向量组线性相关则意味着在线性方程组中有一个方程可以由其他的方程线性表示。现实世界中往往需要我们分辨判别不同事物的关系，这就是需要我们将待考察的不同事物抽象为不同的向量或是不同的方程一一构成向量组或是方程组，研究它们之间的相关性。在统计学中，我们已经将向量组的线性相关性的思想应用到实处。相关分析就是一种统计分析方法，它是对客观存在的具有相互联系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用以表达现象间

14、的平均数量变化关系。线性相关分析在探讨不同类型的糖代谢紊乱与老年危重病人APACHER评分中得到较深的应用，利用向量线性相关找到了三角网格自适应loop的细分方法，同时在化学、物理、建筑、经济、管理、计算机应用等各领域也都有着广泛的应用，且难度相对于其他数学分支低一些，为人们解决实际问题提供了有利的判断依据。随着科学技术的不断发展，随着数学知识与其他学科结合的不断深化，向量组线性相关性的理论必将深入到我们的日常生活中。为此，我们应当熟练的掌握判定向量组线性相关性的判定方法。关于向量组线性相关性的判定方法，我们可以利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用

15、于向量组的线性相关性的判定，从而给出若干种关于线性相关与线性无关的判定方法。向量组的线性相关性反映的是线性方程组中方程间的线性表示，即是否存在可删去的方程。而向量组的一个极大无关组，则反映了由线性方程组中部分方程所构成的与原方程组同解的一个“最简”方程组。那么矩阵的秩（或者行向量组的秩）就是这样一个“最简”方程组中所含方程的个数。第1章绪论线性相关性这个概念在数学专业许多课程中都有体现，如解析几何、高等代数和常微分方程中等等。它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间（包括基、微数卜子空问等概念有密切关系，同时在解析几何以及常微分方程中都有广泛的应用。因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意

16、义，也是解决问题的重要的理论根据。向量组的线性相关与线性无关实际上可以推广到函数组的线性相关与线性无关。在线性代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。它可以将线性代数中的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起。若能熟练地掌握向量组的线性相关性则能更好的理解线性代数的各部分知识，理清线性代数的框架，做到融会贯通。本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法，从定义及性质下手，熟悉了一些重要理论，从而能在各领域中得到更好的运用。本文的第二章就是介绍了向量组线性相关的定义以及相关理论，熟悉定义就能更清晰的掌握向量组线性相关性的本质。而本文的第三章主要给出了向量组线性相关的若干种判定方法，比较了不

17、同判定方法的优劣及适用范围，并给出了一些详细证明，附带了一些证明题和例题，从而能更深刻地熟悉这些理论知识。第四章主要给出了向量组线性相关性的具体应用。而后面的就是结论与展望及一些参考文献还有一些附录关于引用的具体文献。第2章向量组线性相关性的定义2.1向量组线性相关性的定义定义2.1给定向量组A:ai,a2,am,如果存在不全为零的数匕*2,km,使k1alk2a20am0(2-1)则称向量组A是线性相关的，否则称它为线性无关。说向量组4e2,am线性相关，通常是指m2的情形。但上述定义也适用于m1的情形。当m1时，向量组只含有一个向量，对于只含一个向量a的向量组，当a0时是线性相关的，当a0

18、时是线性无关的。对于含2个向量aa2的向量组，它线性相关的充分必要条件是为e2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线。3个向量线性相关的几何意义是三向量共面。向量组A:a1,a2,am(m2)线性相关，也就是在向量组A中至少有一个能由其他m-1个向量线性表示。这是因为：如果向量组A线性相关，则有不全为0的数匕*2,%,使(2-1)式成立。因k1,k2,km不全为0,不妨设K0,于是便有1八，、a11(k2a2kmam),k1即a1能由a2,am线性表示。如果向量组中有某个向量能由其余m1个向量线性表示，不妨设am能由a1,am1线卜生表/J、.1即有1>m1使am1a12a2m1am1

