第三章量子力学初步

1、第三章第三章 量子力学初步量子力学初步 1、微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性 2 2 、测不准原理、测不准原理 3、波函数及其物理意义、波函数及其物理意义 4、薛、薛定谔波动方程定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述、量子力学对氢原子的描述1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态3.1 微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性一、光的波粒二象性一、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 20

2、世纪初，光量子 hphE -光的波粒二象性 ,E Pv二、德布罗意关系式二、德布罗意关系式 微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：EknhphE hp -德布罗意关系式。与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。德布罗意关系式还可以写成 式中， ：角频率； ：传播方向上的单位矢量2n适用条件：适用条件：(1)(1)电子，电子，(2)(2)非相对论非相对论(U(U不能太大不能太大) )。 220/1cmmm1eUm221)(225. 12/2VUnmemUhmeUmhnk2

3、sJh3410054588. 12：波矢量mhph粒子的德布罗意波长：1当 时，2当 时， omm经过电场加速的电子： cc三、德布罗意假设的实验验证三、德布罗意假设的实验验证 1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。1实验装置 2实验结果实验结果(1)当U不变时，I与的关系如图不同的，I不同；在有的上将出现极值。(2)当不变时，I与U的关系如图当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化3实验解释 晶体结构：当 时加强-布拉格公式。 ndsin22)12(sin2nnd波程差：实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。并进一步证明：一切

4、实物粒子(电子、中子、质子等都具有波动性。 )(225. 1VUnm2 , 1n 可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。 对于通过电压U加速的电子：当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值 当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值。观测到的量子围栏量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie-1993 3.2 测不准原测不准原理理2dx sinppxppxsinxd2sinxppx2hppxx22/hpxx一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)sind电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：hpx方

5、向上，粒子坐标的不确定度为又粒子动量的不确定度为 2/hpxx狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。0 xxp/ 2xxph 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：2/xpx2/ypy2/zpz2/p2/tE二、不确定关系二、不确定关系三、讨论三、讨论1不确定关系只适用于微观粒子不确定关系只适用于微观粒子 2例1： 设电子与 的子弹均沿x方向运动， ， 精

6、确度为 ，求测定x 坐标所能达到的最大准确度。kgm01. 0smx/500%01. 0smsmx/105/10500242/xpxxxmpx/电子：子弹：mmx3 . 2mx31101 . 22/tE0.00.51.01.52.0051015202530 Intensity (arb.units)Time (ms)0.00.51.01.52.0051015202530 Intensity (arb.units)Time (ms)3.3 波函数及其物理意义波函数及其物理意义时间后，波面传到AB，其上任一点P的振动和时间前AB上任一点O的振动相同： 2costao一、波函数一、波函数自由粒子 平

7、面波设一平面波沿速度 的方向传播，该方向的单位矢量为 ，即 ， 时刻，波面AB上O点的振动：vnvvntnrrcosOPr ) t (2cosnra) t (2nripAe沿 方向传播的、波长为、频率为的平面简谐波方程。)(2costap欧拉公式： 取“”cossiniein用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：hE nhp)(prEtipAe 自由粒子的波函数，描写动量为自由粒子的波函数，描写动量为 、能量为、能量为E E的自由粒子。的自由粒子。p经典力学经典力学 位置和速度位置和速度 量子力学量子力学 波函数波函数波函数体现了波粒二象性，其中的波函数体现了波粒二象性，其中的E E和和

8、是描写粒子性是描写粒子性的物理量，却处在一个描写波的函数中。的物理量，却处在一个描写波的函数中。p 二、波函数的统计解释二、波函数的统计解释电子衍射的强度分布图 用粒子的观点，极大值处用粒子的观点，极大值处意味着到达的电子多，极小意味着到达的电子多，极小值处意味着到达的电子少。值处意味着到达的电子少。 从波的观点来看，极大值处从波的观点来看，极大值处表示波的强度大，极小值处表示波的强度大，极小值处表示波的强度小。表示波的强度小。 玻恩的观点就能将粒子和玻恩的观点就能将粒子和波的概念统一起来。波的概念统一起来。波函波函数数代表发现粒子的几率代表发现粒子的几率 干涉图像的出现体现了干涉图像的出现体

9、现了微观粒子的共同特性，而且微观粒子的共同特性，而且它并不是由微观粒子相互作它并不是由微观粒子相互作用产生的而是个别微观粒子用产生的而是个别微观粒子属性的集体贡献属性的集体贡献 表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积内发现粒子的几率。 2),(tzyx 即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现电子的几率密度。如果 大，则电子出现几率大，因而电子出现的目也多，此处为衍射极大值处；反之，如果 小，则电子出现几率小，电子出现的数目也少，此处为衍射极小值处。 2),(tzyx2),(tzyx2),(tzyxt时刻、xx+dx、yy+dy、zz+dz、的体元 内发现粒子的几率：dxdydzdV dVt

