正项级数及其审敛法 ppt课件

1、第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法一、正项级数概念一、正项级数概念二、正项级数比较审敛法二、正项级数比较审敛法三、达朗贝尔比值审敛法三、达朗贝尔比值审敛法四、柯西根值审敛法四、柯西根值审敛法一、正项级数概念一、正项级数概念1、定义、定义: 1,0nnnaa则称级数则称级数若若为正项级数为正项级数.正项级数部分和数列正项级数部分和数列 sn 为单调增加数列为单调增加数列.2、正项级数收敛的充要条件、正项级数收敛的充要条件: (基本定理基本定理)正项级数收敛正项级数收敛 部分和数列部分和数列 sn 有界有界. 假设假设 1nna收敛收敛 , ,收敛收敛则则ns,0 na部分和数列部

2、分和数列 sn 单调递增单调递增, 1nna从而从而又已知又已知 sn 有界有界, 故有界故有界.故故 sn 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证 “ ”“ ”二、正项级数比较审敛法二、正项级数比较审敛法 1、比较审敛法、比较审敛法 1一般形式）一般形式）,11均为正项级数均为正项级数和和设设 nnnnba, ), 1,( kknbann且且自自某某项项起起有有11(1),.nnnnba若收敛 则也收敛11(2),.nnnnab若发散 则也发散证明证明nnaaas 21且且1(1)nnnb设,(1,2,)nnabn,n即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnanbbb 21nns 则则)

3、()2( nsn设设,nnba 且且 n 不是有界数列不是有界数列,.1发散发散 nnb证明证明,11)1(1 nnn,11121发发散散而而级级数数 nnnn.)1(11 nnn发发散散级级数数比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有基本级数须有基本级数. 解解, 1 p设设,11nnp .级级数数发发散散则则 P, 1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级级数数收收敛敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1

4、ppP重要基本级数重要基本级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .解解,1)1时时当当 p,11nnp .11发散发散级数级数 npnp,11发发散散而而级级数数 nn,1)2时时当当 p,1nxn 若若,11ppxn 则有则有 nnppxnn1d11 nnpxx1d1pppnns131211 nnppxxxx121d1d11 npxx1d11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.级级数数收收敛敛则则 p 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,111ppnpnp重要基本级数重要基本级数 几何级数几何级数, p - 级数级数, 调

5、和级数调和级数.调和级数与调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数级数是两个常用的比较级数.若存在,NN对一切,Nn1(1),nan1(2)(1),npapn1.nna则收敛1;nna则发散例例 3 3 判别级数判别级数)1(11nnnn 的敛散性的敛散性. 证明证明)1(1)1(1nnnnnn ,1123收收敛敛而而级级数数 nn.)1(11收收敛敛级级数数 nnnn,1123nnn 推论推论 (比较审敛法比较审敛法1)设1,nna1nnb且存在,NN对一切,Nn 有(1) 若级数1nnb则级数1nna(2) 若级数1nna则级数1nnb收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnakb是两个正

6、项级数, (常数 k 0 ),比较判别法的关键是找出基本级数比较判别法的关键是找出基本级数.当级数一般项较复杂时当级数一般项较复杂时, 不容易比较不容易比较, 可用下列比较可用下列比较判别法的极限形式判别法的极限形式.2、比较审敛法、比较审敛法2 (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式),11均为正项级数均为正项级数和和设设 nnnnba则则有有有有确确定定意意义义若若极极限限,limlbannn 两个级数有相同的敛散性两个级数有相同的敛散性 ；(1) 当当 0 l 时时,(2) 当当 l 0 时时,;11收敛收敛收敛可推出收敛可推出由由 nnnnab(3) 当当 l 时时,.11发散发散