19、，于AE1a1m1am1(1)am0因为1,m1,1这m个数不全为0(至少10),所以向量组是线性相关的。向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组。当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组是线性相关的；当方-10-程组中没有多余方程，就称该方程组线性无关。向量组A:a1,a2,am构成矩阵A（现?，am）,向量组A线性相关，就是齐次线性方程组xiaiX2a2Xmam0,即Ax0有非零解。2.2小结只有充分理解了向量组线性相关的定义，我们才能找到不同的判定方法来判定某组向量是否是线性相关的，并比较不同的判定方法的适用条件。11第3章向量组线性相关的

20、判定方法3.1定义法这是判定向量组的线性相关性的基本方法。定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组，也适用于分量已经给出的具体向量组。其定义是，给定向量组A:ai,a2,am,如果存在不全为零的数ki,k2,km,使kaik2a2'am0,则称向量组A是线性相关的，否则称它为线性无关。也就是说，只有当ki,k2,km都为0时，匕仇k2a2kmam0才成立，则称向量组A是线性无关的1。例3.11:设匕a1a2,b2a2a3,b3a3a4,b4a4a1,证明向量组b1，b2,b3,b4线性相关。证明：设存在4个数k1,k2,k3,k4,使得k1blk2b2k3b3k4b40将6a1a2,

21、b2a2a3,b3a3a4,b4a4a1代入上式有:a2)k2(a2a3)k3(a3a4)k4(a4(kk4)a(kk2)a2(k2k3)a3(k3k4)a40,取k1k31,k2kk1blk2b2k3b3k4b40由向量组线性相关的定义可知,向量组b1,b2,b3,b4线性相关。3.2利用向量组内向量之间的线性关系判定即向量组A:a1,a2,am线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余m1个向量线性表示。比如上例，取k1k31,k2k41,则bb2b3b4,即b可由b2,b3,b4三个向量线性表示，所以向量组b1,b2,b3,b4线性相关。这种判定方法就是利用向量组内向量之间的线

22、性关系进行判定的10123.3利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性。即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定。对于各分量都给出的向量组A:ai,a2,am,若以A(81,82,83,am)为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0有非零解向量，则此向量组A:ai,a2,am是线性相关的。若以A(81,82,83,am)为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0只有零解向量，则此向量组A:ai,a2,am是线性无关的。例如：例3.21：证明向量组阚(2,1,0,5),82(7,5,4,1),83(3,7,4,11)线性相关。证

23、明：以81,82,83为系数向量的齐次线性方程组是X181X282X3830,即2X|7x23x30x15x27x304x24x305x1x211x30利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵，即157A04451115111117r21571rl1574301717/01104401102424由行阶梯型矩阵可知,81,82,83线性相关。(2)rr2(5)r2R(A)23,即齐次线性方程组有非零解，所以向量组3.4利用矩阵的秩判定向量组线性相关性设向量组A：81,82,8m是由m个n维列向量所组成的向量组，则向量组的线性相13关性可由向量组所构成白矩阵A(ai,a2,a3,

24、am)的秩的大小来判定。即(1) 当R(A)m时，则向量组A:aia,am是线性无关的。(2) 当R(A)m时，则向量组A:ai,a2,am是线性相关的。主要结论1:我们将向量ai,a2,an已行排成矩阵TaTAta2B(为阶梯型矩阵)Tan于是有如下结论：定理3.1,1向量组4©2,an线性相关的充分必要条件是矩阵中出现零行。证明：阶梯型矩阵中出现零行；矩P$人丁的秩瓜丁)n;R(A)R(At)n;齐次线性方程组a1x1a2x2anxn0有非零解；向量组a1,a2,an线性相关。推论3.11向量组4©2,an线性无关的充分必'要条件是矩阵B中不出现零行。对矩阵AT

