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文档简介
1、绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(一)位1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自A1注意事项:号封座己的姓名、考生号填写在答题卡上。4B【答案】Cp4C18D22回答第卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,【解析】设正方形ABCD的边长为2,则正方形的面积S1=4,2r2=密如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3回答第卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。则圆的半径为r=1,阴影部分的面积为S=1212,不考第卷(选择题)S28,故选C22),且tana=2,那么sina=(号场4
2、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只根据几何概型及其概率的计算公式可得P=2=S4134已知a(,)133C有一项是符合题目要求的订1已知全集U=xZ|1x5,A=1,2,3,B=1,2,则AIB=(U)A-3B-663D33考【解析】全集U=xZ|1x5=1,2,3,4,5,A=1,2,3,3sina22),tana=cosa=20,2),即sina=2cosa,3,故选BA1,2B1,3C3D1,2,3装号【答案】C证准只由UB=1,2,可得B=3,4,5,所以AIB=3,故选C【答案】B【解析】因为a(,故a(
3、,3又sin2a+cos2a=1,解得sina=-61+2i(其中i为虚数单位,bR)的实部和虚部互为相反数,那么b等于(2如果复数2-bi)5在数列an中,若a1=1,an+1=2a+3(nN*),则an101=()卷33C2A-2B2【答案】AD2A2100-3B2101-3C2102-1D2102-3【答案】D1+2i=(2-bi)(1-2i)2-2b-(4+b)i2-2b(4+b)i【解析】2-bi(1+2i)(1-2i)=5-5,+3=2(a+3),aa+3=2,且a+3=4,名姓=此5【解析】Qan+1=2a+3,ann+1n+1n+3n1因为该复数的实部和虚部互为相反数,因此2-
4、2b=4+b,因此b=-2班部分关于正方形对边中点连线成轴对称,在正方形内随机一点,则此点取自黑色部分的概率是级3,故选A3如图,正方形ABCD内得图形来自宝马汽车车标的里面部分,正方形内切圆中黑色部分和白色()所以,数列a+3是以4为首项,以2为公比的等比数列,na+3=42n-1=2n+1,a=2n+1-3,nn因此,a=2102-3,故选D1016在ABC中,“cosAsinB”的()1A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】Q余弦函数y=cosx在区间(0,)上单调递减,且0A,0B,由cosAB,ab,由正弦定理可得sinAsinB,
5、因此,“cosAsinB”的充分必要条件,故选C7历史上有不少数学家都对圆周率作过研究,第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,开创了圆周率计算的几何方法,而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得p的近似值,他的方法被后人称为割圆术近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种p值的表达式纷纷出现,使得p值的计算精度也迅速增加华理斯在C若ma,nb,m/n,则abD若ma,nb,nm,则ab【答案】D【解析】对于A,若ma,na,则直线m,n可以平行,也可以异面,所以A错误;对于B,因为ab不一定能成立,所以当aIb=m,nb,nm时,na不
6、一定成立,所以B错误;对于C,若ma,nb,mn,则ab,或平面a与平面b相交,所以C错误;选项D:若ma,nb,nm,则ab成立,所以D正确故选D9已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与C相交于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若AB=6,则EM的长为()1655年求出一个公式:224466L2=133557L,根据该公式绘制出了估计圆周率p的近似值的A22B6C2D3程序框图,如下图所示,执行该程序框图,已知输出的T2.8,若判断框内填入的条件为km?,则正整数m的最小值是()【答案】B【解析】由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,并与y2=
