基本要求-控制系统数学模型

1、航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章 控制系统数学模型航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型2-1 概述概述一一.数学模型数学模型n1.定义：描述控制系统内部物理量定义：描述控制系统内部物理量(或变量或变量)之间关系的数学表达式。之间关系的数学表达式。静态数学模型静态数学模型; ;动动态数学模型态数学模型; ;n建立数学模型是分析和设计自动控制系统的建立数学模型是分析和设计自动控制系统的首要任务。首要任务。航

2、空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处另一个原因：许多表面上看毫无共同之处的控制系统，其运动规律具有相似性，可的控制系统，其运动规律具有相似性，可以用相同形式的数学模型表示。以用相同形式的数学模型表示。n2.为什么要建立数学模型：为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，还要从理论上对系统运动过程是不够的，还要从理论上对系统性能进行定量的分析和计算。性能进行定量的分析和计算。航空工程学院航空工程实验

3、中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 3.表示形式表示形式 a.时域时域:微分微分差分差分状态状态方程方程 b.复域复域:传递函数传递函数结构图结构图 c.频域频域:频率特性频率特性 三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型n4.建立方法建立方法 a.分析法分析法 根据支配系统的内在的运动规律以及系统根

4、据支配系统的内在的运动规律以及系统的结构和参数，列写相应的运动方程，建的结构和参数，列写相应的运动方程，建立数学模型。立数学模型。b.工程实验法工程实验法 给系统施加激励信号给系统施加激励信号,记录系统的输出响记录系统的输出响应，用适当的数学模型逼近从而建立系应，用适当的数学模型逼近从而建立系统的数学模型。统的数学模型。航空工程学院电子信息工程教研室航空工程学院电子信息工程教研室自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型二二.线性系统线性系统n1.定义：用线性微分方程描述的元件或系统。定义：用线性微分方程描述的元件或系统。 设元件输入为设元件输入为 时，时，对应的

5、输出为对应的输出为12( ),( ),( )c t c t c t 当当r（t）=r1（t）+r2（t）时，）时， c（t）=c1（t）+c2（t） 满足迭加性满足迭加性 当当r（t）=Ar1（t）时，）时， c（t）=Ac1（t） 满足齐次性满足齐次性叠加原理：具有迭加性和均匀性叠加原理：具有迭加性和均匀性(齐次性齐次性)。12( ), ( ),( )r t r t r t航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 2.特点：线性性质应用。特点：线性性质应用。 迭加性的应用迭加性的应用 欲求系统在几个输入信

6、号和干扰信号同欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。单独求响应，然后加起来就是总响应。 齐次性表明齐次性表明 当外作用的数值增大若干倍时，其响应的当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析单位斜坡等）对系统进行分析简化了简化了问题。问题。航空工程学院电子信息工程教研室航空工程学院电子信息工程教研室自动控制原理自动控制原理第二章控制系

7、统的数学模型第二章控制系统的数学模型线性连续系统微分方程的一般形式线性连续系统微分方程的一般形式定常系统：系数为常数定常系统：系数为常数 时变系统时变系统线性系统：满足齐次性和叠加性线性系统：满足齐次性和叠加性1110111101( )( )( ).( )( )( )( ).( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型2-2 微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化一一.

8、微分方程的建立微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型，微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。分方程。 一个控制系统由若干具有不同功能的元一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。得控制系统总的输入和输出的微分方程。航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理

9、自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 例例1.弹簧弹簧-质量质量-阻尼器机械位移系统。求阻尼器机械位移系统。求m在外力在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。作用下，物体的运动轨迹。 mkF(t)x(t)阻尼系数f阻尼器弹簧航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型首先确定：输入首先确定：输入F(t),输出输出x(t)其次：依据元件运动规律其次：依据元件运动规律1.牛顿第二定律牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三

10、定律牛顿第三定律 作用力等于反作用力作用力等于反作用力 (这里不考虑重力的影响这里不考虑重力的影响)maFtx fFtkxF而)()(21mF1(弹簧的拉力弹簧的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型)()()()()()(21txmtx ftkxtFmaFFtFtxa 代入上式得)()()()(tFtkxtx ftxm 微分方程的标准形式微分方程的标准形式:1、与输入量有关的项写在方程的右端；、与输入量有关的项写在方程的右端；2、与输出量有关的项写在方程