25、进行初等行变换化为阶梯型矩阵B的过程，其实就是对a1,a2,an进行向量的线性运算。如果中出现零行，则向量组为超2,an中一定有某个向量能被其余的n1个向量线性表示，从而知向量组为超2,an是线性相关的；反之，如果B中没有零行，则向量组4超2,烝中没有任何一个向量能被其他的n1向量线性表示，从而知a1,a2,an是线性无关的例3.31:判断向量组a1(1,3,4,7,5),a2(2,4,5,3,20(4,6,7,5,3)的线性相关性。Aa2矩阵A化为阶梯型矩阵后没有出现零行,解：将a1,a2,a3以行排成矩阵023118则a1,a2,a3中每个向量都不能被剩下的向量线性14表示，故由推论知，向

26、量组ai,a2,a3是线性无关的我们注意到，定理中的矩阵At在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦出现零行，就可以断定4,82,an中必有一个向量能被其余剩下的n-1个向量线性表示，从而知向量组a1,a2,an线性相关。例3.41:判定向量组ai(1,3,2,1,5),a2(2,2,4,6,9),a3(1,1,2,7,4),a4(1,3,5,9,5）的线性相关性。解：将a1，a2,a3,a4以行排成矩阵a82a283841211321324251679594510013403200518095105所以，矩阵A经过初等行变换后出现了零行，则81,82,83,84中必有一向量可以由

27、其余的向量线性表示，故向量组81,82,83,84是线性相关的。推论3.2如果向量组81,82,8n中含有零向量，则向量组81,82,8n是线性相关的。推论3.3如果向量组81,82,8n中有个部分组8k1,8k2,84,（其中K1,2,n,i1,2,m,mn）线性相关，则向量组81,82,8n也一定线性相关。例3.5:设&(1,1,1T,a2(1,2,3)T,a3（1,3,t）T,问当t为何值时，向量组81,82,83线性相关，并将a3表小为aDa2的线性组合解：利用矩阵的秩有A81,82,83可见，当t5时，向量组81,82,83线性相关，并且有12，所以a30a12a215利用矩

28、阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定。3.5利用行列式的值来判定向量组线性相关性若向量组A:ai,a2,am是由m个m维列向量所组成的向量组，且向量组A所构成的矩阵A(ai,82,83,am),即A为m阶方阵，则(1)当A0时,则向量组A:aia,am是线性相关的。(2)当A0时，则向量组A:a1,a2,am是线性无关的。若向量组A:a1,a2,am的个数m与维数n不同时，则(1)当mn时,则向量组A:ai,a2,am是线性相关的(2)当mn时，转化

29、为上述来进行判定，即选取m个向量组成的m维向量组，若此m维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的。例3.61:已知a14,试讨论为a,a3的线性相关性。7证明：令A(a1,a2,a3),则A1021240,所以为0鼻线性相关。157行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定。例3.71:已知向量组A:ahaz总是线性无关的，且有b1a1a2,b2a2a3,b3a3a1,证明向量组b1,b2,b

30、3线性无关。证明一：设有x1，x2,x3,使得“Xib2x2b3x30,即为a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0,整理为(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a3016x1x30因为ai,a2,a3是线性无关的，所以x1x20,由于此方程组的系数行列式x2x3010111020,故方程组只有零解xix2x30,所以向量组622也线性无关。011证明二：将已知的三个向量等式写成一个矩阵等式101(b,b2，b3)(可包自)1100110o因为矩阵A的列向量组线性无关,记作BAK。设Bx0,以BAK代入A(Kx)所以可推知Kx00又因为K20,知方程Kx0只有零解x0,所以矩阵B的列向量

31、组bih,4线性无关。101证明三：将已知条件可以写为(b1,b2,b3)(a1,a2,a3)110011记做BAK,因为k0,所以k可逆，由矩阵的秩的性质可知R(A)R(B),且R(A)3,由此R(B)3,所以B的三个列向量线性无关。例3.8:设,证明向量组a1,a2,an与n12n10110证明(1,2,n)-(a1,a2,an)11因为k(n1)(1)n10,故是可逆矩阵,故A,B等价。例3.9:已知3阶矩阵与三维列向量x满足3x3x2x,且向量组x,x,2x线性无记(x,x,2x),求三阶矩阵，使17（2）求的值解：（1）因为,23、，2-2、(x,x,x)(x,x,3xx),然后可以