7、4x联立,得y2-4my-4=0,设A(x,y),B(x,y1122),E(x,y),y001+y=4m,2()则y=0y+y122=2m,x0=2m2+1,E2m2+1,2m,又AB=x+x+2=m(y+y)+4=4m2+4=6,解得m2=1()()12122,线段AB的垂直平分线为y-2m=-mx-2m2-1,令y=0,得M2m2+3,0,从而ME=4+4m2=6,故选B10函数f(x)=(kx+4)lnx-x(x1),若f(x)0的解集为(s,t),且(s,t)中只有一个整数,则实数k的取值范围为()A13B1ln2-2,A2B3C4D5【答案】Bln2-2,14ln3-14ln3-31
8、3=C1ln3-,32ln2-1ln3-,32ln2-122【解析】初始:k=1,T=2,第一次循环:T=2832.8,k=3,此时T2.8,满足条件,结束循环,【答案】A【解析】令f(x)0,得到kx+4x所以判断框内填入的条件可以是k3?,所以正整数m的最小值是3,故选Blnx,lnx,则g(x)=8设m,n是不同的直线,a,b是不同的平面,则()A若ma,na,则m/nB若aIb=m,nb,nm,则na令g(x)=xlnx-1(lnx)2,2令g(x)0,解得xe;令g(x)0,解得1x3k+43ln2-20,b0)的左、右焦点分别为F、F,过F的直线l与C交于122uuuuruuuur
9、2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13某班有男生30人,女生20人,现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会,则抽到的女生人数为_3A,B(其中点A在x轴上方)两点,且满足AF=lFB若C的离心率为,直线l的倾斜角为22120,则实数l的值是_a2=40),则t=_0【答案】1得直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,设|FB|=k,则|AF|=lk根据双曲线定义,|FB|=2a+k,|AF|=2a+lk2211在AFF中,由余弦定理,得(2a+lk)2=(2c)2+(lk)2-22clkcos60;12在BFF中,由余弦定理,得(2a+k)2=(2c)2+k2-22ckc
10、os120,1242a+c=2+ca2+2(a2+c2-b2a2+c2-1c2-a2)2ac=22ac=2ac,-并整理,得l=2a-c2-c2-3a=2=1372代入上式并化简得a2+2b2-c2=0,所以cosB=31a2+c22又32a2c2=3ac,cosB三、解答题:本大题共6个大题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤12a2+2c22313ac322ac=2,当且仅当3sinAsinB,得2sinAcosC+sinB=0617(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c向量m=(2a,b),n=(1,-cosC),且mn(1)若A=30,求角C的值;(2)
11、求角B的最大值(【答案】1)120;(2)30(【解析】1)因为m=(2a,b),n=(1,-cosC),且mn,所以2a(-cosC)=b,即2acosC+b=0,由正弦定理a=b所以2sinAcosC+sin(A+C)=0,整理,得3sinAcosC+cosAsinC=0将A=30代入上式,得tanC=-3,又C(0,),所以C=120(2)方法一:由式,因为sinA0,sinB0,所以cosC90,cosA0,式两边同时除以cosAcosC,得3tanA+tanC=0,12a2=2c2,即c=3a时取等号,又B(0,),所以B的最大值为3018(12分)如图,在矩形ABCD中,CD=2,
12、BC=1,E,F是平面ABCD同一侧面点,EAFC,AEAB,EA=2,DE=5,FC=1(1)证明:平面CDF平面ADE;(2)求二面角E-BD-F的正弦值(【答案】1)证明见解析;(2)30(【解析】1)四边形ABCD是矩形,CDAD,AEAB,CDAB,故CDAE,又ADIAE=A,CD平面ADE,CD平面CDF,平面CDF平面ADEtanB=-tan(A+C)=-tanA+tanC=2tanAtanA-3tanA1-tanAtanC=-1+3tan2A1+3tan2A,(2)BC=1,EA=2,DE=5,23tanA=又1+3tan2A23tanA,tanB2tanA当且仅当3tanA
13、=1,即A=30时取等号,又B(0,),所以B的最大值为3033,DE2=AD2+AE2,AEAD,又AEAB,ABIAD=A,AE平面ABCD以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,方法二:由(1)知,2acosC+b=0,由余弦定理cosC=a2+b2-c22ab,55+则D(0,0,0),B(1,2,0),F(0,2,1),E(1,0,2),uuuruuurDB=(1,2,0),DF=(0,2,1),所以椭圆C的方程为x2y24=1设平面BDF的一个法向量m=(x,y,z),(2)因为原点与直线l1:y=kx+m的距离为1,令x=2,得m=(2,-1,2)mDB=0x+2
