中国石油大学华东线性代数第5章-相似矩阵和二次型

1、1第第5 5章章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 关于特征值和特征向量的讨论关于特征值和特征向量的讨论 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 (或用正交矩阵化对称阵为对角阵或用正交矩阵化对称阵为对角阵) 本章讨论本章讨论 向量的内积向量的内积 特征值和特征向量特征值和特征向量 相似矩阵相似矩阵 二次型的化简二次型的化简 本章重点本章重点21 1 向量的内积向量的内积 nnyyyyxxxx2121,)(,2211yxyxyxyxyxTnn 令令1. 向量的内积和长度向量的内积和长度定义定义 设有设有 n 维向量维向量的的内积内积.yxyx,为为称称注注 内积是向量间的一种运算，

2、其结果是一个数内积是向量间的一种运算，其结果是一个数.3,) 1xyyx 对对称称性性注注 内积运算满足：内积运算满足：,)3)2zyzxzyxyxyx 线线性性xnxxxxxxxn , 22221维维向向量量为为称称令令 定义定义 即内积满即内积满足交换律足交换律 称长度为称长度为 1的向量为的向量为单位向量单位向量. 如如,21neee皆为单位向量皆为单位向量.的的长度长度（或（或范数范数）.4xx 齐齐次次性性)2(*)3yxyx 三三角角不不等等式式,0 xty xty 对任意实数对任意实数 t, 显然显然（*）式的证明略去，其直观意义是明显的）式的证明略去，其直观意义是明显的）注注

3、向量的长度满足：向量的长度满足：.0;0,)10 00 0 xxxx时时当当非非负负性性2 ,2 , ,0 x xt x yty y 即即上式左端是关于上式左端是关于 t 的二次三项式，故其判别式的二次三项式，故其判别式 0.0. 5亦即亦即2 , 2 , , 0 x xt x yty y 24 ,4 , ,0 x yx xy y 从而得从而得2 , , ,x yx xy y )0(1,时时当当 yxyxyx正因为如此，正因为如此， 在解析几何中，常把在解析几何中，常把yxyxyx与与定定义义为为向向量量,arccos 的的夹角夹角.由上得由上得 此称为此称为许瓦兹不等式许瓦兹不等式.62.

4、正交与正交规范化正交与正交规范化定义定义 当当x, y=0时，称向量时，称向量 x 与与 y 正交正交. 显然，若显然，若 x=0, 则则 x 与任何向量都正交与任何向量都正交. 称称两两正交的两两正交的非零向量所组成的向量组为非零向量所组成的向量组为正交向量组正交向量组.例（例（P107例例1） 已知已知 121,11121aa正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量 a3，使，使 a1, a2, a3 两两正交两两正交.7 12111121,aa解解 记记 12111121TTaaA a3 应满足齐次应满足齐次方程方程 Ax=0，即，即 00121111321xxx由由 010101A

5、得得 0231xxx故可取故可取.101 3 3a8r,a,aa21r,a,aa21定理定理1 若若n维向量维向量 是一组两两正交的是一组两两正交的非零向量，则非零向量，则线性无关线性无关.证证 设有设有使使r ,21Oaaarr 2211,aaaTT0,1111 得得左左乘乘上上式式两两端端以以类似可证类似可证.032 r 于是向量组于是向量组r,a,aa21线性无关线性无关.0 从而必有0, 故0, 因121111 aaaaT9称由正交向量组构成的向量空间的基为称由正交向量组构成的向量空间的基为正交基正交基. .如如 n维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成 Rn 的一个正交规范基的一个

6、正交规范基.定义定义 设设 n 维向量维向量 是向量空间是向量空间 V 的一个基，如果的一个基，如果 两两两两 正交，且都是单位向量则称正交，且都是单位向量则称 是是 V 的一个的一个正交规范基正交规范基. .r,e,ee21)(nRV r,e,ee21r,e,ee21又如又如 2121002121000021210021214 43 32 21 1, , , , 是是 R4 的一个正交规范基的一个正交规范基.10r,e,ee21rreeea 2211结论结论 若若是是 V 的一个正交规范基，的一个正交规范基，那么那么 V 中任一向量中任一向量 a 可表示为可表示为其中其中),2, 1(ria

7、,eii 证证 设设rreeea 2211iTiiTiTieeaee 得得左乘左乘两边用两边用,即即), 2 , 1(ria,eaeiTii 证毕证毕11 问题：能否将向量空间的一个基重新构造成一个正交问题：能否将向量空间的一个基重新构造成一个正交规范基呢？规范基呢？回答是肯定的，其构造过程称为回答是肯定的，其构造过程称为施密特正交化施密特正交化.设有向量空间的一个基设有向量空间的一个基r,a,aa2111ab 取取1122bkab 又又设设1112121,bbk,ab,bb 则则,01121121,bb,abk,bb 得得令令12221133bkbkab 又又设设11131212111313