32、得到000103,使得011000(x,x,2x)103011（2）因为得到了,且（x,x,2x）,而向量组x,x,2x是线性无关的。故P是可逆的。1，所以IIIIII1II03.6反证法在有些题目中，直接证明结论常常比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公理相悖的结果，从而结论的反面不成立，即结论成立。此方法是数学中常用的证明方法，欲证命题真，先假设命题假，导出矛盾，从而原命题得证。例3.10:设向量组A:a1,a2,am中任一向量句不是它前面i1个向量的线性组合，且a,0,证明向量组A:a1,a2,am是线性无关的。证明：（反证法）假设向量组A:a1,a

33、2,am线性相关，则存在不全为零的m个数k1，k2,k3,km,使得函1k2a2kmam0由此可知，km0,否则由上式可得amk为殳a2am1kmkmkm即am可由它前面m1个向量线性表示，这与题设矛盾，因此km0k1alk2a2km1am10类似于上面的证明，同理可得km1km2k3k20,最后得到k0因为a,。，所以k10,但这又与k1,k2,k3,km不全为0相矛盾。因此向量组A:a1,a2,am是线性无关的。183.7 利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定线性空间V中向量组31,32,33a,线性相关的充要条件是它们的象（ai）,（32）,（33）（3r）线性相关。因为由k1al

34、k232kr3r0可得k1（31）k2（32）kr（3r）0反过来，由k1（31）k2（32）kr（3r）0可得（k131k232kr3r）0。因为是11的，所以只有（0）0,所以k1alk232kr3r0o3.8 利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性3.8.1 引言在线性空间中，极大线性无关组的概念是一个重要的概念，求极大线性无关组也就成为一个重要内容之一。目前求极大线性无关组的方法归纳起来有所谓的加法及矩阵的初等变换法。然而如果我们按添加法求极大无关组计算量是比较大的，故一般不采用此法。在按矩阵的初等变换法来求时，如果对变换不加限制则将导致错误。事实上，我们都知道对矩阵进行一次行换法变

35、换，相当于对它连续进行几次行消法变换和倍法变换。因此在对矩阵直接作行消法变换的过程中，其结果可能对矩阵作了行的换法变换2。（将第二行加到第四行，再将第四行的例3.112:对下面的矩阵施行一系列的行消法变换-1倍加到第二行），得矩阵1000010000100000100001000010010010000000B00100100在此变换中，虽然没有直接交换矩阵A中的第一、二行位置，但可明显的看到，在最后的结果中，已将第一、二行交换了位置。因此，如果因为矩阵的行向量组的极大无关组由第一行、第三行与第四行的行向量构成，就得出结论说的行向量组的极大线性无关组也对应地为第一行、第三行与第四行构成的向量组

36、31,33,34,这显然是错误的。上例说明，在利用矩阵求极大线性无关组时，如果对行的变换不加限制或仅仅是避免直接作行的换法变换，则不能断定中的极大线性无关组就是对应于矩阵的极大无关组。其实，这个问题的解决，只要对行变换作一点限制即可。193.8.2预备知识以V(,n)表示数域P上一个n维线性空间，nx1,x2,xnx。设a1,a2,an是V(,n)的基，aV(,n),则a可由为e2,烝线性表示：ax1alx2a2xnan现作一个从V(,n)到n的映射：:V(,n)n,a(x1,x2,xn),易证，上述映射是一个同构映射。由于同构映射保持线性关系，故对于向量组V(,n)中的向量组小e2,a,，其

37、部分组ai1a2,ar是极大线性无关组的充要条件是它们在n中的象(aj(a2),(ar)是极大无关组。所以，求线性空间V(,n)中的极大无关组就可以转化为求n中的极大无关组。故我们只须考虑在“中求极大无关组的问题定义3.12一个矩阵中每个非零行的首元素(指该行左起第一个非零元素)出现在上一行首元素的右边，同时元素全为零的行在下面，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。3.8.3主要结果设1,2,s与1,2,s是“中的两个向量组，其中1122卜211llkl11kl22kl(l1)l1(3-1)kij,i2,3,s,l1,2,s1.如果i10,i20,ir0,则在向量组1,2,s中去掉零向量后剩余的向量j1

