高数1-1函数,.

1、1（上册）2 初等数学是常量数学，主要研究常量。初等数学是常量数学，主要研究常量。 高等数学是变量数学，主要研究变量。高等数学是变量数学，主要研究变量。 函数是变量之间的依赖关系函数是变量之间的依赖关系函数是高等数学的研究对象。极限的方法是研究函函数是高等数学的研究对象。极限的方法是研究函数的基本方法，贯穿于高等数学的始终，它是初等数的基本方法，贯穿于高等数学的始终，它是初等数学与高等数学的分水岭。因此理解函数的概念，数学与高等数学的分水岭。因此理解函数的概念，掌握极限的理论是学好高等数学的基础。掌握极限的理论是学好高等数学的基础。3本章先学习函数及其相关概念，介绍函数的基本性质本章先学习函数

2、及其相关概念，介绍函数的基本性质和常见的初等函数；接着讨论数列、函数的极限，包括极限和常见的初等函数；接着讨论数列、函数的极限，包括极限的定义和求几种不同形式极限的常用方法；然后介绍无穷小的定义和求几种不同形式极限的常用方法；然后介绍无穷小量和无穷大量，包括无穷小的比较；最后说明函数的连续性，量和无穷大量，包括无穷小的比较；最后说明函数的连续性，并介绍利用连续函数的性质求解一些常见问题的方法。并介绍利用连续函数的性质求解一些常见问题的方法。41 函数的定义函数的定义 x设在某个变化过程中有两个变量设在某个变化过程中有两个变量和和，y变量变量xD中中在一个给定的数集在一个给定的数集D中取值。中取

3、值。 如果对于如果对于每个确定每个确定 1-p记作记作 xfy 数集数集D叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域x叫自变量叫自变量y叫因变量叫因变量构成函数的基本要素：对应法则构成函数的基本要素：对应法则 定义域定义域单值函数：满足上述定义的函数单值函数：满足上述定义的函数多值函数：对于多值函数：对于D中某些中某些x的值，有多于一个的值，有多于一个y值与之对应值与之对应一。函数的概念一。函数的概念y是是x的函数。的函数。确定的数值与之对应，则称确定的数值与之对应，则称x的取值的取值，x变量变量y按照一按照一 定的法则总有唯一定的法则总有唯一的变量的变量本书只讨论单值函数本书只讨论单值函数5最

4、最近近的的整整数数的的距距离离，到到离离是是设设xxx)( 。的的表表达达式式并并画画出出其其图图形形求求)(x 解解远远。离离的的距距离离近近离离则则表表示示整整数数，若若设设1,21 nnxnxnn 121121)(nxnxnnxnnxx 2121252312xy的图形：的图形：)(x 6 分段函数是由几个不同解析式表示的分段函数是由几个不同解析式表示的一个一个函数函数。不能。不能把它看作多个函数。只不过在定义域的不同集合上，有不同的把它看作多个函数。只不过在定义域的不同集合上，有不同的解析式而已。解析式而已。分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线。分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线。

5、 x y O 例例2 2 绝对值函数绝对值函数00 xxxxxy 2 2 分段函数：分段函数： 函数的对应法则由两个或两个以上的解函数的对应法则由两个或两个以上的解 析表达式表示。析表达式表示。分段函数的定义域分段函数的定义域: :是所有部分定义域的并集。是所有部分定义域的并集。要注意各段的分界点。要注意各段的分界点。求分界点处的函数值要注意分界点在哪个求分界点处的函数值要注意分界点在哪个区间。不同定义区间的自变量，按对应区区间。不同定义区间的自变量，按对应区间的函数表达式求函数值。间的函数表达式求函数值。例例 1 即为即为分段分段函数函数7。-1。10 xy0 , 10, 0,0, 1,sg

6、nxxxxy当当当例例3 3 符号函数符号函数 ; 21.34- ; 12 . 075 )( 的最大整数部分不超过x xy 例例4 4 取整函数取整函数 .。.-1。3y.。x12123-1-2-30.-2-3.。阶梯曲线阶梯曲线 8狄利克雷函数：狄利克雷函数： 是是无无理理数数当当是是有有理理数数当当xxxDy,0, 1)(。，的的定定义义域域。求求设设)3()2()1()1()(22000102)(ffffxfxxxxxxf 例例6解解.1)3(,2)2(,2)1(1)1(),( ffff，定定义义域域为为例例5图像分段的函数不一定是分段函数，图像分段的函数不一定是分段函数，分段函数的图像