8、1,bbk,ab,bbk,bbk,ab,bb 则则,01131131,bb,abk,bb 得得令令.,211112122正正交交满满足足时时即即取取,bbb,bb,abab 如此得到的如此得到的b1 ,b2与与a1 ,a2还是等价的还是等价的13依此下去，便有依此下去，便有.,321222321113133两两两两正正交交满满足足时时即即取取,b,bbb,bb,abb,bb,abab 如此得到的如此得到的b1 ,b2 ,b3与与a1 ,a2 ,a3等价等价222322221213232,bbk,ab,bbk,bbk,ab,bb 又又,02232232,bb,abk,bb 得得令令14结论结论

9、（施密特正交化）（施密特正交化）设有向量空间的一个基设有向量空间的一个基r,a,aa21,11 1ab 取取,111212b,bb,abab 2 2.,2121等等价价且且与与两两两两正正交交则则rr,a,aa,b,bb,b,bb,abb,bb,ababr-r-r-rr-r11111111 r rr r再将再将 b1,b2, ,br 单位化，便可得到正交规范基单位化，便可得到正交规范基.15设设 014131121321,a,aa试用施密特正交化过程将这组向量正交规范化试用施密特正交化过程将这组向量正交规范化.解解 ,11 1ab 取取121212bb,abab 2 2222321213133

10、bb,abbb,abab 12164131例（例（P108例例2） 1113516 101211135121321b b, ,b b, ,b b再把它们单位化，取再把它们单位化，取,12161111 bbe 10121333bbe,11131222 bbe.321为为所所求求则则,e,ee 1012111351213101417例（例（P108例例3） 已知已知解解 a2 , a3 应满足方程应满足方程 a1Tx=0, 即即 ,111 1 1a求一组非零向量求一组非零向量a2 , a3，使，使 a1 , a2 , a3 两两正交两两正交.0321 xxx基础解系基础解系可取为：可取为： 110

11、,10121 把基础解系正交化，把基础解系正交化，得到所求的向量，得到所求的向量， 12121231 11 12 21 12 2, , a,10112 a183 . 3 . 正交矩阵正交矩阵定义定义 （正交矩阵）如果（正交矩阵）如果 n 阶方阵阶方阵A 满足满足 ATA=E，则，则 称称 A 为为正交矩阵正交矩阵.由定义立即可知：由定义立即可知：也也是是正正交交阵阵11,1 AAAAATT为进一步分析正交矩阵的结构，将为进一步分析正交矩阵的结构，将A 按列分块按列分块.设设 A= (a1 a2 an）,其中其中ai 皆为列向量皆为列向量.若若A为正交矩阵，则为正交矩阵，则19 nTnTTaaa

12、aaa2121 AAT nTnTnTnnTTTnTTTaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111由于由于ATA=E，故知，故知 ), 2 , 1,(01njijijiaajTi 可见，当可见，当 A为正交矩阵时，为正交矩阵时，A 的列向量皆为单位向的列向量皆为单位向量，且两两正交，同样对行也有类似的结论量，且两两正交，同样对行也有类似的结论.20结论结论 A为正交阵为正交阵A的列（行）向量皆为单位的列（行）向量皆为单位向量，且两两正交向量，且两两正交.于是知于是知, A 的列的列(行行)向量组皆构成向量组皆构成 Rn 的正交规范基的正交规范基.例例 下列矩阵是否为正交矩阵？下

13、列矩阵是否为正交矩阵？ 979494949198949891)2(121312112131211)1(1)不是不是,(2)是是.21定义定义 若若 P 为正交矩阵为正交矩阵, x , y是是 n维向量维向量, 称由称由 x 到到 y 的的 变换变换 y=Px 为为正交变换正交变换.结论结论 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变. .xy 即即 若若 y=Px，P 为正交矩阵，则为正交矩阵，则证证yyyyyT , 从几何上看，就是从几何上看，就是在正交变换下图形的形状保持不在正交变换下图形的形状保持不变变（如旋转变换就是一种正交变换）（如旋转变换就是一种正交变换）.xxxPxPx

14、TTT 22302212|,|,| ().TAAABEAB设设 为为 阶阶正正交交矩矩阵阵，且且则则练习题：练习题：.1|1|2 AAEAAT分分析析：| )2(|)21(|21|213TTTTTBAAABAAABE 则则.|形形式式等等技技巧巧化化为为矩矩阵阵乘乘积积的的通通过过恒恒等等变变形形没没有有现现成成的的公公式式，只只有有对对于于BA 128|AAB评注：评注：232 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量定义定义 设设 A为为 n 阶方阵，如果数阶方阵，如果数和和 n 维维非零向量非零向量 x, 使关系式使关系式)1(xAx 成立，则称数成立，则称数为方阵为方阵 A 的的特