38、,j2,jsr与相应的向量j1,j2,jsr等价。证明：1)显然j1,j2,jsr与1,2,s等价。2)由(3-1)式知1可由1表示，2可由1,2线性表示，依此类推知，k可由1,2,k线性表示(2ks),所以1,2,s1,2,s等价。203）因为10,i20,ir0,所以由（3-1）式有下式1ki111k122i2ki211ki222irkir11kir22k1(i11)11ki2(i21)i21kir(ir1)ir1,ir都可以由它前面的向量线性表示，所以1,2,s可由j1,j2,jsr线性表示，于是1,2上式说明向量组1,2,s中的部分组价。由等价的传递性可知，j1,j2,jsr与j1,j

39、2,jsr等价。定义3.22将矩阵某一行的一个倍数加到该行下面的另一行，称这种变换为下消法变换。由定义3.2,定理3.3可表述为：定理3.32若对一个矩阵施行若干次的下消法变换化为矩阵，则的所有非零行向量与中对应位置的行向量等价。特别注：若的非零行构成极大线性无关组，那么对应A中行也构成极大线性无关组。定义3.32如果一个矩阵只需经若干次换行变换就成为阶梯形矩阵，则称为拟阶梯形矩阵。定理3.42任意一个矩阵必定可以用下消法变换为拟阶梯形矩阵。a11a12Hn证明：令Aa21a22a2nas1as2asn设的第一列元素11,21,s1中第一个不为零的元素为aij则可用下消法变换使的第一列元素中位

40、于ai11下方的元素统统变为零。这时变成如下的矩阵0a12a13a1na(11)2%11)3a(i11)nai11a12ai13ainaa1)2a(1)(i11)3a(i11)na(1)s2a(1)s3(1)sn若的第一列元素全为零，则仿上法考虑第二列元素对于矩阵A，考虑第2列元素。设自上而下第一个不为零的元素为和2。若i1i2,21则可用下消法变换将a22下方的元素统统变为零。若在第二列元素中除了第ii行的元素外全为零则考虑下一列元素。这时A变成如下的形式:ain00a21n000比2ai2n、1*0000A(1)或A(1)00a11n00a.0ai1n0000*00*00*00依此类推，考

41、虑第三列，第四列,第n歹设在第n列中自上而下第一个不为零且又不位于i1行，i2行，in1的元素为2筋，则可用下消法变换将位于第n列的a卜方的元素全部变为零。这时的矩阵变为0000000凡2*00A(3-2)00ainna.00000000如果在此列中除去i1,i2，,in1行的元素以外，其余的全为零则终止作变换。这时的矩阵为如下的形式:22A(1)0ai220ai110*0000000000000(3-3)无论(3-2)或(3-3)都是拟阶梯型的矩阵。因为只要将agai22,a/所在行的元素分别移至第一行，第二行，第n行，所得矩阵就是阶梯形矩阵。由此，我们得到下面的重要定理：定理3.52若将矩

42、阵作下消法变换化为一个拟阶梯形矩阵B,则中对应于的非零行就的极大无关组。证明：因为在拟阶梯形的矩阵中非零的行即为极大线性无关组，由定理2的特别注知B的极大无关组对应的就是的极大无关组。(3,15,0,14,8)的极大无关组例3.122在5中，求向量组i(0,0,2,0,1),2(1,5,0,6,2),3(2,10,4,11,0),4(1,5,2,1,1),5解：以该向量组为行作成如下的一个矩阵，并对A作下消法变换：第二行的-2倍加到第三行；第二行加到第四行；第二行的-3倍加到第五行0020115062A2104110152113150148002011506200414002530004200

43、2011506200016000520004200201150620001600002800002600201156020001600002800000矩阵是一个拟阶梯形矩阵。因为只需要将的第二行换至第一行,第一行换至第二行，其余的行不变，则得下面的阶梯形矩阵23156020020100016C00002800000最后一个矩阵C是一个阶梯形的矩阵，它是由矩阵经适当换行变换而得。按定义是一个拟阶梯形矩阵。由定理5知，相应于的非零行，的行为第一行，第二行，第三行，第四行。故所求极大线性无关组为3.9方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题。对于各分量都给