7、发散可推出发散可推出由由 nnnnab例例 4 4 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性: : (1) 11sinnn; (2) 1211nnn; (3) 1341nnn. 解解22111lim)2(nnnn nnn11sinlim)1( , 1 原级数发散原级数发散.1lim22 nnnn, 1 ,11发发散散而而 nn 原级数收敛原级数收敛.,112收收敛敛而而 nnnnnn41341lim)3( nn 4311lim, 1 ,411收敛收敛而而 nn原级数收敛原级数收敛.111(1)lim0(lim),.(2)1lim.nnnnnnnnpnnnnanalnaapn aa 设级数为正项

8、级数， 若或则级数发散若，使得存在，则级数收敛例例 4 4 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性: : (1) 11sinnn; (2) 1211nnn; (3) 1341nnn. 解解22(2)lim11nnnn1(1)lim sin1nnn 原级数发散原级数发散. 原级数收敛原级数收敛.3、比较审敛法、比较审敛法3 (比阶审敛法比阶审敛法).,11时时的的无无穷穷小小均均为为和和通通项项均均为为正正项项级级数数和和设设 nbabannnnnn.,)1(11收敛收敛收敛可推出收敛可推出由由的同阶或高阶无穷小时的同阶或高阶无穷小时为为当当 nnnnnnabba.,)2(11发发散散发发散散

9、可可推推出出由由的的同同阶阶或或低低阶阶无无穷穷小小时时为为当当 nnnnnnabba.,)3(性性两个级数有相同的敛散两个级数有相同的敛散时时当当nnba例例 5 5 判判别别级级数数)0(cos11 knkn的的敛敛散散性性. 解解cos1,nkn 时时当当2221nk ,1222nk ,12122收敛收敛而而 nnk.cos11收敛收敛 nnk例例 6 6 判别级数判别级数 111lnnkn的敛散性的敛散性. 解解11ln, knn时时当当,1kn.,1,1原原级级数数发发散散时时当当原原级级数数收收敛敛时时当当 kk121111111)(0)sintanarctanln(1)11(1

10、cos)1212)(0)( ,0)pnpppppnpkpkpannpnnnnnennApA BknnB 在估计 关于 的阶的时候，以下的等价无穷小是有用的：时有：为常数，思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 能能否否推推得得 12nnu收收敛敛? ?反反之之是是否否成成立立? ? 解解由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法由比较审敛法2知知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.例例 7 7 判判别别下下列列级级数数的的收收

11、敛敛性性: (1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 1!nnnn; 三、比值审敛法三、比值审敛法 (DAlembert(DAlembert判别法判别法) ) ,1为正项级数为正项级数设设 nna则则有有有有确确定定意意义义若若极极限限,lim1 nnnaa级数收敛级数收敛 ；(1) 当当 0 1 时时,(2) 当当 1 时时,(3) 当当 1 时时,级数发散级数发散 ；级数敛散性需另行判定级数敛散性需另行判定. .比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找基本级数不必找基本级数. . 解解!1)!1(11limlim)1(nnnnnnaa 11lim nn,0 .!11收收敛敛

12、 nn!1010)!1(limlim)2(11nnaannnnnn 1lim10nn 1!.10nnn发散解解!)1()!1(limlim)3(11nnnnaannnnnn .!1收敛收敛故级数故级数 nnnnnnnnn)1(lim e1 !,nan nnn注：当 中含有次幂，关于 的连乘积或者指数出现常用比值审敛法.1(21) 2limlim(23) (22)nnnnannann, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法211,(21) 24nnn,112收收敛敛而而级级数数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn解解例例 9 9 讨讨论论级级数数)0(1

13、1 xxnnn的的敛敛散散性性. 解解1 )1(lim nnnxnxnnnnaa1lim x ,10时时当当 x级数收敛；级数收敛；,1时时当当 x级数发散；级数发散；.1发发散散级级数数 nn,1时时当当 x例例 1010 判别级数判别级数 1223cosnnnn 的收敛性的收敛性. 解解,223cos2nnnnn nnnnn221lim1 , 121 ,21收敛收敛级数级数 nnn 原级数收敛原级数收敛 . .注：多种审敛法可结合应用。注：多种审敛法可结合应用。说明说明:.,lim1lim)1(11比值审敛法失效比值审敛法失效不存在不存在或或若若nnnnnnaaaa ,11发散发散级数级数