15、征值特征值，非零向量，非零向量 x为为 A 的的对应于对应于的的特征向量特征向量.注注 由定义可知：由定义可知： 1) 若若 p 是是 A 的对应于的对应于的特征向量的特征向量, 则则 kp (k0) 也也 是是 A 的对应于的对应于的特征向量的特征向量. 2) 若若 p1, p2 皆是皆是 A 的对应于的对应于的特征向量的特征向量, 则则 p1+p2 ( p1+p2 0) 也是也是 A 的对应于的对应于的特征向量的特征向量. 24问题问题: 给定方阵给定方阵A, 如何去求如何去求A的特征值及特征向量的特征值及特征向量?0 0 ExAx 式式知知由由 ) 1 (0 0 xEA)( 这是这是 n

16、个未知数个未知数 n 个方程的齐次线性方程组个方程的齐次线性方程组,由克莱姆由克莱姆法则知其有非零解的法则知其有非零解的充要条件充要条件是系数行列式是系数行列式)3()0(0 AEEA 或或即即)3( 0/212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa25,)(EAf 记记 由代数学基本定理：在复数范围内，由代数学基本定理：在复数范围内，n 次方程一定次方程一定有有 n 个根个根(重根按重数计算重根按重数计算). 故知有故知有结论结论 n 阶方阵阶方阵 A 一定有一定有n 个特征值个特征值.称其为方阵称其为方阵 A 的的特征多项式特征多项式.这是一个关于这是一个关于的一元的一元 n

17、次多项式次多项式. 上式左端是关于上式左端是关于的一元的一元 n 次方程次方程, 称其为称其为 A 的的特征特征方程方程，显然显然 A 的特征值即为特征方程的解的特征值即为特征方程的解.26通常，称通常，称nnaaa2211为为A的的迹迹，记为，记为 tr(A).则则对对应应于于的的一一个个特特征征值值为为方方阵阵若若已已求求得得,Ai 即，求对应的特征向量归结为解一个线性方程组即，求对应的特征向量归结为解一个线性方程组.0 0i i xEAi)( 的的特特征征向向量量满满足足设设A 的特征值为的特征值为n ,21由多项式的根与系数由多项式的根与系数之间的关系知：之间的关系知：.)2)1212

18、21121Aaaannnn 271） 解特征方程解特征方程2) 对每个特征值对每个特征值总结：总结：n 阶方阵阶方阵A的特征值、特征向量的求法：的特征值、特征向量的求法：0 EA 得到得到 A 的全部特征值的全部特征值.（注意共有（注意共有 n 个特征值）个特征值）,i 求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组0 0 xEAi)( 的基础解系，它们就是的基础解系，它们就是 A 的对应于的对应于i 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量.28例例 （教材教材P111例例4） 求三阶矩阵求三阶矩阵 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A的特征多项式为的特征多项式为2) 1

19、)(2(201034011 AE故得故得A的三个特征值为的三个特征值为. 1, 2321 对于对于, 21 解齐次线性方程组（解齐次线性方程组（2E -A)x= 0 ,29系数系数矩阵矩阵IAE 000010001001014013)2(行行同解方同解方程组为程组为 332100 xxxx取基础取基础 解系解系.1001 则则1就是就是 A 的属于的属于1 =2的特征向量的特征向量, 而而)0(1 kk 就是就是 A 的属于的属于1 =2的全部特征向量的全部特征向量.例例 （教材教材P111例例4） 求三阶矩阵求三阶矩阵 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.30对于对于,

20、 132 解齐次线性方程组（解齐次线性方程组（E A)x = 0 ,系数系数矩阵矩阵IAE 000210101101024012)(行行同解方同解方程组为程组为 3332312xxxxxx取基础取基础 解系解系.1212 )0( k则则2就是就是 A的属于的属于2 = 3 =1的特征向量的特征向量, 而而就是就是 A的属于的属于2 = 3 =1的全部特征向量的全部特征向量.2 k注意注意:这里基这里基础解系础解系只含一只含一个向量个向量例例 （教材教材P111例例4） 求三阶矩阵求三阶矩阵 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.31例例 （教材教材P112例例5） 求三阶矩

21、阵求三阶矩阵 122212221A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A的特征多项式为的特征多项式为2) 1)(5(122212221 AE故得故得A的三个特征值为的三个特征值为. 1, 5321 对于对于, 51 解齐次线性方程组（解齐次线性方程组（5E A)x= 0 ,32系数系数矩阵矩阵4221015242011224000()EAI行行同解方同解方程组为程组为 333231xxxxxx取基础取基础 解系解系.1111 则则1就是就是A的属于的属于1 =5的特征向量的特征向量, 而而)0(1 kk 就是就是A的属于的属于1 =5的全部特征向量的全部特征向量.例例 （教材教材P11

22、2例例5） 求三阶矩阵求三阶矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 122212221A33对于对于, 132 解齐次线性方程组（解齐次线性方程组（ E A)x= 0 ,系数系数矩阵矩阵IAE 000000111222222222)(行行同解方程组为同解方程组为 3322321xxxxxxx例例 （教材教材P112例例5） 求三阶矩阵求三阶矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 122212221A34取基础解系取基础解系 101,01132 则则2 ,3就是就是A的属于的属于2 = 3 =1的两个线性无关的的两个线性无关的A的属于的属于2 = 3 =1 的全部特征向量的全部特征向量.