11、的左端；、与输出量有关的项写在方程的左端；3、方成两端变量的导数项均按降幂排列、方成两端变量的导数项均按降幂排列航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型电气系统三元件（知识补充）电气系统三元件（知识补充）电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型例题例题2 RC电网络建模电网络建模航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二

12、章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 例例2（变化变化1）RL电路：研究在输入电压电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容电压作用下，电容电压uL(t)的变化。的变化。 tutRituLr)()(dttdiLtuL)()( tudttuLRtuLLr1)()()(1)(sUsULsRsULLrLsRLsLsRsUsUrL11)()(航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 例例2（变化（变化3）RLC电路：研究在输入电电路：研究在输入电压压ur(t)作用下，电容电压作用下，电容电压uc(t)的变化

13、。的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)()()()(tudttdiLtritucr)()()()(22tudttudLCdttdurCtuCCCrdttduCtiC)()(dttiCtuC)(1)()()()()(2sUsULCssRCsUsUcccr11)()(2RCsLCssUsUrc航空工程学院电子信息工程教研室航空工程学院电子信息工程教研室自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型)()()()(tututurCtuLCrCCC 这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，机械平

14、移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。可用相同的数学模型来描述。比较：电路系统微分方程比较：电路系统微分方程)()()()(tFtkxtx ftxm 上题机械平移系统的微分方程上题机械平移系统的微分方程航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型综上所述综上所述,列写元件微分方程的步骤如下列写元件微分方程的步骤如下:1)在条件许可下适当简化，忽略一些次要在条件许可下适当简化，忽略一些次要因素；因素；2)根据元件

15、的工作原理及其在控制系统中根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用的作用,确定其输入量和输出量确定其输入量和输出量;3)分析元件工作中所遵循的物理或化学规分析元件工作中所遵循的物理或化学规律律,列写相应的微分方程列写相应的微分方程;4)消去中间变量消去中间变量,得到输出量与输入量之间得到输出量与输入量之间关系的微分方程。关系的微分方程。5)将微分方程写成标准形式。将微分方程写成标准形式。航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型考虑两个模块是串联关系，总体传递函数是两考虑两个模块是串联关系，总体传递函数是两个

16、模块传递函数相乘就可以了个模块传递函数相乘就可以了11)()()(RCssUsUsGrc单个模块单个模块1)(1)()(22211122121sCRCRCRsCCRRsUsUrc题目变种题目变种2，寻求新解法（，寻求新解法（不考虑负载效应不考虑负载效应）航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型上述公式的对应拉普拉斯变换上述公式的对应拉普拉斯变换ieiRdtC11211i -i1题目变种题目变种2，寻求新解法（，寻求新解法（考虑负载响应考虑负载响应）0i1i -i12222121dtCiRdtC022i1ed

17、tC)()()()(111211sEsIRsIsIsCi0)(1)()()(12222121sIsCsIRsIsIsC)()(1022sEsIsC航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型)()(11)(11sUsIcsRcsRsUcr2)()(RsUcsICsRRRRCsRRsUsUrc212112)1 ()()(联立，可解得：联立，可解得： rrccuCRdtduuRCRRRdtdu121211微分方程为微分方程为: 题目变种题目变种3，寻求新解法，寻求新解法航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工

18、程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型P36例子例子2-8 电机控制系统电机控制系统 装在定子中的激磁绕组加有恒定的直流电装在定子中的激磁绕组加有恒定的直流电压压 ，用来建立恒定的磁场，用来建立恒定的磁场 ，装在转，装在转子上的电枢绕组加有可变的控制电压，从子上的电枢绕组加有可变的控制电压，从而产生控制电流而产生控制电流 ，载流导体在恒定磁场，载流导体在恒定磁场中会产生电磁转矩中会产生电磁转矩 .该转矩与电枢电流该转矩与电枢电流成正比。成正比。fuauaimMm负载Z1Z2LaRa-+Eb+-SMJLfLuaif+-航空工程学院航空工程实验中心航空工