10、zyxtzyxdW2),(),(*),(2tzyxW 表示t时刻、（x、y、z）处发现粒子的几率密度。1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验讨讨 论论 2归一化条件由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的总几率应当为1：1),(2dVtzyx三、波函数的标准条件及归一化三、波函数的标准条件及归一化1波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。STM 观测到的量子围栏量子围栏（quantum corral） M

11、.F.Crommie-1993 对x、y、z分别求二次偏导：)()(zyxzpypxpEtiprEtipAeAeppEitppEtipxppixpxpxppxpix2222pyppiypypyppypiy2222pzppizpzpzppxpiz22225.4 薛定谔薛定谔波动波动方程方程一、薛定谔方程的建立一、薛定谔方程的建立1自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程对t求一次偏导：自由粒子的薛定谔方程。 pzyxppppppzyx)(122222222222222222zyxppp22222122pEpppE22ppti222三者相加：拉普拉斯算符：自由粒子: ),(22trUpE则有： 处

12、在以势能表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程),(222trUti2一般粒子的薛定谔方程一般粒子的薛定谔方程222pEhv),tr（),tr（),( trUF一般粒子常受到力场的约束，用 表示力场，则粒子在力场中受到的力为： ，假设假设处于这种处于这种力场中的微观粒子的波函数为力场中的微观粒子的波函数为 ，假设 仍满足方程： 但此时 ,Ur tEti),(22trUpEE为一常数)(222rUti)()(),(tfrtrErrUrdttdftfi)()(2)(1)()(22)()()(222rErrU)(rU二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程能量不随时间变化的状态称为定态

13、。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能 中不显含时间t，将其代入方程：波函数分离变量： )()(tEfdttdfiEdtitftdf)()(Etiertr)(),()(*)()(*)(),(*),(rrerertrtrEtiEtiEtiCetf)(解出：定态波函数1定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量2定态中粒子的几率密度不随时间变化)()()(222rErrU3 定态薛定谔方程)()(zyxzpypxpEtiprEtipAeAennnc如果 、是方程的解，那么它们的的线性组合 也是方程的解， 为任意常数。即如果 、是体系可能的状态，那么它们的的线性组合 也是体系一个可能的状态 n2nn

14、nnncccc2211ic12n14态迭加原理),(trU3具体的势场 决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数 的具体形式，只要我们知道了微观粒),(trU三、薛定谔方程的讨论三、薛定谔方程的讨论ttr),(),(trU),(tr1薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 在势场 中随时间变化 的规律。2薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。 子初始时刻的状态 。原则上说，只要通过薛原则上说，只要通过薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 。),(tr),(00tr5在薛定谔方程的建立中，应用了

15、 ，所 ),(22trUpE2),(tr),(tr),( tr4薛定谔方程中有虚数单位i，所以 一般是复数形式。 表示概率波， 是表示粒子在时刻t、在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态随时间变化的规律，是一种统计规律。以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 的粒子，这是方程的局限性。0例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？ 0)(xUaxxax, 00 222dxd解：由于粒子做一维运动，所以有 )(xU 由于势能中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。Etiextx)(),(方程的解为

16、定态解)()()()(2222xExxUdxxd因此一维定态薛定谔方程为axx , 0U0)(xaxx , 0(1) 所以波函数为零，即粒子不可能跑到阱外去，ax 00UEdxd2222(2) 时， ， 方程为2222Edxd22EK0222Kdxd 令 0cossin)(KxBKxAxaxxax, 00二阶齐次微分方程，它的通解为KxBKxAxcossin)(式中A、B为两常数。 )()()()(2222xExxUdxxd2常数的确定及能量量子化根据波函数的标准条件，波函数应连续，0 x00cos) 0( B0B ax 0sin)(KaAa0A0sinKanKa 3 , 2 , 1n0n，(

17、 ？)xanAxsin)(0n0)(x当时，表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。0cossin)(KxBKxAx波函数的归一化： 0sin2)(xanaxaxxax, 00 aA2122aAdxxanAdxa0222sin1 22EanKanE2222 能量是量子化的 3讨论讨论(1)能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中的粒子的能量是量子的。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假定。(2)波函数的物理意义处在不同能级的粒子，在势阱中的几率分布不同。(3)实际意义：金属内的自由电子，可看成在势阱中运动的粒子。 例2 势垒贯穿势垒贯穿粒子受到的势能为： 00)

18、(1UxU22110 xxxxxxx1UE 计算粒子在三个区出现的几率。粒子具有的能量为E，123 解：设粒子在I、II、III区的波函数分别为 ，它们满足的薛定谔方程为：122122Edxd221222)(2EUdxd322322Edxd 2212EK2122)(2EUK令 121212Kdxd222222Kdxd323232Kdxd 方程的解为：)sin(1111xKAxKeB222)sin(3133xKA根据波函数的连续条件和归一化条件可以确定常数，结果如图： 1UE 可见，虽然， 粒子仍可以穿过II区进入III区，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。粒子从I区到III区的几率为DEUe)(