23、注意注意: 这里这里基础解系含基础解系含有两个向量有两个向量323322,(kkkk 特征向量特征向量, 而而不同时为不同时为0）就是）就是 由上两例可见：由上两例可见：k 重特征根所对应的线性无关的特征重特征根所对应的线性无关的特征向量个数可能为向量个数可能为 k, 也可能少于也可能少于 k .例例 （教材教材P112例例5） 求三阶矩阵求三阶矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 122212221A35引理引理 设设是是A的特征值，则的特征值，则2是是A2 特征值，一般特征值，一般 地，地，k 是是Ak 的特征值的特征值.证证 因为因为是是A的特征值，即有的特征值，即有pApp 使使

24、, 0 0于是，于是，pAppAApApA22)()()( 即即2是是A2 特征值，类似可证一般情形特征值，类似可证一般情形.注：此注：此结结论还可进一步推广如下：论还可进一步推广如下：若若是是A的特征值，则的特征值，则的的特特征征值值是是的的特特征征值值，是是bEaAbaaAa 更一般地，更一般地，mmaaa 10.10的的特特征征值值是是mmAaAaEa 36定理定理 2 设设m ,21是方阵是方阵A的的 m个特征值个特征值,依次是与之对应的特征向量，如果依次是与之对应的特征向量，如果mppp,21m ,21各不相等，则各不相等，则mppp,21线性无关线性无关.证证 设有设有( (* *

25、) )0 0 mmpxpxpx2211（*）式两端分别用）式两端分别用12, mAAAE左乘左乘, 由引理由引理0 mmmmmpxpxpxpxpxpx221122112 21 10 0可得可得:0 02 21 1 mmmmmmpxpxpx122111137 OOOpxpxpxmmmmmmm 11221112211111 左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，由条件知，左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，由条件知，此行列式不等于零，故该矩阵可逆，于是有：此行列式不等于零，故该矩阵可逆，于是有： OOOpxpxpxmm 2211故故但但即即, , ,OpmjOpxjjj ).,2,1(), 2

26、, 1(0mjxj .,21线线性性无无关关所所以以mppp证毕证毕用矩阵形式写出用矩阵形式写出,即即:38*:1. 31,1,2|3|?AAE 思思考考设设 阶阶矩矩阵阵 的的特特征征值值为为，则则2.322AA设设 为为 阶阶矩矩阵阵，各各列列元元素素之之和和均均为为 ，问问 是是的的一一个个特特征征值值吗吗？*3. 3|2|0,|2|0|2|0,|.AAEAEAEA设设 为为 阶阶方方阵阵，且且，求求12*4.4,0(). AAxR A 设设 为为 阶阶矩矩阵阵，是是的的两两个个线线性性无无关关的的解解，求求3946015. 3501.361Axkk 设设的的一一个个特特征征向向量量，求

27、求-46- 3-51.3-6 .Axxkkk ，解解：，得得到到的的特特征征值值是是多多少少？问问上上题题中中对对应应于于 x.211121112111kAAkx的特征向量，求的特征向量，求的逆阵的逆阵是是设设练习题练习题 参参考考上上提提示示：述述例例子子. .403 3 相似矩阵相似矩阵定义定义 设设A，B都是都是 n 阶方阵，若有可逆矩阵阶方阵，若有可逆矩阵 P，使，使BAPP 1则称矩阵则称矩阵 B 和和A相似相似，对对A进行运算进行运算BAPP 1称为对称为对A进行进行相似变换相似变换，可逆矩阵，可逆矩阵 P 称称为为相似变换矩阵相似变换矩阵.定理定理 3 若若 n 阶方阵阶方阵A与

28、与B相似，则相似，则A与与B的特征多项式相的特征多项式相 同，从而同，从而A与与B的特征值亦相同的特征值亦相同.证证 因因A与与B相似，即有相似，即有P，使，使BAPP 1故故PEAPPEPAPPEB)()(111 .1EAPEAP 41推论推论 若若 n 阶方阵阶方阵 A相似于对角阵相似于对角阵 n 21则则n ,21即是即是A的的 n 个特征值个特征值.思考思考：1) 若若A、B相似，相似，A、B是否等价？是否等价？2) 若若A、B相似相似, 是否有是否有?BA 结论结论: 若若A、B相似相似, 则则A, B等价等价(从而秩相等从而秩相等), 且有且有 A,B的特征多项式相同的特征多项式相

29、同,特征值相同特征值相同; ,BA 以及以及nnnnbbbaaa 2211221142问题问题 对对n 阶方阵阶方阵A，如何寻求相似变换矩阵，如何寻求相似变换矩阵P，使，使 APP1为对角阵？为对角阵？定理定理 4 n 阶方阵阶方阵A相似于对角阵（即相似于对角阵（即A能对角化）能对角化）充分充分 必要条件必要条件是是A有有n 个个线性无关线性无关的特征向量的特征向量. 由此定理知，由此定理知，A能否对角化归结为何时能否对角化归结为何时A能有能有n个线性个线性无关的特征向量，在上节的例子中，我们知道，尽管无关的特征向量，在上节的例子中，我们知道，尽管 n阶矩阵一定有阶矩阵一定有 n 个特征值，但

