平面向量的线性运算

1、向量的加法运算向量的加法运算 台北台北香港香港上海上海从运动的合成看向量运算在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？上海，那么这两次位移之和是什么？ ABC位移位移ABBCAC+= F1F2FEOOEF1+F2=F从力的合成看向量运算橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下，从的作用下，从E点伸长到了点伸长到了O点；点；同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:合力合力F与力与力F1、F2

2、有怎样的关系？有怎样的关系？F1F2FF是以是以F1与与F2为邻边所形成的为邻边所形成的平行四边形的对角线平行四边形的对角线ABC向量的加法运算运动的合成运动的合成力的合成力的合成ABBCAC+= F1F2FF1 + F2 = F 数的加法启发我们，从运算的角度看，数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为可以认为是是AB与与BC的和，的和，F可以认为是可以认为是F1与与F2的和，即位移、力的的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。合成可以看作向量的加法。向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法法则向量的加法法则：三角形法则

3、、平行四边形法则：三角形法则、平行四边形法则aboABC力的合成可以看作向量加法的力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型平行四边形法则的物理模型baba求作向量求作向量已知向量已知向量,CABbaACbBCaABA则则向向量量作作在在平平面面内内任任取取一一点点作作法法：,.21向量加法法则ababba ba 位移的合成可以看作向量位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型加法三角形法则的物理模型baOCbOBaOAO则向量则向量作作在平面内任取一点在平面内任取一点作法：作法：,.21向量加法法则总结与拓展向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们将向量平

4、移使得它们2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到将向量平移到2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线对角线三角形法则推广为多边形法则：三角形法则推广为多边形法则：探究一：当向量共线时，如何相加？ACab=+ ABC(1)同向同向(2)反向反向ababABCACab=+ aaa00规定：规定：探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？数的加法满足交换律与结合律，即对任意数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有有a+b=b

5、+a， (a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具备吗？你能否画图解释？向量的加法具备吗？你能否画图解释？abba()a bcabc ( + )+向量加法满足交换律和结合律：向量加法满足交换律和结合律：以上两个运算律可以以上两个运算律可以推广推广到任意多个向量到任意多个向量. .课本例题课本例题长江两岸之间没有大桥的地方长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡常常通过轮渡进行运输进行运输.一艘船从长江南岸一艘船从长江南岸A点出发点出发,以以5km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东同时江水的速度为向东2km/h.(1) 用向量表示江水速度、船速、船

6、实际航行的速度；用向量表示江水速度、船速、船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小和方向求船实际航行的速度的大小和方向.类似题类似题某人在静水中游泳速度为某人在静水中游泳速度为 千米千米/小时，他在小时，他在水流速度为水流速度为4千米千米/小时的河中游泳，必须朝哪个方向游，小时的河中游泳，必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向向前进？实际前进的速度为多才能沿与水流垂直的方向向前进？实际前进的速度为多少？少？练习：化简练习：化简_) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA(3)_ABBDCADC 24.,)()(,)(;)()(._,的的方方向向相相同同与与则则反反向向，且且，若

7、若向向量量相相等等；与与均均为为非非零零向向量量，则则，若若；为为一一个个三三角角形形的的三三顶顶点点，则则若若中中，必必有有之之一一的的方方向向相相同同；，必必和和的的方方向向么么的的方方向向相相同同或或相相反反，那那与与若若非非零零向向量量正正确确的的个个数数有有下下列列命命题题中中ababababababaCBACABCABCABCABABCbababa5403021完成课本完成课本84页练习页练习向量的减法运算向量的减法运算预备知识：相反向量类比实数的相反数的概率，定义相反向量：类比实数的相反数的概率，定义相反向量：与与a长度长度相等，相等，方向相反方向相反的向量，的向量， 叫做叫做a

8、的相反向的相反向量，记作量，记作 ; - -a与与a互为相反向量互为相反向量规定：零向量的相反向量仍是零向量规定：零向量的相反向量仍是零向量所以所以: 1、- -(- -a)=a；2、a+(- -a)=(- -a)+a=0； 3、a=- -b，b=- -a，a+b=0向量的减法：向量的减法：a- -b=a+(- -b)，即减去一个向量相当于，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量加上这个向量的相反向量向量减法法则要点要点:1.平移到平移到；2.被减向量被减向量.abb)( babaabABOababbaabABOab.,baBAbOBaOAO则则作作点点作法：在平面内任取一作法：在平面内任

9、取一探究三：当向量共线时，如何相减？(1)同向同向(2)反向反向bababa baba探究四：平行四边形法则的两条对角线ADCBabbaABADBDbaAC探究五：向量的三角形不等式的大小关系如何？的大小关系如何？、与与问题一：问题一：babababababa号何时成立？号何时成立？问题二：上述不等式等问题二：上述不等式等，是否有类似的结论？，是否有类似的结论？问题三：对于实数问题三：对于实数ba,探究六：向量加减法与平行四边形形状？互相垂直？互相垂直？与与满足什么条件时，有满足什么条件时，有当非零不共线向量当非零不共线向量bababababa)()(,21菱菱形形ba矩形矩形ba OMBOM

10、BABBDACCDABDCADABcbacbacbacbacACbBCaABABCDcbacbacba)()( ;)(.)()(,.,.321321121化化简简：，并并计计算算求求作作向向量量，并并计计算算求求作作向向量量，设设边边长长为为正正方方形形和和作作出出向向量量随随意意画画三三个个互互不不共共线线的的完成课本完成课本87页练习页练习向量数乘运算向量数乘运算aaaABCOaaaa3BCABOAOC记记作作aaaaMNQMPQPN3记记作作)()()(a-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同的方向相同与与aaaa333的方向相反的方向相反与与义吗？义吗？你能说明它们的几何意你能说