14、例例 nn,112收收敛敛级级数数 nn)1( ,2)1(21 nnn例例,)1(2(2)1(211nnnnnlaa ,61lim2 nnl,23lim12 nnl.limlim1不存在不存在nnnnnlaa ,232)1(2nnnna 但但,2)1(21收收敛敛级级数数 nnn说明说明:.,lim1lim)1(11比值审敛法失效比值审敛法失效不存在不存在或或若若nnnnnnaaaa .)2(条件是充分不必要的条件是充分不必要的.1lim,11 nnnnnaaa未必有未必有收敛收敛若若即：即：., !)3(常用比值审敛法常用比值审敛法或指数出现或指数出现的连乘积的连乘积关于关于次幂次幂中含有中

15、含有当当nnnnan.,)4(证证明明常常用用比比较较审审敛敛法法或或定定义义一一般般不不可可用用比比值值审审敛敛法法凡凡涉涉及及抽抽象象证证明明题题111,.(0-)nnnnnnnnnnnnnacabcbbaca例 已知任意项级数都收敛，且有试证：也收敛 提示：四、根值审敛法四、根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) ),1为为正正项项级级数数设设 nna则有则有有确定意义有确定意义若极限若极限,lim nnna级数收敛级数收敛 ；(1) 当当 0 1 时时,(2) 当当 1 时时,(3) 当当 1 时时,级数发散级数发散 ；级数敛散性需另行判定级数敛散性需另行判定. .lim,常用根值审

16、敛法常用根值审敛法级数级数易求的易求的等等当一般项中含有当一般项中含有nnnnnaan .1)1:1的敛散性的敛散性判定级数判定级数例例 nnn2 2) ) 判判定定级级数数 131nnnn的的敛敛散散性性. 3 3) ) 判定判定级数级数 143nnn的敛散性的敛散性. 五、正项级数的柯西积分审敛法五、正项级数的柯西积分审敛法.d)(), 2 , 1()()(), 1,111同敛散同敛散与反常积分与反常积分则级数则级数使得使得单减函数单减函数上的连续上的连续若有定义在若有定义在对正项级数对正项级数 xxfananfxfannnnn11( )( )( ).nnnf xf naaf x dx思路

17、：构造一个单调递减函数，使得则与同敛散21lnnnn例 判定级数的敛散性.六、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限六、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限例：求数列的极限例：求数列的极限,!lim)1nnnn 2)11(lim)2nnn 如果级数如果级数 1nna收敛收敛, ,则则 0lim nna. . 判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件lim0nna不满足发 散满足比值审敛法 limn1nana根值审敛法limnnna1收 敛发 散1不定 比较审敛法用其他判别用其他判别法法积分判别法部分和极限1小结小结判别正项级数判别正项级数 敛散性步骤：敛散性步骤： 1nna是否为零是否为零nna

18、lim否否原级数发散原级数发散.是是或无法求或无法求4. 按定义按定义5. 利用性质利用性质6. 基本定理基本定理1. 比值审敛法比值审敛法2. 根值审敛法根值审敛法3. 比较审敛法比较审敛法22111111( !)(1)(2)2(3)(0,0)12(0,0).1nnnnsnnnnnnn naasnaabb练习：、判定下列级数的敛散性： 、讨论级数的敛散性小结小结判别正项级数判别正项级数 敛散性步骤：敛散性步骤： 1nna是否为零是否为零nna lim否否原级数发散原级数发散.是是或无法求或无法求1. 按定义按定义2. 利用性质利用性质3. 基本定理基本定理5. 比值审敛法比值审敛法6. 根值审敛法根值审敛法7. 积分审敛法积分审敛法4. 比较审敛法比较审敛法一、一、 填空题填空题: : 1 1、 p级数当级数当_时收敛时收敛, ,当当_时发散；时发散； 2 2、若正项级数、若正项级数 1nnu的后项与前项之比值的的后项与前项之比值的极