30、却不一定有个特征值，但却不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量的特征向量.43 nnnppppppA 212121则有：则有：定理定理 4的证明的证明即即)(iiiiippAp 可可逆逆由由于于的的特特征征向向量量的的对对应应于于是是所所以以PApii, （充分性）将必要性证明逆推之即可（充分性）将必要性证明逆推之即可.证证 （必要性）若（必要性）若A与对角阵相似，与对角阵相似， APP1),(的的列列向向量量皆皆为为 Ppi即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 P，使，使 PAP.,21线线性性无无关关故故nppp44推论推论 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A的的 n 个特征值各不相等，则个特征值

31、各不相等，则A与对与对 角阵相似角阵相似.在一个特别情形，我们有在一个特别情形，我们有注意注意 由定理由定理4的证明过程可知：的证明过程可知：1）对角阵）对角阵的对角线上的元素就是的对角线上的元素就是A的的 n 个特征值；个特征值；2）相似变换矩阵）相似变换矩阵 P 的列向量就是的列向量就是A的的 n个线性无关个线性无关 的特征向量的特征向量.当有当有 APP1成立时，成立时，设设3阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为 1,1,2，问，问A3 能否相似对角化？能否相似对角化？答答: 可以可以.45解解 A的特征多项式为的特征多项式为2)1)(2(163053064 AE故得故得A的三个特征值为的

32、三个特征值为. 1, 2321 对于对于, 21 方程组（方程组（-2E A)x= 0 , 试证三阶矩阵试证三阶矩阵与对角阵相似与对角阵相似,并求出并求出P. 163053064A解齐次线性解齐次线性可得特可得特征向量：征向量： 1111x例例 (P116例例 7 )46对于对于, 132 解齐次线性方程组（解齐次线性方程组（E A)x= 0 ,则有则有 试证三阶矩阵试证三阶矩阵A与对角阵相似与对角阵相似. 163053064A得两个线性无得两个线性无关的特征向量：关的特征向量：,100,01232 xx构造矩阵构造矩阵 101011021321xxxP 1121APP即即A与对角矩阵相似与对

33、角矩阵相似.47 1. (P118第1题)解解 因因A与与相似，相似，.,4512422421yxyxA求求相似相似与与设方阵设方阵 ,),()( AtrAtr故故有有 yxyx20)83(54511 yxyx48312即即.5, 4 yx解解得得4800111100设设Ax 问问 x 取何值时，取何值时，矩阵矩阵A能对角化？能对角化？2.解：解：011110AEx 21(1)(1) (1)1 1231,1 特特征征值值：4923A12 矩矩阵阵 可可对对角角化化的的充充要要条条件件是是对对应应重重特特征征值值，有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量. .()02AE x即即 有有 个

34、个线线性性无无关关的的解解. .()1.R AE亦亦即即应应有有 10110101AEx 由由 101001000 x 1xA 所所以以，当当时时，矩矩阵阵 可可对对角角化化. .504 实对称矩阵的相似矩阵定理定理 5 实对称矩阵实对称矩阵的特征值为实数的特征值为实数. 前面我们知道，一般来说前面我们知道，一般来说 n 阶矩阵不一定有阶矩阵不一定有 n 个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量; 但在实对称矩阵情形，则有肯定的结但在实对称矩阵情形，则有肯定的结论论. 对实对称矩阵，有对实对称矩阵，有（证明略去）此定理表明（证明略去）此定理表明 n 阶实对称矩阵一定有阶实对称矩阵一定有 n个实

35、个实特征值特征值.51定理定理 6 设设1,2 是是实对称矩阵实对称矩阵A的两个特征值，的两个特征值，P1, P2 是对应的特征向量，若是对应的特征向量，若12，则，则P1, P2正交正交.证证 已知已知021 ppT要证要证,21222111 pAppAp2121211211)()(pAppApppppTTTTT 0)(2121 ppT ,02121 ppT 21222121ppppAPpTTT 证毕证毕52定理定理7 设设A是是 n 阶阶实对称矩阵实对称矩阵, 是是 A的特征方程的的特征方程的 r 重重 根根, 则特征值则特征值恰有恰有 r 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. （此

36、时矩阵（此时矩阵（AE）的秩）的秩 R(AE)= n - r )在上述三个定理的基础上，可得下述定理在上述三个定理的基础上，可得下述定理8. 定理表明定理表明, n 阶阶实对称矩阵实对称矩阵一定有一定有 n 个线性无关的特个线性无关的特征向量征向量. 此定理在理论上非常重要，但证明超出范围，故略去此定理在理论上非常重要，但证明超出范围，故略去.53定理定理8 设设A是是 n 阶阶实对称矩阵实对称矩阵, 则必有正交矩阵则必有正交矩阵 P, 使使 ，其中，其中 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元素个特征值为对角元素 的对角阵的对角阵. APP1 证证 设设A的互不相等的特征值为的互不相等的特