14、y=0由uuur2y+z=0cosm,n=mn6,sinm,n=30k2+1=1,即m=k2+1,设直线l2:y=kx+n,由x2y25+4=1()uuur,得mDF=0同理可求得平面BDE的一个法向量n=(2,-1,-1),36mn=36=6,所以my=kx+n因为直线l2与椭圆C相切,得4+5k2x2+10knx+5n2-20=0,6xOy中,已知椭圆C:x+y=1(ab0)的离心率为5,且左焦点F1到左准线的距离为4k2+1,2ABd,S=2AB1,所以l=S=1-n故二面角E-BD-F的正弦值为3019(12分)如图,在平面直角坐标系522a2b25所以=(-10kn)2-4(4+5k
15、2)(n2-20)=0,整理得n2=5k2+4,因为直线l1与直线l2之间的距离d=11所以S=12m-nm-n1=,Sk2+1mm2m-nm=n2又5k2+41k2+1=5-k2+1,4,5),因为k20,所以(1)求椭圆C的方程;n2m又O,M位于直线l1的两侧,所以m,n同号,所以nm2,5,所以1-m1,5-1,(2)若与原点距离为1的直线l1:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,直线l2与l1平行,且与椭圆C相切于点M(O,M位于直线l1的两侧)记MAB,OAB的面积分别为S1,S2,若)n)故实数l的取值范围为1,5-1S=lS,求实数l的取值范围12)5+4=1;(2)1,5-
16、1(【答案】1)x2y2)20(12分)某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间,随机选取了10天的数据,统计如下(单位:分钟):23,21,22,19,22,19,17,19,21,175,所以(【解析】1)因为椭圆C的离心率为5c5a=5,(1)若每天上学所花的时间X服从正态分布N(m,s2),用样本的平均数和标准差分别作为m和s的估计值又椭圆C的左焦点F到左准线的距离为4,所以-c-=4,c1所以a2=5,c2=1,b2=a2-c2=4,a2求m和s的值;若学校7点30分上课,该学生在7点04分到7点06分之间任意时刻从家出发,求该学生上学不迟到的概率的范围;6P2Y的数学期
17、望是E(Y)=02(2)在这10天中任取2天,记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y,求Y的分布列和数学期望附:若随机变量X服从正态分布N(m,s2),则P(m-sXm+s)=0.6826,2142742151545154545452142742112+1+2+3+4+5+6=151545154545454521(12分)已知函数f(x)=ex(a+lnx),其中aR10(23+21+22+19+22+19+17+19+21+17)=20,P(m-2sXm+2s)=0.9544,P(m-3sXm+3s)=0.9974(【答案】1)m=20,s=2;(0.9772,0.9987);(
18、2)分布列见解析,E(Y)=11245(【解析】1)样本的平均数为1样本的标准差为(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=-x垂直,求a的值;e(2)记f(x)的导函数为g(x),当a(0,ln2)时,证明:g(x)存在极小值点x0,且f(x0)0(【答案】1)0;(2)证明见解析【解析】(1)f(x)=ex(a+lnx)+ex1x=exa+110(23-20)2+2(21-20)2+2(22-20)2+3(19-20)2+2(17-20)2=2,依题意,有f(1)=e(a+1)=e,解得a=01x+lnx,(2)令g(x)=exa+1x+lnx,因此m=20,s=2学校7点30分上
19、课,若该学生7点04分准时从家出发,则该学生到达教室所花时间最多为26分2(1-P(m-3sXm+3s)x+lnx+ex-1g(x)=exa+1x2=exa+x2+lnxx-x钟,若该学生7点06分准时从家出发,则该学生到达教室所花时间最多为24分钟,由于P(X26)=P(X0,所以g(x)与a+21=1-(1-0.9974)=0.9987,2x-1x2+lnx同号,设h(x)=a+2+lnx,则h(x)=x-2x+2=x-x3x31P(X24)=P(Xm+2s)=1-(1-P(m-2sX0,故h(x)在(0,+)单调递增因为a(0,ln2),所以h(1)=a+10,h12=a+lnx,1,使
20、得h(x)=0故存在02(2)把该学生这10天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为17,17,19,19,19,21,21,22,22,23在这10天中任取2天,所花时间的差的绝对值为Y,则Y的可能值为0,1,2,3,4,5,6,10120,g(x)与g(x)在区间,1上的情况如下:P(Y=2)=C1C1+C1C1+C1C145,P(Y=3)=15,x12,x0x2且P(Y=0)=C2+C3+C2+C2=62C1C1+C1C162=,P(Y=1)=2221=,C24515C24515101014C1C162232321=32=C2C2451010120(x,1)0223P(Y=4)=C1C1+C1C1=C2107C1C1,P(Y=5)=22=45C2104C1C12,P(Y
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