全国初中数学竞赛试题及参考答案

1、学习必备欢迎下载20XX年全国初中数学竞赛试题及参考答案一.选择题（5X7'=35'）1.对正整数n,记n!=1>2X.n侧1!+2!+3!+.+10!的末位数是（）.A.0B.1C.3D.5故式子的个【分析】n之5时，n!的个位数均为0,只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13,位数是3.本题选C.2.已知关于x的不等式组3x_2恰好有5个整数解，则t的取值范围是（)-tx11A. -6:t2B. -6-t:二C. -6二t<D.-6-t<1122x+5注意到x=15时，只有4个整数解.所以14-3-2t<15=-6二t三112,本题选C-

2、x>5【分析】<3=32t<x<20,则5个整数解是x=19,18,17,16,15.x3+-t:：x2CX<O31J151617181920>3.已知关于x的方程x+x-2=a2x恰好有一个实根，则实数a的值有（）个.2x-2xx-2x学习必备欢迎下载A.1B.2C.3D.4【分析】-+2=aJ2x=a=2x22x+4,下面先考虑增根：x-2xx-2xi）令x=0,则a=4,当a=4时，2x22x=0,为=1,x2=0（舍）；ii）令x=2,则a=8,当a=8时，2x22x4=0,x1=1,x2=2（舍）；再考虑等根：27.71in）对2x2x+4a=0,

3、A=4-8（4-a）=0ta=,当a=,x12=.22，2,一71.一.故a=4,8,一，x=1,-1，一共3个.本题选C.224.如图，已知4ABC的面积为24,点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF,DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为().A.3B.4C.5D.6【分析】设AABC底边BC上的高为h,则48481212h=BC4CFCFDE,cc111SadeSbde=-DE-DEn-DE(h1h2)1CL,1y12-二DEh二一DE6本题选D.22DE学习必备欢迎下载5.在分别标有号码2,3,4,.,10的9个球中，随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号

4、被较小标号整除的概率是（)A.14B.29D.-36本题选B.c4+c2+1+1=8=2ZT2_二C9369二.填空题（5X7'=35'）6 .设a=3/3,b是az的小数部分，则（b+2）3的值为【分析】考虑到a=V3,则a2=3；32=9,2=V8<9f9<V27=3,b=3/9-2,b+2=3'9则(b2)3=(3.9)3=97 .一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6.掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是.【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111,114,123,126,13

5、2,135,141,144,153,156,162,165共12种；对于首次掷得向上的面是2,3,4,5,6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有12M6,而总次数是6M6M6次，则其概率为c1261P二二-.66638 .已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,贝Uabc的最大值为.1oo1【分析】先消去c,再配万估算.6a+a+b16b=2=6(a+)+(b8)=66+一1224学习必备欢迎下载观察易知上式中a£3,故a=1,2,3,经试算，a=1,2时，b均不是整数；当a=3时，b=5,11,于是有(a,b,c)=(3,5

6、,13),(3,11,61),故abcmax=3父11父61=2013.9 .实数a、b、c、d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b,一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d,则所有满足条件的数组(a、b、c、d)为.【分析】由根与系数关系知a+b+c=c+d+a=0=b=d,ab=d,cd=b，然后可得(a、b、c、d)=(1,-2,1,-2)本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案.10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，

7、则他至少卖出了支圆珠笔.【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则4x+7y=2013,x+y<350y14x7y=2013=4x=2012-8yy1=x=503-2y14令y!=k=y=4k1,则x=5032(4k1)+k=5057k,又x+yM350,即4505-7k+4k-1<350=k2511一工k>52,y=4k-1>452-1=2073即他至少卖了207支圆珠笔.学习必备欢迎下载三.解答题(4X20'=80')11 .如图，抛物线y=ax2+bx-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,1.与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.直线y=x+

8、1与y轴交于点D,3求/DBC-ZCBE.分析易知y=x2-2x3=(x-1)2-4,A(1,0),B(3,0),C(0,-3),D(1,4),作EFCO于F,连CE,易知学习必备欢迎下载OBC、4CEF都是等腰直角三角形，则4CBE是直角三角形.分别在RtAOBD>BCE中运用正切定OD1,：CE、21皿乂，即有tana=一，tan口=一，则a=声OB3BC323从而可得/DBC-ZCBE=45o.12.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，D为线段OB内一点(不是端点)，满足CDXAB,DELCO,E为垂足，若CE=10,且AD与DB的长均为正整数，求线段AD的长.【分析】设圆

9、O半径为r,则由相似或三角函数或射影定理可知，22_DE=CEOE=DE=10(r10),又CD2=CE2DE2=10210(r-10)=10r由相交弦定理(考虑垂径时)或连AC、BC用相似或三角函数，易知ADBD=CD2=10r，而ADBD=2r令AD=x,BD=y,/即=1°£=5=2=)1,显然有0<y<x,则0<、<1,即xy2rx5x0<y1<1=5<y<10,y为正整数，故y=6,7,8,9,又x也为正整数，经逐一试算，仅当y=6,x=305这一组是正整数，故AD=30.学习必备欢迎下载13.设a、b、c是素数，记

10、x=b+ca,y=c+ab,z=a+bc,当z2=y,6一Jy=2时，a、b、c能否构成三角形的三边长？证明你的结论.'y=c+a-b*0z2=y2*0八-1±Y1+8a【分析】1=y+z=2az+z2a=0nz=z=a+b-c2a、b、c是素数，则a十b_c=z为整数，则J1+8a=2k+1,k为正整数.化简整理后，有k(k1)=2a=；k=1,k+1=2a=1+1=2=a=1(非质数)k=2,k+1=a=2+1=31_18aa=3ccz=,z=-3,22i)z=3,y=9,、.x-,9=2=x=25,x-z=2b=b=11,b=17,ab=317=20：二17二c不能围成

11、三角形；ii)z=2,y=4,x=16,b=9是合数综上所述，以a、b、c不能围成三角形.14.如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）.求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a?,.,an,满足对任意一个正整数m,在a1，a2,an中都至少有一个为m的“魔术数”.【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a1，a2,.,an互不相等，不妨设a1Ma2.<an,余数必为1、学习必备欢迎下载2、3、4、5、6,0,设a=7ki+t,(i=1,2,3,n;t=0,1,2,3,4,