37、征值为s ,21它们的重数依次为它们的重数依次为)(,2121nrrrrrrss 由定理由定理7知特征值知特征值),2,1(sii 所对应的线性所对应的线性于是于是,一共可以得到一共可以得到 n个单位正交的特征向量个单位正交的特征向量,以这以这 n个单位正交的特征向量为列向量构造矩阵个单位正交的特征向量为列向量构造矩阵P, 则则P为正为正交矩阵，且有交矩阵，且有 APP1证毕证毕.无关的特征向量有无关的特征向量有个个ir)(21nrrrs 54解解 A的特征多项式为的特征多项式为2)4)(2(310130004 EA故得故得A的三个特征值为的三个特征值为. 4, 2321 对于对于, 21 解

38、齐次线性方程组（解齐次线性方程组（A 2E)x = 0 ,P119 例例 9例例 设设 310130004A求一个正交矩阵求一个正交矩阵 P,使使 APP1为对角阵为对角阵.55系数系数矩阵矩阵IEA 000110001110110002)2(行行同解同解方程方程组为组为 333210 xxxxx取基取基础解础解系系.1101 单位单位化得化得.212101 p例例 设设 310130004A求一个正交矩阵求一个正交矩阵 P,使使 APP1为对角阵为对角阵56对于对于, 432 解齐次线性方程组（解齐次线性方程组（A4E)x= 0 ,系数系数矩阵矩阵IEA 000000110110110000

39、)4(行行同解同解方程方程组为组为 333211xxxxxx取基取基础解础解系系 110,00132 例例 设设 310130004A求一个正交矩阵求一个正交矩阵 P,使使 APP1为对角阵为对角阵.57 基础解系中的基础解系中的 两个向量恰好正两个向量恰好正交交, 故只须单位化故只须单位化 21210,00132pp构造构造正交正交矩阵矩阵 4421APP且且有有,2102121021010 P例例 设设 310130004A求一个正交矩阵求一个正交矩阵 P,使使 APP1为对角阵为对角阵.58解解 A的特征多项式为的特征多项式为2)5)(4(124242421 AE故得故得A的三个特征值为

40、的三个特征值为. 5, 4321 对于对于, 41 解齐次线性方程组（解齐次线性方程组（4 EA)x= 0 ,P120 例例10例例 设设 124242421A求一个正交矩阵求一个正交矩阵 Q, 使使 AQQ1为对角阵为对角阵.59 得特得特征向量征向量121 .2 单位单位化得化得1231.323q 对于对于, 532 解齐次线性方程组（解齐次线性方程组（5EA)x= 0 ,23100,1112 得两个线性无得两个线性无 关的特征向量关的特征向量例例 设设 124242421A求一个正交矩阵求一个正交矩阵 Q, 使使 AQQ1为对角阵为对角阵.60 由于这两个向量不是正交的由于这两个向量不是

41、正交的, 故须先正交化再单位化故须先正交化再单位化正交化正交化,取取210,1 33 , , 0112102112 14114 例例 设设 124242421A求一个正交矩阵求一个正交矩阵 Q, 使使 AQQ1为对角阵为对角阵.61再单位化再单位化 6232262,2202232 qq构造构造正交正交矩阵矩阵 5541AQQ且且有有,622232322031622231 Q例例 设设 124242421A求一个正交矩阵求一个正交矩阵 Q, 使使 AQQ1为对角阵为对角阵.625 5 二次型及其标准形二次型及其标准形(*)122 cybxyaxyxyyxxcossinsincos/ 12/2/

42、nymx的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为标准形把方程化为标准形引言引言 在解析几何中，为了便于研究二次曲线在解析几何中，为了便于研究二次曲线 注意注意此为正此为正交变换交变换63nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1, 13113211222222211121222),( 称为称为二次型二次型. （*）式的左边是一个二次齐次多项式，从数学的观点）式的左边是一个二次齐次多项式，从数学的观点看，化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个看，化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。

43、二次齐次多项式，使它只含有平方项。 我们把二次齐次多项式称为我们把二次齐次多项式称为二次型二次型.定义定义8 含有含有 n 个变量个变量的二次齐次函数的二次齐次函数nxxx,2164 称只含平方项的二次型，如2222211nnxkxkxkf 于是，有ijjijiijjiijijjixxaxxaxxaaa 2,则则取取nnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaf1,131132112222222111222 为二次型的为二次型的标准形标准形. njijiijxxa1,65二次型的矩阵形式表示, nnnnnnnxxxXaaaaaaaaaA21212222111211 nnnnnnnnTxxxaa

44、aaaaaaaxxxAXXf2121222211121121)(记记则二次型可以记为则二次型可以记为 , 验证如下：验证如下：AXXfT 66 nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121)()()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxa1, 131132112222222111222 njijiijxxa1,67 矩阵矩阵A是实的对称阵；是实的对称阵；易知，在上述记法下：易知，在上述记法下： 称对称阵称对称阵A为二次型为二

