第8章玻色统计和费米统计

1、第八章第八章 玻色统计与费米统计玻色统计与费米统计 当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。8.2 8.3 8.4 8.5 8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：取对数得：取对数得：1 llllle （8.1.1） 1lnln()llle （8.1

2、.2） 如果把如果把 、 和和y看作由实验确定的参量，系统的平均总粒子数看作由实验确定的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出可由下式给出1. 1. 玻色系统玻色系统 1lllllNae 1lnln()lllNe （8.1.3）内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值1lllllllUae 外界对系统的广义作用力外界对系统的广义作用力Y是是 的统计平均值的统计平均值 ly 类似地可将类似地可将U通过通过 表示表示ln （8.1.4） 1lnln()lllUe 1lllllllYayye 系统的平均总粒子数系统的平均总粒子数 可通过可通过 表示表示l

3、n N可将可将Y通过通过 ln表为表为 111lnln()lllYeyy （8.1.5） 上式的有一个重要特例是上式的有一个重要特例是 ln1VP（8.1.6） 由由(8.1.3)-(8.1.5)式得式得 lnlnln()()()dUYdydNddydy 函数，其全微分为函数，其全微分为 注意上面引入注意上面引入 ln的是的是 Y,lnlnlnlnddddyy 故有故有()(lnlnln)dUYdydNd （8.1.7） 上式指出上式指出 是是 NdYdydU的积分因子。的积分因子。 比较可知比较可知所以所以 (lnlnln)dSkd积分得积分得(lnlnln)(ln)SkkNU（8.1.9）

4、 将式将式(8.1.2)代入式代入式(8.1.9)，与式，与式(6.7.4)比较得比较得lnSk (8.1.10)式式(8.1.10)就是熟知的就是熟知的玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系，它给出熵与微观状态数的关系。，它给出熵与微观状态数的关系。 1kT kT （8.1.8）在热力学部分讲过在热力学部分讲过1()dUYdydNdST （1）和（）和（2）取对数）取对数 所以所以1(lnlnln)(ln)ln()()lnln() ln()ln lnln()ln()ln()ln()lnlnlnllllllllllllllllllllllllllllllllllSkkNUkeakaaa akaaaaakaa

5、aak （1） (2)证明证明1111lllllllllllllllllllllaaeeaaeaaeeaaa 1ln()lnln()lnln()llllllllaaea 对于费米系统，只要将巨配函数改为对于费米系统，只要将巨配函数改为1 llllle （8.1.12）其对数为其对数为1lnln()llle （8.1.13） 前面的讨论和有关公热力学量的统计表达式完全适用。前面的讨论和有关公热力学量的统计表达式完全适用。 如果要根据式（如果要根据式（8.1.12）或式（）或式（8.1.13）求巨配分函数的对数，需要知道粒子的）求巨配分函数的对数，需要知道粒子的 能级和简并度，并将求和计算出来。这

6、是玻色统计和费米统计热力学量的一般程序。能级和简并度，并将求和计算出来。这是玻色统计和费米统计热力学量的一般程序。 在本章将讨论具体的例子。在本章将讨论具体的例子。2.2.费米系统费米系统8.2 8.2 弱简并玻色气体和费米气体弱简并玻色气体和费米气体 在第七章说过，一般气体满足经典极限条件在第七章说过，一般气体满足经典极限条件 ，可以用玻耳兹曼分布处理。，可以用玻耳兹曼分布处理。 满足经典极限条件的气体称为非简并性气体。需要用玻色分布或费米分布讨论的气满足经典极限条件的气体称为非简并性气体。需要用玻色分布或费米分布讨论的气 体称为简并性气体。本节研究弱简并玻色气体和费米气体的特性。为了书写方

7、便，体称为简并性气体。本节研究弱简并玻色气体和费米气体的特性。为了书写方便， 我们将两种气体同时讨论。在有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的符我们将两种气体同时讨论。在有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的符 号适用于玻色气体。号适用于玻色气体。 1e 为了为了 简单起见，不考虑分子的内部结构，因此只有平动自由度。分子的能量为简单起见，不考虑分子的内部结构，因此只有平动自由度。分子的能量为 22212()xyzpppm （8.2.1） d在体积在体积V内，在内，在 到到 的能量范围内，分子可能的微观状态数为的能量范围内，分子可能的微观状态数为 3 21 2322/( )()VDd

8、gmdh （8.2.2） 其中是其中是g由粒子可能具有由粒子可能具有自旋自旋而引入的简并度。而引入的简并度。系统的总分子数满足系统的总分子数满足1 23 230221/()VdNgmhe (8.2.3) 式式(8.2.3)确定拉氏乘子确定拉氏乘子 系统的内能为系统的内能为 (8.2.4) 3 23 230221/()VdUgmhe 引入变量引入变量 ， 将上述两式改写为将上述两式改写为 x1 23 230221/()xVxdxNgmkThe (8.2.3) 3 23 230221/()xVxdxUgmkTkThe (8.2.4) 两式被积函数的分母表示为两式被积函数的分母表示为1111 ()x