7、也可以是一条不断开的曲线。分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线。xytan=例如例如如例如例19二二 反函数与复合函数反函数与复合函数 在同一个坐标系中，在同一个坐标系中， x= f -1 (y) 和和 y=f (x) 的图像是同一的图像是同一条曲线，只不过自变量条曲线，只不过自变量 所在的坐标轴不同。所在的坐标轴不同。习惯上，总是以习惯上，总是以 x 作为自变量，函数记做：作为自变量，函数记做：y= f -1 (x), 在同一个坐标系中，在同一个坐标系中，y= f -1 (x)和和 y=f(x) 的图像是不同的两条的图像是不同的两条 曲线，它们关于直线曲线，它们关于直线 y =x 对称。对

8、称。相对于相对于 x= f -1 (y)， y=f (x) 称为称为直接函数直接函数WWDxfy如如果果对对于于值值域域为为其其定定义义域域为为给给定定函函数数,),( (1) 反函数反函数 P-4则则称称在在使使中中有有唯唯一一的的必必定定在在中中任任一一值值,)(,0000yxfxDyy WyyfxxfyW )()(1的反函数。记作：的反函数。记作：上确定了上确定了上上是是一一一一对对应应的的。在在此此时时也也称称DWyDxxfy),)( 一般的，直接函数与反函数的对应法则、定义域、值域不相同。一般的，直接函数与反函数的对应法则、定义域、值域不相同。102xyxyOyyy因而没有反函数。因

9、而没有反函数。 2xy xy 2xy 其反函数都存在，可写成其反函数都存在，可写成 上上是是一一一一对对应应的的，在在 xey.) ,( 上上不不是是一一一一对对应应的的在在 但是，当把但是，当把看成分别定义在看成分别定义在 0， 或或 ，0上的两个函数时，它们分别是一一对应。上的两个函数时，它们分别是一一对应。 , 0D , 0Wxy , 0D 0, W图在下页图在下页反函数存在的条件反函数存在的条件 Dxfy在在 上存在反函数上存在反函数 Dxf在上是一一对应上是一一对应单调函数是一一对应的，一定存在反函数。单调函数是一一对应的，一定存在反函数。直接函数的定义域直接函数的定义域= =反函数

10、的值域反函数的值域直接函数的值域直接函数的值域= =反函数的定义域反函数的定义域11oxy2xy xy xy 11xy 12 反三角函数反三角函数 xyarcsinxy11O2 2 xyarccos yx112 O 反三角函数：反三角函数：反正弦函数反正弦函数 反余弦函数反余弦函数 反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数xArcyxArcyxArcyxArcycottancossinxyarcsin-= 13它们都是多值函数，选取其单值支，相应得到单值函数：它们都是多值函数，选取其单值支，相应得到单值函数：xyarctan2 2 Oyxxarcycot2 Oyxxarcyxyxyxycot,

11、arctan,arccos,arcsin14(2) (2) 复合函数复合函数复合函数例如复合函数例如1 xey可看成是将可看成是将1 xu代入到代入到uey 中的运算称为函数的复合运算，所得函数称为复合函数中的运算称为函数的复合运算，所得函数称为复合函数定义定义(p-5)(p-5)值域为值域为,2W且且.12DW 则对于任一则对于任一,2Dx 通过通过 xgu 有唯一确定的有唯一确定的2Wu ,12DW 与之对应。由于与之对应。由于因此对于因此对于这个这个u值，再通过值，再通过 ufy 有唯一确定的有唯一确定的y值与之对应值与之对应之中而得到的。之中而得到的。在一定条件下，在一定条件下，将一个

12、函数将一个函数代入代入到另一个函数到另一个函数一个以一个以x为自变量为自变量y为因变量的函数。称这为因变量的函数。称这从而得到从而得到 ufy 的定义域为的定义域为，1D xgu 的定义域为的定义域为，2D若若这样，对于任一这样，对于任一,2Dx 通过通过u有确定的有确定的y值与之对应值与之对应个函数为由个函数为由 ufy 和和 xgu 复合而成得复合函数。复合而成得复合函数。 xgfy 记为：记为：称为中间变量称为中间变量u15注注2 2. .不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的。不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的。 12DW复合条件复合条件,arcsinuy 例如例如;22x