44、出的向量组1,2,s线性相关的充要条件是以1,2,s的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关。例3.137讨论向量组1(2,1,1,1),2(0,3,2,0),3(2,4,3,1)的线性相关性。2k12k30k13k24k30解：以1,2,3为系数的齐次线性方程组123k12k23k30k1k30解得之，k1k3,k2底，即k1k21,k31是方程组的一组非零解，故1,2,3线性相关。例3.147论1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。(1)当t为何值时，向量组1,2,3线性无关？(2)当t为何值时，向量组1,2,3线性相关？(3)

45、当向量组1,2,3线性相关性，将3表示为1和2的线性组合解：设有实数为？2,*3使为1x22x330,则得方程组X1X1X1x2x302x23x30,其系数行列式D3x2tx3024(1)当t5时，D0,方程组只有零解，X1X2X30,这时向量组1,2,3线性无关。(2)当t5时，D0,方程组有非零解，即存在不全为0的数x,X2,X3,使X11X22X330，此时3线性相关。(3)当t5时，由X1用X302x30令x31得X11,因此有120，从而3122。3.10数学归纳法此方法，即数学中常用的数学归纳法。例3.154设线性无关的向量组m可由向量组,t线性表示，且mt,则可从中选出(tm)个

46、向量组j1,j2,j(tm)，使得向量组C：1,2,m,j1,j2,j(tm)与向量组等价。证明：用数学归纳法当m1时，有mt,tkjj1，且10，贝1k1,k2,kt不全为零,在中设k10,k11k2k1ktk11,1,2,1,2,t由于等价。设ms1时结论成立，推证ms时结论成立。1,2,s1,1,2,1与向量组等价，而S又可由向量组,t线性表示，故有sh11h22hs1s1hsshtt,s是线性无关的，故有hs,hs1,，不全为零，设hs0,hhs1hs1hs1hshs1hshst因此,1,2,s,tt等价。由上述分析可知，当st,ms时结论成立。由数学归纳法知命题成立。253.11有限

47、维向量空间中向量组的线性关系的判别法定义3.412设1,2,n是数域上n维向量空间V的一组基，1,2,m是V中任意m个向量，而i在基1,2,n中的坐标是i(i1,i2,in)i1,2,ma11a21am1令Aa12a22am2则把叫做向量组1,2,m在基1,2,n下的坐标矩ana2namn阵，显然此定义下的坐标矩阵是唯一的。定理3.612设1,2,n是数域F上n维(n0)向量空间V上的一个基，1,2,m是V中的任意m个向量，令A(aij)mn是向量1,2,m在基1,2,n下的坐标矩阵，则1,2,m线性相关的充要条件是秩Amon证明：构造V到Fn的一个映射f,Xi,iV,有f()(X1,X2,X

48、n)1 1容易验证f是V到Fn的一个同构映射，于是1,2,m线性相关的充要条件是f(1),f(2),f(m)线性相关。由定理5知，f(1),f(2),f(m)线性相关的充要条件是它们的秩m0定理3712n维向量空间V中向量的线性关系不依赖于向量组的坐标矩阵的选取。证明：设1,2,n和1,2,n都是V的基，由基1,2,n到1,2的过渡矩阵是。设1,2,m是V中任意m个向量，它在基1,2,n和1, 2,n下的坐标矩阵分别是A(aj)mn和B(bj)mn由定理5知，要证定理6只需证秩二秩。由题设条件可以得到如下等式：(1,2,n)(1,2,n)T(3-4)(1,2,m)(1,2,n)A(3-5)(1