45、次型 f 的矩阵的矩阵，也把，也把 f 叫做对叫做对称阵称阵A的二次型的二次型，A的秩就叫做的秩就叫做二次型二次型 f 的秩的秩.),( ,njiaaaaaaaaaaaAjiijnnnnnn21212222111211 其其中中 实二次型与实对称阵之间是一一对应的实二次型与实对称阵之间是一一对应的.68解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例注意：注意：这种习题虽然简单，但它是正确解题的前这种习题虽然简单，但它是正确解题的前 提，千万不

46、能写错提，千万不能写错. .692222211nnykykykf nkkk21 nnnTyyykkkyyyYYf212121可见，与标准形对可见，与标准形对 应的矩阵是应的矩阵是对角阵对角阵解解问：问： 与标准形与标准形对应的矩阵是什么？此标准形用矩阵如何表示？对应的矩阵是什么？此标准形用矩阵如何表示？70 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111用矩阵表述用矩阵表述，即寻求可逆变换，即寻求可逆变换 X=CY ，其中，其中nnijcC )(AXXfT 为可逆阵，使二次型为可逆阵，使二次型化为标准形化为标准形. 也即也即YYYACCY

47、CYACYAXXfTTTTT )()()(2222211nnykykyk f化为标准形化为标准形.将二次型将二次型寻求可逆的寻求可逆的 线性变换线性变换 njijiijxxaf1,即即要讨论的问题是：要讨论的问题是：71证证定理定理9 9 任给可逆矩阵任给可逆矩阵C C，令，令ACCBT ，如果如果).()(ARBR A 为对称阵，则为对称阵，则 B 亦为对称阵，且亦为对称阵，且YYYACCYAXXfTTTCYXT )(由上可见：由上可见：二次型化简，即二次型化简，即BACCCACACCBTTTTTTTT )()(称满足此式称满足此式的矩阵的矩阵A， B是是合同合同的的 ACCT的问题等价于：

48、当实对称阵的问题等价于：当实对称阵A给定后，如何求给定后，如何求一个可逆阵一个可逆阵C，使得，使得 成为对角阵成为对角阵.).()(,ARBRBAB 从而有从而有等价等价又易知又易知对称对称故故72)(1,jiijnjijiijaaxxaf 总有正交变换总有正交变换 ，使，使 化为标准形化为标准形其中其中 是是 的矩阵的矩阵 的特征值的特征值. .2222211nnyyyf n,21)(ijaA PYX ff定理定理1010 任给实二次型任给实二次型 在本章第四节，我们已经知道，对于任意实对称阵在本章第四节，我们已经知道，对于任意实对称阵A，一定有正交矩阵一定有正交矩阵 P，使得，使得 ，而对

49、正交矩阵来，而对正交矩阵来说说 . 因此，可以借助于正交变换来将二次型化因此，可以借助于正交变换来将二次型化简简. 从而有从而有 APP1TPP 173例（教材P124例11） 写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵A A（一定是对称阵）；（一定是对称阵）； 求求A A的特征值（共的特征值（共 n n 个，重根按重数计算）；个，重根按重数计算）； 求各特征值对应的特征向量；求各特征值对应的特征向量； （在正交化、单位化后）写出正交矩阵（在正交化、单位化后）写出正交矩阵P P； 写出二次型的标准形及所用的正交变换写出二次型的标准形及所用的正交变换. .434232413121222222xxxxxxx

50、xxxxxf 注注 此类习题是本章的基本题型之一，要求大家必须掌此类习题是本章的基本题型之一，要求大家必须掌 握，其解法步骤如下：握，其解法步骤如下：求一个正交变换把下列二次型化为标准形求一个正交变换把下列二次型化为标准形.74 0111101111011110A3)1)(3(111111111111 EA.1,34321 434232413121222222xxxxxxxxxxxxf解解 二次型二次型 的矩阵为的矩阵为它的特征它的特征多项式为多项式为于是于是A的特征值为的特征值为, 31 对于对于0 0 xEA)3(解方程组解方程组 75 1111,1100,0011432 11111得基础

51、解系得基础解系单位化得单位化得,1111211 p, 1432 对于对于0)( xEA解方程组解方程组可得正交的基础解系可得正交的基础解系76 21212121,212100,002121432ppp 432143212121021212102121021212102121yyyyxxxx.324232221yyyyf 单位化单位化 即得即得于是，正于是，正交变换为交变换为标准形为标准形为PYX 77323121622)2xxxxxxf 例例 化简二次型化简二次型32312123222162252 ) 1xxxxxxxxxf 若不限于用正交变换，还可以有多种方法把二次型若不限于用正交变换，还可