13、u )2arcsin(2xy 1 1. .复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成。复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成。,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv xg也被称为也被称为内层函数内层函数。 uf外层函数。外层函数。16内层函数的值域落在外层函数的定义域之内内层函数的值域落在外层函数的定义域之内复合条件在实际应用时常取形式复合条件在实际应用时常取形式12DW 若若12DW 但但 12DW也可复合也可复合例如例如21uy 1 xu , 01D ,2W12DW ,2D ,012DW若缩小若缩小 , 12D从而缩小从而缩小 , 02W使使12DW 则两个函数仍然可以复合

14、成则两个函数仍然可以复合成）（1 -1 xxy173 3。复合函数是说明函数对应法则的某种表达方式的复合函数是说明函数对应法则的某种表达方式的一个概念。利用复合这个概念，可以把一个复杂函数一个概念。利用复合这个概念，可以把一个复杂函数分解成几个简单函数的运算，也可把几个简单函数复分解成几个简单函数的运算，也可把几个简单函数复合成一个较复杂的函数。合成一个较复杂的函数。18例例1 设设, 1, 0, 1)(xf, 1; 1; 1xxx.)(xexg求求. )(xfg、)(xgf, 1, 0, 1)(xgf, 1)(; 1)(; 1)(xgxgxg, 1, 0, 1, 1; 1; 1xxxeee,

15、 1, 0, 1, 0; 0; 0 xxx)()(xfexfg; 1xe ，; 11x ，; 11xe ，19三三 初等函数初等函数 1 1。六种六种基本初等函数：基本初等函数： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数统称为基本初等函数。常数函数统称为基本初等函数。 2 2。初等函数。初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。3 3。复合函数的分解。复

16、合函数的分解分析一个复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的过程复分析一个复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的过程复合而成的。合而成的。分解分解 12sin xfy是由是由uysin vfu 12 xv复合而成复合而成重要记住重要记住P-620一般情况下，分段函数不是初等函数，一般情况下，分段函数不是初等函数， 特别的特别的: :.0,;0,xxxxxy是初等函数。因为：是初等函数。因为： 2xxy是是 2,xuuy复合而成的。复合而成的。 214 4。邻域邻域 aa+ a- U（a, ）=（a- , a+ ） 为为点点a 的的邻域邻域,记为记为U(a,). ., axxaUaa+ a- ax

17、x 0为为点点a 的去心的去心邻域邻域, , 记为记为 ., aU .0,U axxa即即 。叫叫做做邻邻域域的的半半径径。叫叫做做邻邻域域的的中中心心； a，称称集集合合及及任任意意正正数数对对给给定定的的数数 a称集合称集合的的一一切切点点的的全全体体。的的距距离离小小于于表表示示数数轴轴上上与与点点间间的的距距离离与与点点表表示示点点 aaUaxax), (,-225。 极坐标极坐标（1） 平面极坐标系平面极坐标系，再再规规定定一一个个引引一一条条射射线线从从在在平平面面上上任任取取一一定定点点OxOO,，这这样样就就确确定定通通常常取取逆逆时时针针方方向向正正方方向向长长度度单单位位和

18、和计计算算角角度度的的)(叫叫做做极极轴轴。叫叫做做极极点点。射射线线定定点点了了一一个个平平面面极极坐坐标标系系。OxOOOxPr 平面上任一点的极坐标平面上任一点的极坐标的的长长度度的的位位置置可可以以用用线线段段任任一一点点在在极极坐坐标标系系下下，平平面面上上OPP来来确确定定。的的角角度度到到及及从从 OPOxr),r(PP),r( 的的极极坐坐标标，记记为为称称为为点点有有序序实实数数对对极角极角极径极径 - r，极极角角可可取取任任意意值值。极极径径为为的的极极坐坐标标为为极极点点0), 0( OO),( r23Ox),2,( nr)(Zn),( r对于给定的极坐标对于给定的极坐

19、标 ，平面上有唯一的点与之对应；，平面上有唯一的点与之对应； 都可以作为它的极坐标。都可以作为它的极坐标。 和和),( r),( r之间，一般没有一一对应的关系。之间，一般没有一一对应的关系。 因此，平面上的点与有序实数对因此，平面上的点与有序实数对., 0.20 , 0 rorr但若规定但若规定O除极点除极点外，平面上的点与极坐标外，平面上的点与极坐标 之间就一一对应了。之间就一一对应了。 ),( rP r对于平面上的点对于平面上的点 ，P24例例1已知已知),6, 6( P写出它关于极轴、极点、过极点写出它关于极轴、极点、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标，使且垂直于极轴的直线的对称