49、,2,m)(1,2,n)B(3-6)把(3-4)代入(3-6)中，(1,2,m)(1,2,n)B(1,2,n)TB(3-7)26比较(3-5)和(3-7)得：(1,2m)(1,2,n)A(1,2n)TB于是和都是向量组1,2,m在基1，2，n下的坐标矩阵，由坐标矩阵的唯一性可得：因为T是可逆矩阵，于是秩=秩（产秩。27第四章向量组线性相关的具体应用4.1引言曲面造型是CAD/CAM、CG、计算机动画、计算机仿真、计算机可视化等众多领域的一项重要内容，主要研究在计算机图像系统环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。经过30多年的发展，它已形成了以有理B样条曲面参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类

50、方法为主体，以插值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系。在80年代后期，参数曲面是CAD/CAM曲面的主要表示方法，尤其形成了NURBS理论，使它成为工业产品几何形状定义的唯一数学描述方法。但随着计算机设计的几何对象不断朝着多样化、特殊化、拓扑结构复杂化方向的发展，参数曲面的局限性也越来越明显。通常用参数曲面构造复杂拓扑结构的物体表面时，需要对曲面片进行剪裁或直接在非规则的四边形网格上构造曲面片，无论哪种情况都要考虑片与片之间的光滑拼接，这是很困难的。对于影视动画领域的活动模型，需要采用更加简便的方法来构造任意拓扑结构曲面。细分方法正是在这种情况下迅速发展起来，其基本思想是：采用一定的细

51、分规则，在给定的初始网格中渐进地插入新的顶点，从而不断细化出新的网格。重复运用细分规则，在极限时，该网格收敛于一个光滑曲面。细分曲面就是由初始控制网格按照一定的细分规则反复迭代而得到的极限曲面，它具有以下优点：适应任意拓扑结构、仿射不变、算法简洁通用高效、应用规模可大可小。正是由于细分曲面有着传统参数曲面所不具备的优点，现已广泛应用于计算机辅助几何设计、计算机动画造型及商业造型软件等领域。Loop细分网格具有局部性质，如果移动初始网格上的一个顶点，在最终细分网格或细分曲面上，只会在邻近该顶点的有限区域内发生改变。现有的细分模式主要分为插值和逼近两类，Doo-Sabin,Catmull-Clar

52、k和Loop模式属于逼近模式，Kobbelt、73、蝶型模式以及改进的蝶型模式属于插值模式然而，用以上所有细分模式对模型进行细分的过程中，如：Loop方法的细分规则是一分为四，每一层都是全局均匀细分的，随着细分次数的增多，网格的面片数呈指数级增长。而在实际应用中通常只需对不平坦或曲率较高的区域进行细分，使这部分区域更加光滑或者达到用户需要的曲面形态。对一块原来已光滑的区域，再细分也不会得到明显的效果，只会增加数据量；当模型较大时，过多细分不但会给计算机的处理能力增加负担，而且还会影响模型的处理速度，使模型难以控制并影响后续操作。解决这类问题的办法是在细分某一层时，根据实际需要进行误差检测，在满

53、足精度的范围内确定哪些区域不再参与细分，尽可能以相对较少的面片来逼近目标曲面，这就是自适应细分所要达到的目的。所以根据线性代数中白判别准则：当空间3个向量线性相关时，则这3个向量在同一平面上，提出了一种新的Loop自适应细分方法。它利用顶点的局部信息来衡量该顶点的1邻域是否平坦进而决定该区域是否参与细分。向量线性相关的充要条件是三者组成的行列式的值为零。然而，在曲面模型上，三个紧邻边组成的向量不可能严格地落在同一个平面上，通过测试过同一顶点的各组三条紧邻边所构成的三维向量的行列式的平均28值是否趋近于零，来判断此顶点的1邻域是否平坦，从而断定此顶点是否参与细分。在此，可用微分几何中向量函数的极限来证明该理论成立。该算法的速度比传统顶点平坦度算法的速度有所提高。4.2Loop细分模式1987年Utah大学的Loop提出一种基于三角网格的面分裂细分模式，所生成的曲面是盒式样条曲面的推广。通过对非三角网格进行三角化处理，Loop模式也可以应用于任意多边形网格。它是一种逼近的细分模式，所生成的曲面在正则曲面上是C2连续，在奇异点处是C1连续。