52、以有多种方法把二次型化成标准形，这里仅介绍化成标准形，这里仅介绍配方法配方法. 其它方法请大家自其它方法请大家自学学. 用配方法可以分为两种情形：用配方法可以分为两种情形： 1）二次型中含有平方项；）二次型中含有平方项； 2）二次型中不含平方项）二次型中不含平方项. 7832232231212165222xxxxxxxxxf ,1继继续续配配方方可可得得右右端端除除第第一一项项外外不不再再含含 x32232232232223216522)(xxxxxxxxxxx 233222232144)(xxxxxxx .0)2()(232322321xxxxxxf f1x1x解解 由于由于 中含变量中含变

53、量 的平方项，故把含的平方项，故把含 的项归并的项归并 起来，配方可得起来，配方可得32312123222162252 ) 1xxxxxxxxxf 79,2333223211 xyxxyxxxy令令2221yyff 化化为为标标准准形形就就把把)01(,100210111 CC所用变换所用变换 矩阵为矩阵为CYX 即变换即变换为可逆变换为可逆变换. 3332232112yxyyxyyyx即即32312123222162252 ) 1xxxxxxxxxf 80323121622)2xxxxxxf 33212211yxyyxyyx.842232312221yyyyyy .6)2(2)(223232

54、221yyyyyf 代入可得代入可得再配方，得再配方，得故令故令.)( 6)( 2)( 23213212121yyyyyyyyyyf f21xx解解 在在 中不含平方项，由于含有中不含平方项，由于含有 乘积项，乘积项，81,233322311 yzyyzyyz令令 100111311100210101100011011C232221622zzzf )02( C即有即有 所用的变换矩阵为所用的变换矩阵为,233322311 zyzzyzzy即即问：能否继续问：能否继续化简此二次型？化简此二次型？323121622)2xxxxxxf 827 正定二次型正定二次型 试回答下列问题：试回答下列问题：

55、二次型的标准形是否唯一？二次型的标准形是否唯一？ 用正交变换法得到的标准形是否唯一？用正交变换法得到的标准形是否唯一？ 标准形中所含标准形中所含 (非零非零)的项数是否确定？的项数是否确定？答答 1 .不唯一不唯一.2 .除顺序可能不同外，唯一除顺序可能不同外，唯一.3. 确定，为二次型的秩确定，为二次型的秩.83rPZXCYX 及及,),0(),0(22222112222211 irrirrzzzfkykykykf 及及使使则则 中正数的个数与中正数的个数与 中正数的个中正数的个数相等数相等. .rkk,1r ,1AXXfT 定理定理11 （惯性定理）（惯性定理） 设有二次型设有二次型 ，它

56、的秩为，它的秩为 ，有两个，有两个实的可逆变换实的可逆变换84),0(22112211 irrppppdydydydydf若设若设 中正数的个数为中正数的个数为 p, ,则负数的个数为则负数的个数为 r-p. .于是于是 f 的标准形可写为：的标准形可写为：rkk,1再作线性变换：再作线性变换： nnrrrrrzyzyzdyzdy1111111221221rppzzzzf 则上述标准形又变成：则上述标准形又变成： 称此式为二次型称此式为二次型 的的规范形规范形. 称称p为二次型的为二次型的正惯性正惯性指数指数.AXXxxfTn ),(185问下列二次型正定性如何？问下列二次型正定性如何？由定理

57、由定理11可引出一个较为重要的概念，即正定性可引出一个较为重要的概念，即正定性.23222132152),(xxxxxxf 22213212),(xxxxxf （非负定非负定）（正定正定）则则称称二二次次型型为为或或都都有有如如果果对对任任何何设设有有二二次次型型),0( ,0)( ,0,)( XfXAXXXfT定义定义, 0)( Xf正定（非负定）二次型正定（非负定）二次型， 并称对称阵并称对称阵A是是正定（非负定）正定（非负定）的的， 记作记作A0; 如果对于任何如果对于任何 都有都有. 0 A则称则称 f 为为负定二次型负定二次型，并称，并称A 是是负定的负定的，记作，记作0 X86推论

58、推论 对称阵对称阵A为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：A的特征值全的特征值全 为正为正. .定理定理1313 对称阵对称阵A为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：A 的各阶主的各阶主 子式都为正；对称阵子式都为正；对称阵A为负定的充分必要条件是：奇数为负定的充分必要条件是：奇数 阶主子式为负，而偶数阶主子式为正阶主子式为负，而偶数阶主子式为正. .定理定理12 实二次型实二次型 为正定的充分必要条件为正定的充分必要条件 是：它的标准形的是：它的标准形的 n 个系数全为正个系数全为正. AXXfT 二次型、实对称阵的正定性判别二次型、实对称阵的正定性判别87nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122221112113332312322211312112221121111,顺序主子式顺序主子式 即矩阵沿其主对角线方向所取的子式即矩阵沿其主对角线方向所取的子式.如如 n 阶方阵阶方阵即各阶主子式依次为：即各阶主子式依次为： nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211881 证明证明 ：若：若A、B皆正定，则皆正定，则A+B也正定。也正定。0X 0,0 BXXAXXTT0)( BXXAXXXBAXTTT由于由于A、