20、点的极坐标，使 .20 ,02.,01 rr解解 )65,6()65,6()6,6(1321 ppp Ox)6, 6( p1p2p3p )65,6()67,6()611,6(2321 ppp25（2）极坐标方程）极坐标方程)( rrr 之之间间的的关关系系可可以以用用式式与与曲曲线线上上点点的的极极坐坐标标为为曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程。表表示示，称称)( rr ar 极坐标方程为：极坐标方程为：),( aP)0 ,(aaxOx)0 ,(a),( rPr cos2ar 极坐标方程为：极坐标方程为：o26等速螺线（阿基米德螺线）等速螺线（阿基米德螺线）4 极坐标方程为：极坐标方程为：4 )

21、4,( rPOx),( rPO)0 ,(0rMxMOlO转转动动，同同时时点点作作等等角角速速度度绕绕点点出出发发的的射射线线从从 arrMvl 0)(。其其方方程程为为动动的的轨轨迹迹称称为为等等速速螺螺线线运运两两种种运运动动的的合合成成。点点为为作作匀匀速速直直线线运运动动，速速度度上上在在 vavrrvtrrtPtM 00)2()1()2()1(,有有：代代入入将将后后运运动动到到点点经经过过时时间间设设点点l27（3） 极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标的关系OxyO),(),( ryxPxyr sincosryrx xyyxr tan222所所在在的的象象限限确确定定。根根据据

22、点点 M 5169)4,3( r的的极极坐坐标标为为直直角角坐坐标标)34arctan, 5(34arctan34tan 28kkxy tan直直线线： cossinkbrbkxy RrRyx 222圆：圆： cos22)(22222RrRxyxRyRx RyyxRRyx2)(22222 )cos1( ar心形线：心形线： sin2Rr ), 0( xOy)0 ,2( a 2, a图见书图见书 P-177xyo 29 2cos22ar 双纽线双纽线xy图见书图见书173页页40 4345 247 30四四 函数的几种特性函数的几种特性 （有界性、单调性、奇偶性、周期性）（有界性、单调性、奇偶性

23、、周期性） M-Myxoy=f(x)X)(xfy ,DX , 00XxM使得使得 ,)(0Mxf称称 在在 上无上无界。界。 )(xfX, 0XxM 若若恒有恒有 ,)(Mxf 上上有有界界。在在则则称称Xxf)(P-3的定义域为的定义域为D，数集数集 设函数设函数与之间xMy My有界函数的图形总是位于与有界函数的图形总是位于与轴平行的直线轴平行的直线成立。时，恒有当M)(-, 0 xfMXxM31xyarctan 2 Mxyarctan ,xy11,0 ,2arctan xy上是有界的。上是有界的。例例1 说明函数说明函数在在上有界。上有界。在在上无界。上无界。解：解：取取，当，当 ,x时

24、，时，由定义知由定义知在在 MMxxy 1111由定义知由定义知上无界上无界。 ,101在在xxy11101101MMM取取，达不到它的界达不到它的界1xM1xarctan为有界函数为有界函数xy132有上（下）界函数的图形总是位于平行于 轴的直线 的下（上）方x1ky 2ky )(xfy ,DX 的定义域为的定义域为D D，数集数集 设函数设函数,2XxK 恒有恒有 ,)(2Kxf 称称 在在 上有上有下界。下界。 )(xfX,1K 恒有恒有 ,Xx,)(1Kxf 称称 在在 上有上有上界。上界。 )(xfXxyO1ky 2xy yxO 2ky xy2 xy 2133例例2 2 说明说明在在

25、 xxf1 ，1上有界上有界 xxg2 在在),(上有下界上有下界 2xxh 在在),(上有上界上有上界解解(1)(1)取取1 M当当 ,1x 11 xxfM分析分析 ,1x110 x也可取大于也可取大于1 1的任何常数的任何常数21 x1 1是其最小的是其最小的界且可达到界且可达到的界的界(2)(2)取取02 k,x，当，当时，恒有时，恒有02 xx2在在 ,上有下界上有下界由定义知由定义知0 0是其一个达不到的下界、最大下界，没有可达到下界是其一个达不到的下界、最大下界，没有可达到下界34由定义知由定义知(3)取取01 k,x，当当时，恒有时，恒有02 x2x 在在 ,上有上界上有上界0 0是其一个可达到的上界，最小上界。是其一个可达到的上界，