11、明它们的几何意和和作出作出已知非零向量已知非零向量),()()(,aaaaaaa向量的数乘运算的定义.)(;)(.000021aaaaaaaaa 时，时，当当的方向相反；的方向相反；的方向与的方向与时，时，当当的方向相同；的方向相同；的方向与的方向与时，时，当当如下：如下：，它的长度和方向规定，它的长度和方向规定记作记作运算叫向量的数乘运算叫向量的数乘的积是一个向量，这种的积是一个向量，这种与向量与向量实数实数你能说出向量数乘运算的几何意义吗？.)()(的方向的方向量量的符号表示是否改变向的符号表示是否改变向伸长或缩短；伸长或缩短；的长度的长度可视为将向量可视为将向量几何意义：几何意义：aaa

12、 21数乘向量运算律向量的加、减、数乘运算统称向量的向量的加、减、数乘运算统称向量的.)()()(律律推推广广出出数数乘乘向向量量的的运运算算呢呢？与与有有什什么么关关系系？和和思思考考：babaaa22226231.)()(;)(;)()()(babaaaaaa 321是实数，是实数，bababa212121 ),（恒恒有有，以以及及任任意意实实数数对对于于任任意意向向量量第一分配律第二分配律数乘结合律1.如何证明？2.如何解释运算律的几何意义，尤其是(3)？概念辨析.)()( ;)(;,)(,)(,)()()(_.)(,)()()(._,.aaaanmanamanmbabmambambab

13、ababaaababaabbaaaaaba 765403002001203252525211则则，若若和和向向量量对对于于实实数数；则则，若若和和向向量量对对于于实实数数同同向向；与与则则满满足足若若非非零零向向量量；，则则若若；，则则若若下下列列说说法法正正确确的的个个数数是是不不共共线线；与与不不共共线线，则则若若）是是一一对对相相反反向向量量；（与与；的的模模的的的的模模是是的的方方向向相相反反，且且的的方方向向与与下下列列说说法法正正确确的的有有是是两两个个非非零零向向量量已已知知线性运算练习.,.,)()()(.,.)()(.)()( ;)()()(;)(.yxbyxayxbaxba

14、xaxaxabbabajibjiababbacbacbaababaa，求求且且已知已知求求已知已知求求设向量设向量化简化简计算：计算：课本例题课本例题325504223423231223376413134322233232324311完成课本完成课本90页练习页练习25共线定理定理的应用：定理的应用：证明证明 向量共线向量共线证明证明 三点共线三点共线:证明证明 两直线平行两直线平行:?abbabaabba 实实数数，使使得得个个共共线线，那那么么是是否否存存在在一一和和：如如果果向向量量问问题题是是否否共共线线？和和，那那么么向向量量：如如果果问问题题，以以及及实实数数和和对对于于向向量量2

15、1abRbaaabbaa ，使使得得存存在在唯唯一一即即，使使得得一一个个实实数数共共线线，当当且且仅仅当当有有唯唯一一与与向向量量/)()(00三点共线三点共线CBABCAB, CDABCDABCDABCDAB/,/不在同一条直线上不在同一条直线上 .,三三点点的的位位置置关关系系判判断断，作作已已知知任任意意两两个个非非零零向向量量课课本本例例题题ABCbaOCbaOBbaOAba321.,的的值值共共线线，确确定定实实数数和和不不共共线线，欲欲使使和和已已知知非非零零向向量量逆逆向向使使用用三三点点共共线线证证明明：不不共共线线，如如果果和和已已知知非非零零向向量量类类似似题题kekee

16、ekeeABDeeCDeeBCeeABee212121212121212382abABCOab2b3b.,.,.,.CDBCeeeALeAKLKCDBCABCDDCOCbabOBaOAEOADCOBDBDOBBAACCBAAOBMDMCMBMAbabADaABMABCD表示表示，试用，试用，且，且的中点分别为的中点分别为的边的边如图，平行四边形如图，平行四边形类似题类似题表示表示，试用试用，设，设交于点交于点与与，使，使上取点上取点，在，在使使，到到中，延长中，延长如图，在如图，在类似题类似题表示表示，用，用，且，且的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点如图，平行四边形如图，平行四边形课本例

17、题课本例题212123113探究：.),(OCOBOARtABtACOBOA表表示示和和试试用用不不共共线线，和和问问题题：已已知知吗吗？时时，你你知知道道其其几几何何意意义义当当特特例例：对对于于211tOBtOAtOC,)(2OBOAOCABC中中点点，则则为为中中点点公公式式向向量量表表示示法法：的的值值有有什什么么关关系系？三三点点共共线线与与一一般般地地：对对于于 ,CBAOBOAOCOBOAOCCBA 使使得得，且且存存在在实实数数三三点点共共线线1,探究：？在三角形内的什么位置在三角形内的什么位置，则，则内一点，若内一点，若是是是不共线的三点，是不共线的三点，问题：问题：GGCGBGAABCGCBA0,)(内内在在重重心心是是ABCGGCGBGAABCG0OCOBOAOGGOABCG31则则的任意一点，的任意一点，为平面内不同于为平面内不同于重心重心是是,有有什什么么关关系系？与与的的重重心心，则则为为中中点点，则则为为线线段段类类比比：OCOBOAOGABCGOBOAOCABC,2证明几