9、xxeee 在在 的情形下，的情形下， 是一个小量，可将是一个小量，可将 展开，只取头两项得展开，只取头两项得1e xe 11xe 11111()()xxxxxeeeee （8.2.5） 保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布。现在保留两项，相当保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布。现在保留两项，相当 于弱简并的情形。于弱简并的情形。将式将式(8.2.5)代入式代入式(8.2.3)和和(8.2.4)，将积分求出，得，将积分求出，得3 223 22112/()mkTNgVeeh (8.2.6) 3 225 2321122/()mkTUgVkTeeh (8.2.7)在在

10、的情形下，的情形下， 是一个小量，可将是一个小量，可将 展开，只取头两项得展开，只取头两项得1e xe 11xe 3 223 22112/()mkTNgVeeh (8.2.6) 1 23 230221/()xVxdxNgmkThe 21 21 221 21 2200001 21 223 2001 230111111122212/()/()()()()()()xxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeexdxexeeedxexedxexedxeexedxexedxexedx 1 2203 23 2131112222/ ( )xexedxeeee (8.2.3) 代入代入 (8.2.3)得得

11、8.2.6式计算过程在在 的情形下，的情形下， 是一个小量，可将是一个小量，可将 展开，只取头两项得展开，只取头两项得1e xe 11xe (8.2.7) 23 23 223 23 2200003 23 225 2003 250111111122212/()/()()()()()()xxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeexdxexeeedxexedxexedxeexedxexedxexedx 3 2205 25 21513112222 2/ ( )xexedxeeee (8.2.4) 代入代入 (8.2.4)得得 3 225 2321122/()mkTUgVkTeeh 3 23 23

12、0221/()xVxdxUgmkTkThe 8.2.7式计算过程两式相除两式相除(8.2.7)/(8.2.6)，得，得3 25 2311311122224 2/()UNkTeNkTe由于由于 ，可将上式第二项中的，可将上式第二项中的 用用0级近似，即用玻耳兹曼分布的结果级近似，即用玻耳兹曼分布的结果1e e23 212/()NheVmkTg 代入而得代入而得23 23111224 2/()NhUNkTg VmkT （8.2.8） 上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理 引起的粒子统计关联所导致的附

13、加内能。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。不过值得注引起的粒子统计关联所导致的附加内能。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。不过值得注意，费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。可以认为，粒子的统计关联使费米意，费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。可以认为，粒子的统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。积分积分 的计算的计算1 202 61212/.xxdxe 1 21 21 200001 211 201001 21 23 211001 23 21011112 6122/()/.xx

14、kxxxkkxkxkkkxykkykxdxxedxxeedxeexedxxedxxedxyedykyedyk 1110011( )nnyxnkxdxI nyedyek 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚本节讨论简并理想玻色气体在动量空间的凝聚问题。本节讨论简并理想玻色气体在动量空间的凝聚问题。 为明确起见，设粒子自旋为零，根据玻色分布，处在能级为明确起见，设粒子自旋为零，根据玻色分布，处在能级 的粒子数为的粒子数为l 1lllkTae （8.3.1） 显然，处在任一个能级的粒子都不能取负值。从式显然，处在任一个能级的粒子都不能取负值。从式(8.3.1)可看出，这可看出，这要求对要求对

15、所以能级所以能级 均有均有 。以。以 表粒子的最低能级，这个要表粒子的最低能级，这个要求也可以表达为求也可以表达为 l 1lkTe 0 0 （8.3.2） 这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能级的零点即果取最低能级为能级的零点即 ，则式（，则式（8.4.2）可以表为）可以表为00 0 （8.3.3） 化学势化学势 由公式由公式 11lllkTNnVVe （8.3.4） l l 确定为温度确定为温度T及粒子数密度及粒子数密度n=N/V的函数。注意的函数。注意 和和 都与都与温度无关。在粒子数密度温

16、度无关。在粒子数密度n给定的情形下，温度越低由式给定的情形下，温度越低由式(8.3.4)确定确定的的 值必然越高。如果将式值必然越高。如果将式(8.3.4)的求和用积分代替，可将之表的求和用积分代替，可将之表达为达为1 23 230221/()kTdmnhe （8.3.5） 其中用了其中用了3122322( )()VDdmdh 化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度T时，时， 将将趋于趋于-0。这时。这时 趋于趋于1。临界温度。临界温度Tc由下式定出由下式定出 ckTe 1 23 230221/()ckTdmnhe （8.3.6）