19、程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 为转矩系数（牛为转矩系数（牛米米/安安）, 由于电动机是带动减速器和由于电动机是带动减速器和负载一起转动的，因此列写电动机的运动方程时，必须考负载一起转动的，因此列写电动机的运动方程时，必须考虑减速器，负载的转动惯量和粘性摩擦的影响。虑减速器，负载的转动惯量和粘性摩擦的影响。 电机轴上力矩平衡方程式（不考虑负载转矩）电机轴上力矩平衡方程式（不考虑负载转矩） )()(tiCtMammmCdttdfdttdJtMmmm)()()(22J是电机转子的转动惯量同减速器、负载的转动惯量折算的是电机转子的转动惯

20、量同减速器、负载的转动惯量折算的等效转动惯量。等效转动惯量。 f是电机转子的粘性摩擦系数是电机转子的粘性摩擦系数+减速器、负载的粘性摩擦系减速器、负载的粘性摩擦系数折算的等效粘性摩擦系数。数折算的等效粘性摩擦系数。电磁转矩电磁转矩 与电枢电流成正比。与电枢电流成正比。航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 电枢是一个载流导体，转子旋转时切割了定子磁场电枢是一个载流导体，转子旋转时切割了定子磁场的磁力线，于是电枢中就会产生感应电势的磁力线，于是电枢中就会产生感应电势Eb，因为，因为与电枢电压方向相反，故称为

21、反向电势，它与电机与电枢电压方向相反，故称为反向电势，它与电机的转速成正比。的转速成正比。dttdktEmbb)()(kb是反电势系数（伏是反电势系数（伏/（弧度（弧度/秒）秒）航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型设电枢绕组的电阻和电感分别为设电枢绕组的电阻和电感分别为Ra和和La，根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡方程式为方程式为通常通常La很小，可以忽略不计很小，可以忽略不计,那么那么)()()()(tEtiRdttdiLtubaaaaa)()()(tEtiRt

22、ubaaa航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型代入式：代入式：得到：得到：mmaCtMti)()(dttdfdttdJtMmmm)()()(22dttdktEmbb)()()()()(22tudttdkdtdCfRdttdCJRambmmamma航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型令令 为直流电动机的传递系数为直流电动机的传递系数 为直流电动机的时间常为直流电动机的时间常数数 所以直流电机的运动方程为所以直流电机

23、的运动方程为 )()()()(22tuCdttdCkfRdttdJRammmbbmambammCkfRCkmbaamCkfRJRT)()()(22tuKdttddttdTammmm航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 如果电枢电阻如果电枢电阻Ra和电机转动惯量和电机转动惯量J都很小都很小,课简化为课简化为)()()(22tuKdttddttdTammmmmbaamCkfRJRT 这说明电机转速与电枢电压成正比，这样电动机（这说明电机转速与电枢电压成正比，这样电动机（ Ra和和J都很小）都可以做为趁测速发

24、电机使用，这都很小）都可以做为趁测速发电机使用，这就是测速发电机工作原理就是测速发电机工作原理航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型 对比本对比本PPT结论，你发现与教材例子结论，你发现与教材例子2-8区别在哪里区别在哪里 例子例子2-8考虑的负载总转矩考虑的负载总转矩Mc，而上述没有考虑。，而上述没有考虑。航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型二二.非线性元件的线性化非线性元件的线性化 几乎所有元件或系统的运动方程

25、都是非线性方程。几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性化，就可以应用迭加原理。线性化，就可以应用迭加原理。 1.几种常见的非线性几种常见的非线性000输入输出输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮）航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；有条件存在，只在一定的工作范围内

26、具有线性特性；2.2.22.2.2 线性化问题的提出线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。分析和设计。线性系统缺点：线性系统缺点：线性系统优点：线性系统优点：线性化定义线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。航空工程学院航空工程实验中心航空工程学院航空工程实验中心自动控制原理自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型n2.线性化的方法线性化的方法 （1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性 因素较弱或者不在系统线性工作范围内，因素较弱或者不在系统线性工作范围内， 则它们对系统的影响很小，