19、221EUxxD112 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling MicroscopySTM)STM原理原理 . 0.1nm, 0.01nm)exp(2/1SAVIT1986年，宾尼博士和罗雷尔与发明电子显微镜的鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。 5.5 氢原子的量子力学处理氢原子的量子力学处理一、氢原子的薛定谔方程一、氢原子的薛定谔方程电子在原子核的库仑场中运动： reU024定态薛定谔方程： )()(420222rErre氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系： cossinrx sinsinry cosrz )(1222rrrr)(sinsin12r2222sin1r氢

20、原子在球坐标下的定态薛定谔方程： )(12222rrrr)(sinsin12rsin12222rEre024),(r二、分离变量二、分离变量1 ),()(),(YrRr代入方程，并用 乘以两边： ),()(/2YrRr2202222422)(1rrerEdrdRrdrdRsin1)(sinsin11222YYY是一个与 无关的常数。 , r径向方程径向方程：0422)(12202222RrRreREdrdRrdrdr角方程角方程：YYY222sin1)(sinsin12 )()(),(YYYY222sin1)(sinsin1代入方程，并 用乘以两边： )()(/sin22221sin)(sin

21、sinddddd是一个与 无关的常数。 ,0)sin()(sinsin12dddd022d三、 三方程的解R,1 方程的解022d2m0222md方程的解为：imAe)(波函数单值： )2()(2)2(imimimimeAeAeAe12sin2cos2mimeim3, 2, 1, 0m波函数归一化：12*220220AdAd21Aime21)(3, 2, 1, 0m2 方程的解0)sin()(sinsin122mdddd关联勒让德方程。求解过程中发现，为了得到符合波函数标准条件的解，必须对 和 加以限制：m) 1( ll3 , 2 , 1 , 0lml 3, 2, 1, 0m方程的解为关联勒让

22、德多项式： )(cos)(mllmlmPB3 , 2 , 1 , 0l3, 2, 1, 0m)!(2) 12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxdxdxlxP) 1()1 (!21)(222cosx)(cos)(mllmlmPB)!(2) 12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxdxdxlxP) 1()1 (!21)(2220l2100B0m100P21001l1m2310Bcos01Pcos23101l0m4311Bsin11Psin43112l0m2520B) 1cos3(21202P) 1cos3(852203 方程的解R0) 1()4(2)(1202222RrllreE

23、drdRrdrdr关联拉盖尔方程，方程的解为关联拉盖尔多项式)()(1212lnlnlnlLeCR02nar102112!)!12()!1()!() 1()(lnkkkllnkklklnlnL330)!(2)!1()2(lnnlnnaCnl3 , 2 , 1n12 , 1 , 0nl22004mea 玻尔半径只要给出了 、 的一对具体的数值，就可以得到一个満足标准条件的解。 nl四、四、H原子的波函数原子的波函数)()()(),(,mlnlnmlnrRr3 , 2 , 1n12 , 1 , 0nllm3, 2, 1, 0对应一组量子数 ，就能给出 波函数的一个具体形式，因此 确定了原子的状态。

24、mln ,),(,rmlnmln ,当 时， 取任何值都能使R满足标准条件的 解。所以正值的能量是连续的，相当于自由电子 与H+离子结合为原子时释放的能量。 0EE5.6 量子力学对氢原子运动状态的描量子力学对氢原子运动状态的描绘绘mln ,一、量子数 的物理意义n1主量子数 与能量量子化0E224202)4(1nmeEn3 , 2 , 1n当 时， 能量是量子化的，自然得出。 2角量子数 和角动量角子化 角动量是量子化的，自然得出。 旧量子论： 当角动量很大时， ， ，二者一致， 所以玻尔理论给出了近似的结果。l) 1( llL12 , 1 , 0nlnp nn2 , 11 ll) 1( l

25、L 3磁量子数 m 和空间量子化 个 角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间取 向量子化，自然得出。lzmL lml2, 1, 012 l由于薛定谔方程是非相对论的，没有导出自旋量子数 和自旋磁量子数 。 ssm2( , , )( , , )nlmnlmrr 222)()()(mlmnlrR因此，在 附近、 内找到电子的几率为： 在球坐标中 ，, rdVdVrnlm),(dVrRmlmnl222)()()(ddrdrdVsin2二、电子的几率分布二、电子的几率分布2)(m)(2lm)(2rRnl ：代表几率随角度的分布； ：代表几率随角度的分布； ：代表几率随矢径的分布；dVrnlm),(1sin20*02022dddrrRmmlmnl归一化：1)(022drrrRnl1sin02dlm120*dmmdddlmlm2)(21)(),(dddsinmlldd ， 之间的圆锥体的立体角 由 的值决定，对给定的 ，它有确定的值。 对不同的 、 ， 不同。lmlmmlm1几率随几率随角的分布角的分布21)()(*mm- 几率密度的分布绕几率密度的分布绕Z轴旋转对称轴旋转对