17、令令 ，式，式(8.3.6)可表为可表为/cxkT 1 23 230221/()CxxdxmkTnhe （8.3.7） 积分积分1 202 61212/.xxdxe 因此对给定的粒子数密度因此对给定的粒子数密度n，临界温度为，临界温度为Tc。22 32 322 612/( )( .)CTnmk （8.3.8） 化学势既随温度的降低而升高，当温度降到化学势既随温度的降低而升高，当温度降到临界温度临界温度TcTc以下时以下时， 将将趋于趋于-0。处在能级处在能级0的粒子数将是很大的数值，不可忽略。应该将的粒子数将是很大的数值，不可忽略。应该将（8.3.5）改写为改写为 1 23 2030221/(

18、 )()lkTdn Tmnhe （8.3.9） 令令 ，式，式(8.3.9)可表为可表为/xkT 1 23 230221/()CxxdxmkTnhe （8.3.7） 积分积分3 23 20011/(/)/( )(/)CCT Tnnn TnT T （8.3.11）1 23 2030221/()xxdxmkTnnhe （8.3.9） （8.3.9）/（8.3.7） 由此可见，在由此可见，在Tc以下以下n0与与n有相同的数量级，有相同的数量级， n0与温度的变化如图与温度的变化如图8.1所示所示3 201/( )(/)Cn TnT T 我们知道，在绝对零度以下粒子将尽可能占我们知道，在绝对零度以下粒

19、子将尽可能占据能量最低的状态。对于玻色粒子，一个量子态据能量最低的状态。对于玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此绝对零度下所能容纳的粒子数目不受限制，因此绝对零度下玻色粒子将全部处在玻色粒子将全部处在0的最低能级。式（的最低能级。式（8.3.11）表明，在表明，在TTcTTc时就有宏观量级的粒子在能级时就有宏观量级的粒子在能级0凝聚。这一现象称为玻色爱因斯坦凝聚，简称凝聚。这一现象称为玻色爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。玻色凝聚。TcTc被称为凝聚温度。凝聚在被称为凝聚温度。凝聚在 0 0的粒子集的粒子集合称为玻色凝聚体。合称为玻色凝聚体。 3 201/( )(/)Cn TnT T

20、出现玻色爱因斯坦凝聚现象时的内能和热容量出现玻色爱因斯坦凝聚现象时的内能和热容量 在在TTcT00的粒子能量的统计平均值：的粒子能量的统计平均值： 3 23 23 23 25 233001 23 2303 21 23 2003 23 23142222211221111 3412 6120 77/()()()()()()(.) (.).()kTxCxxxCCCVVxUmdmkTdxhehexdxnmkTheUTxxdxVkTdxeenTTTUnVkTNkTTT （8.3.7）（8.3.12）出现玻色爱因斯坦凝聚现象时的内能和热容量出现玻色爱因斯坦凝聚现象时的内能和热容量 在在TTcT00的粒子能

21、量的统计平均值：的粒子能量的统计平均值： 3 23 20 771 925.()().()CVVCTUNkTTUTCNkTT （8.3.12）（8.3.13）讨论：讨论： 式（式（8.3.138.3.13）指出，在）指出，在TTcTTc时理想玻色气体的时理想玻色气体的C CV V与与T T3/23/2成正比，到成正比，到T=TcT=Tc时达到极值时达到极值C CV V =1.925Nk =1.925Nk，高温时，高温时C CV V趋趋于经典值于经典值3Nk/23Nk/2。详细的计算表明，。详细的计算表明，C CV V随随温度温度的变化如图的变化如图8.28.2所示。在所示。在T=TcT=Tc的尖

22、峰处连续，但的尖峰处连续，但C CV V对对T T的偏导数存在突的偏导数存在突变。变。 8.4 8.4 光子气体光子气体 在第二章曾根据热力学理论论证过，平衡辐射在第二章曾根据热力学理论论证过，平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关，的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关，并证明了内能密度与绝对温度的四次方成正比。在并证明了内能密度与绝对温度的四次方成正比。在7.4又根据经典统计的能量均分定理讨论过这一问又根据经典统计的能量均分定理讨论过这一问题，所得内能的频率分布在低频范围与实验符合，题，所得内能的频率分布在低频范围与实验符合，在高频范围与实验不符合。更为严重的是，根据能在高

23、频范围与实验不符合。更为严重的是，根据能量均分定理有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量均分定理有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的，与实际不符。量是发散的，与实际不符。 本节根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。据粒子观点，可以把本节根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。据粒子观点，可以把 空窖的辐射场看作光子气体。如空窖的辐射场看作光子气体。如6.2所述，具有一定的波矢所述，具有一定的波矢k和圆和圆 频率的单色平频率的单色平面波与具有一系的光子相应，动量面波与具有一系的光子相应，动量p与波矢与波矢k，能量，能量 与圆频率与圆频率 之间遵从德布罗之间遵从德布罗意关系意关系kp（8.4.1） 考虑到式考虑到式(7.4.13)即，得即，得cp（8.4.2）这是光子的能量动量关系。这是光子的能量动量关系。 光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于窖壁不断发射和吸收光子光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分