函数展开成幂级数教学PPT学习教案

1、会计学1函数展开成幂级数教学函数展开成幂级数教学上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收存在幂级数在其收敛域内以敛域内以f(x)为和函为和函数数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?第1页/共27页证明证明即即内收敛于内收敛于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010 内具有任意阶导在如果函数定理oxUxf 1 的幂级数内能展开成且在数ooxxxU,0nnonxxax

2、f即 , 2 , 1 !10nxfnann则其系数且展开式是唯一的第2页/共27页 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数第3页/共27页问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定.nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点0

3、0 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数 . . 处任意阶可导则幂级数在点如果0 xxf 泰勒级数称为在点的000!nnnxxnxf定义定义第4页/共27页 0, 00,)(21xxexfx例如例如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麦氏级数为的麦氏级数为. 0)(),( xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见).()(,0 xfxfs于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,第5页/共27页定理定理 2 2 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xU 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xU

4、 内内0)(lim xRnn. .证明证明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 第6页/共27页充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于 对上有定义，在设定理, 0 30MxUxf MxfRxRxxn恒有,00 内可展在则，RxRxxfn00,),2 ,

5、 1 , 0(的泰勒级数开成点0 x泰勒级数的开成点0 x泰勒级数的开成点0 x第7页/共27页证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收敛收敛在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x),(00RxRxx 第8页/共27页1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区

6、间内收第9页/共27页例例1解解.)(展开成幂级数展开成幂级数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx第10页/共27页例例2.sin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n

7、)()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x第11页/共27页例例3.)()1()(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R第12页/共27页若若内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()

8、1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用第13页/共27页)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 第14页/共27页即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(

9、1 收收敛敛区区间间为为;1 , 1(11 收收敛敛区区间间为为.1 , 11 收收敛敛区区间间为为第15页/共27页有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘第16页/共27页2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式

10、求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn第17页/共27页 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn 1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x第18页/共27页例例4处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的幂级数的幂级数展开成展开成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x

11、第19页/共27页xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 第20页/共27页1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.第21页/共27页思考思考题题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？第22页/共27页思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法算或逐项求导、逐项积分等办

12、法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.第23页/共27页一一、 将将下下列列函函数数展展开开成成x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 将将函函数数3)(xxf 展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间 . .三三、 将将 函函 数数231)(2 xxxf展展 开开 成成)4( x的的 幂幂 级级数数 . .四四、 将将级级数数 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函数数展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数 . .练练 习习 题题第24页/共27页练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxn