第五章机械波

1、01 机械波的产生和传播机械波的产生和传播2 波动方程波动方程3 3 波的能量波的能量4 4 惠更斯原理惠更斯原理5 5 波的叠加波的叠加退退出出(Wave)1 振动在空间的传播过程叫做波动振动在空间的传播过程叫做波动, ,波动是波动是一种重要的运动形式。一种重要的运动形式。 常见的波有常见的波有: 机械波：机械振动在媒质中的传播。机械波：机械振动在媒质中的传播。电磁波电磁波：变电磁场在真空或媒质中的传播。：变电磁场在真空或媒质中的传播。物质波：是一种几率波。物质波：是一种几率波。上页上页下页下页退出退出返回返回波动是信息传递的主要方式。波动是信息传递的主要方式。 虽然各类波的具体物理机制不同

2、，但它们都虽然各类波的具体物理机制不同，但它们都具有具有叠加性，都能发生干涉和衍射叠加性，都能发生干涉和衍射现象，也就现象，也就是说它们具有波动的普遍性质。是说它们具有波动的普遍性质。2 1 机械波机械波(Mechanical wave)(Mechanical wave)的产生和传播的产生和传播一一. . 机械波的产生机械波的产生1.1.产生条件产生条件: : 波源：即做机械振动的物体；波源：即做机械振动的物体； 媒媒质：能够传播机械振动的物质。质：能够传播机械振动的物质。( (弹性介质弹性介质) )2.2.弹性波弹性波: : 机械振动在弹性媒质中的传播。机械振动在弹性媒质中的传播。 (如弹性

3、绳上的波如弹性绳上的波) 弹性媒质的质元之间以弹性力相联系。弹性媒质的质元之间以弹性力相联系。3t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T 上页上页下页下页退出退出返回返回t = 0048162012 二二 机械波的传播机械波的传播4特征：特征：1.波传播的过程是波形向前推进的过程，波传播的过程是波形向前推进的过程，“上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振的质元振动动2.某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游下游”某处出现某处出现-波是振动状态的传播波是振动状态的传播4.波传播的速度，称为波速（波传播的速度，称为波速

4、（相速相速）。在一定）。在一定的介质中，波是匀速传播的。波速是波动状态的介质中，波是匀速传播的。波速是波动状态传播的速度，传播的速度，与质点的运动速度不同与质点的运动速度不同。3.波是相位的传播，波是相位的传播，沿波的传播方向沿波的传播方向, ,各质元各质元的相位依次落后。的相位依次落后。5横波：横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。质点的振动方向和波的传播方向垂直。 注注：在固体中可以传播横波或纵波，在固体中可以传播横波或纵波， 在液体、气体在液体、气体( (因无剪切效应因无剪切效应) )中只能传播纵波中只能传播纵波。纵波：纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。质点的振动方向和波的传播方

5、向平行。振动方向振动方向传播方向传播方向波谷波谷波峰波峰波密波密波疏波疏三三 横波与纵波横波与纵波6上页上页下页下页退出退出返回返回7上页上页下页下页退出退出返回返回质元并未质元并未“随波逐流随波逐流” 波的传播不是媒质质波的传播不是媒质质元的传播。元的传播。四四 描写波的物理量描写波的物理量1.波速：相位传播的速度。波速：相位传播的速度。即介质中波源的振动在单位时间内传递的距即介质中波源的振动在单位时间内传递的距离，取决于传播介质的特性。离，取决于传播介质的特性。固体中纵波的传播速度：固体中纵波的传播速度：纵波纵波Yu Y介质的质量密度介质的质量密度介质的杨氏模量介质的杨氏模量9在理想气体中

6、声速，有在理想气体中声速，有 , , M,g, R, T 分别为理想气体的摩尔质量，比热容比，分别为理想气体的摩尔质量，比热容比，普适气体常数，热力学温度。普适气体常数，热力学温度。MRTug.波速取决于传播介质的特性。波速取决于传播介质的特性。2. 振幅（波幅）振幅（波幅）波形成后，各个质元振动的振幅。波形成后，各个质元振动的振幅。各处振幅一般不相等。各处振幅一般不相等。3. 3. 周期（周期（periodperiod）T T：一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。它它由波源决定由波源决定（波源、观测者均不动时）（波源、观测者均不动时） 频率频率（f

7、requency）T1 角频率角频率（angular frequency） 2 波长由波源和介质共同决定波长由波源和介质共同决定, ,表示波的空间周期性表示波的空间周期性. .uuT 4. 波长波长（wave length） 波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。Tux u12例例1：人听觉频率范围：人听觉频率范围：16-20000Hz，空气中，空气中声速声速332米米/秒（秒（0），求人听觉波长范围。），求人听觉波长范围。 u )(8 .2016/33211mu )(1066. 120000/332222mu 所以人听觉波长范围为：所以人听觉波长

8、范围为：)(8 .201066. 12m 解：解：上页上页下页下页退出退出返回返回13例例2：声波频率为：声波频率为3000Hz，波速，波速1560米米/秒，波秒，波从从A点经点经x=0.13米传至米传至B点，求：点，求：（1）B比比A落后的时间，相当于多少波长；落后的时间，相当于多少波长；（2）声波在）声波在A、B两点相位差为多少；两点相位差为多少；（3）设振幅为）设振幅为1毫米，问振动速度是否等于传毫米，问振动速度是否等于传播速度。播速度。)(52. 03000/1560mu ST3000/11 Sux120001156013. 0 解：解：（1）B比比A落后的时间落后的时间相当于相当于1

9、/4周期，周期， x也相当于也相当于1/4波长。波长。上页上页下页下页退出退出返回返回14（2）A、B两点相位差为：两点相位差为：2241 （3）振幅为）振幅为1毫米，振动速度的幅值为：毫米，振动速度的幅值为：SmAvm 630002001. 0 振动速度显然不等于传播速度振动速度显然不等于传播速度上页上页下页下页退出退出返回返回Smu1560155. 5. 波的几何描述波的几何描述波线波线（wave linewave line）: :表示波的传播方向的射线表示波的传播方向的射线（波射线）（波射线）波面波面（波阵面波阵面 wave surfacewave surface）: :介质振动相位相同

10、的点组成的面介质振动相位相同的点组成的面（同相面）（同相面）波前波前 （wave frontwave front）: :波面中走在最前面的那个波面波面中走在最前面的那个波面球面波球面波平面波平面波波波线线 波面波面162 波动方程波动方程 波动方程就是描述媒质中各质点的位移随波动方程就是描述媒质中各质点的位移随着各质点的平衡位置和时间而变化的数学表达着各质点的平衡位置和时间而变化的数学表达式。式。上页上页下页下页退出退出返回返回平面简谐波：最简单、最基本的波平面简谐波：最简单、最基本的波各质点频率相同；各质点频率相同；无吸收均匀介质中，各质点振幅相同。无吸收均匀介质中，各质点振幅相同。17一一

11、. . 一维简谐波的标准式一维简谐波的标准式讨论讨论: : 沿沿+ +x方向传播的一维简谐波方向传播的一维简谐波( (u u , , ) )假设假设: : 媒质无吸收媒质无吸收( (质元振幅均为质元振幅均为A A) ) 18已知已知: : 原点原点O O 的振动表达式为的振动表达式为 yo(t)=Acos t振动表达式振动表达式p p: : A,A, 均与均与O 点的相同点的相同, , 但相位落后但相位落后 一维简谐波的表达式一维简谐波的表达式2x2cos),(xtAtxyxxo任一点任一点波速波速上页上页下页下页退出退出返回返回19)2cos(),(xtAtxy)(2cos xTtA )(2

12、cos xtA )(2cosxutA )(cosuxtA Tu T 2 T1 u 上页上页下页下页退出退出返回返回20)2sin(),(xtAtytxv)(2sin xTtA )(2sin xtA )(2sinxutA )(sinuxtA 上页上页下页下页退出退出返回返回21二二. 一维简谐波表达式的物理意义一维简谐波表达式的物理意义由由y(x, t) cos( t-kx)从几方面讨论从几方面讨论1. 固定固定 x, (x= x0)2. 固定固定 t, (t = t0 )cos(),(00kxtAtxy)cos(),(00kxtAtxy3. 固定固定x， t, (x=x0，t = t0 ) 2

13、 k)cos(),(0000kxtAtxy上页上页下页下页退出退出返回返回224. 表达式也表达式也反映了波是振动状态的传播反映了波是振动状态的传播y(x,t) = y(x+ x, t+ t) 其中其中 x=u txxttAttxxy2cos,txyttxtAttxtAtutxtAxtxtA,2cos22cos22cos22cos235. 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性表达式还反映了波的时间、空间双重周期性 T T 时间周期性时间周期性 空间周期性空间周期性Tu 注意注意1. 波速波速 u 不同于质点的振动速度不同于质点的振动速度vtyv)2cos(),(xtAtxy上页上页下页下页退

14、出退出返回返回3. 波源处用了源处用了t=0， =0；其实是不必要的。；其实是不必要的。)cos()(;0, 0tAtyto)2cos(),(xtAtxy2. 若波沿若波沿x轴的负向传播，则波动方程为：轴的负向传播，则波动方程为：)2cos(),(xtAtxy则波动方程为：则波动方程为：25ty2cos3（1）试写出此波的波动方程；）试写出此波的波动方程；)()2cos(3), 0(cmtty )()5(2cos3), 5(cmutty 例例3. 一平面余弦波沿一平面余弦波沿X轴正方向传播，波速为轴正方向传播，波速为10cm/s，已知，已知B点的振动方程为：点的振动方程为：(y以以cm计，计，

15、t以以s计计)，OB=5cm（2）求距）求距O点点10cm处的处的P质点在质点在t=3/4s时的振动时的振动速度。速度。解：（解：（1）设原点）设原点O的振动方程为：的振动方程为：则则B点的振动方程为：点的振动方程为：上页上页下页下页退出退出返回返回oxBP26scmut/10,2 tt2)105(2)()(2cos3),(cmuxttxy )(2sin6),( uxttytxv)/(85.186)101043(2sin6)43,10(scmv 由题意，由题意，B点的振动相位为点的振动相位为由得波动方程为：由得波动方程为：（2）由式得：）由式得：上页上页下页下页退出退出返回返回27 o xt

16、= 0 )cos(otAy 2, 0cos, 0, 0 ooyt例例4. 图中曲线为沿轴方向传播的平面简谐波图中曲线为沿轴方向传播的平面简谐波在在时的波形。问：（）原点的初位相。时的波形。问：（）原点的初位相。（）点的初位相。（）若振幅为，圆（）点的初位相。（）若振幅为，圆频率为频率为 ，波速为，波速为u，写出波动方程。，写出波动方程。解：（）设点的振动方程为：解：（）设点的振动方程为：在在x=0处处上页上页下页下页退出退出返回返回280)sin(, 0 otAdtdyv 2, 0sin, 00 ot代代入入波向右传播，可判断原点的振动速度波向右传播，可判断原点的振动速度方法二：画出下一个时刻

17、的波形图，用旋转矢方法二：画出下一个时刻的波形图，用旋转矢量法，可判断出量法，可判断出20 上页上页下页下页退出退出返回返回29或由旋转矢量法，根据下一时刻波形图，定或由旋转矢量法，根据下一时刻波形图，定出下一时刻出下一时刻P点位置，可判断出：点位置，可判断出： p（）波动方程为：（）波动方程为： 234322 px 23op2)(cosuxtAy（2）上页上页下页下页退出退出返回返回30例5-4 有平面简谐波沿x轴正向传播，波长为，周期为T，如果x轴上坐标为x0处的质点在t0时刻位置在平衡位置，且正向负方向运动，求简谐波波动方程。02cos,xTtAtxy，且运动方向为负，则02cos,00

18、000 xTtAtxy00022xTt解：解：22cos2cos,000 xxTttAxTtAtxy22000 xTt313 3 波的能量波的能量一一. . 弹性波的能量弹性波的能量 能量密度能量密度 振动动能振动动能 形变势能形变势能 += 波的能量波的能量前已讲：波是振动状态的传播，相位的传播，前已讲：波是振动状态的传播，相位的传播， 外观上有波形在传播。外观上有波形在传播。现讨论：随着波的传播现讨论：随着波的传播 能量也在传播。能量也在传播。 2cos),(xtAtxy1 1 设平面简谐纵波在密度为设平面简谐纵波在密度为 的均匀介质中传的均匀介质中传播，其波动方程为：播，其波动方程为：上

19、页上页下页下页退出退出返回返回32设质元体积为设质元体积为dv ，则质量为则质量为dm= dv，质元质元动能：动能：2sin21212222xtdVAdmVdWk 质元质元势能：势能：2sin),(xtAtytxv速度：以平面余弦弹性纵波在棒中传播为例以平面余弦弹性纵波在棒中传播为例xxxx+dxyababy+dyoo质元质元势能：势能：221dykdWpxyYSFxyYSFykFxYSk 34222121xyYSdxdykdWp2)(21xyYdV2sin2xtAxy Yu 2uY 2sin21222xtdVAdWp 上页上页下页下页退出退出返回返回2sin222xtdVAdWdWdWpk

20、2sin21222xtdVAdWk 2sin21222xtdVAdWp 注意注意对单个谐振子对单个谐振子pkWW 在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波动传播能量，振动系统并不传播能量。动传播能量，振动系统并不传播能量。2sin222xtdVAdWdWdWpk 2 2 能量密度：能量密度：介质中单位体积的波动能量介质中单位体积的波动能量2sin222xtAdVdWw 通常取能量密度在一个周期内的平均值通常取能量密度在一个周期内的平均值 w372221A

21、dtxtATwT2sin12220 dtxtTAT 022)2(2cos1 wk、w p均随均随 t 周期性变化周期性变化(1) 固定固定x 物理意义物理意义 w k = w p oyTtwkwpx = x0上页上页下页下页退出退出返回返回(1/4) 2A22sin21222xtAwwkp38(2) 固定固定twk、w p随随x周期分布周期分布y=0w k w p最大最大 y最大最大 wk w p为为 0oy xwpwkt = t0u(1/4) 2A2(3) 简谐振动能量守恒，波动中能量不守恒。简谐振动能量守恒，波动中能量不守恒。(4) 上述公式虽然从平面简谐波导出，但对所上述公式虽然从平面简

22、谐波导出，但对所有弹性波适用。有弹性波适用。上页上页下页下页退出退出返回返回二二. 能流能流(能通量能通量)、能流密度、能流密度能流能流 在介质中垂直于波速方向取一面积在介质中垂直于波速方向取一面积S ，在单位时在单位时间内通过间内通过S 的能量。的能量。uSuwSuttwSutWPdddd)(sin222uxtAuS平均能流：平均能流：2221AuSSuwP平均能流密度平均能流密度或或波的强度波的强度 通过与波传播方向垂直的通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用单位面积的平均能流，用I 来表示，即来表示，即222AuuwII 的单位：的单位：瓦特瓦特/米米2 (W.m-2)平面余弦行波

23、振幅不变的意义平面余弦行波振幅不变的意义: : )(cosuxtAyuS1AS2AuSAuSwP2211121uSAuSwP2222221若若 ，有，有 。21PP 21AA 平均能流：平均能流：2221AuSSuwP在单位时间内通过在单位时间内通过S 的平均能量。的平均能量。21221421ruA对于球面波，对于球面波， ， ，介质不吸收能量，介质不吸收能量2114 rS2224 rS时，通过两个球面的总能流相等时，通过两个球面的总能流相等1221rrAA球面波表达式：球面波表达式：)(cosurtra式中式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。为波在离原点单位距离处振幅的数值。 uSAu

24、SwP2211121222222421ruAP222AuI 波在弹性介质中运动时波在弹性介质中运动时, ,任一点任一点P 的振动的振动, ,将会将会引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的 P 点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。因此，区别。因此，P 可视为一个新的波源。可视为一个新的波源。1678年，惠年，惠更斯总结出了以其名字命名的更斯总结出了以其名字命名的惠更斯原理惠更斯原理.4 4 惠更斯原理惠更斯原理惠更斯惠更斯 （1629年年1695年）荷兰物理学家、天文学年）荷兰物理学家、天文学

25、家、数学家，他是介于伽利略与牛顿之间一位家、数学家，他是介于伽利略与牛顿之间一位重要的物理学先驱重要的物理学先驱,是历史上最著名的物理学家是历史上最著名的物理学家之一。之一。43一一. . 惠更斯原理惠更斯原理1. 原理原理 : 媒质中波传到的各点媒质中波传到的各点,都可看作开始发都可看作开始发射子波的子波源射子波的子波源 (点波源点波源)。 在以后的任一时刻在以后的任一时刻, 这些子波面的包络这些子波面的包络面就是实际的波在该时刻的波前面就是实际的波在该时刻的波前 。4 4 惠更斯原理惠更斯原理上页上页下页下页退出退出返回返回44平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向

26、t 时刻波面时刻波面球面波球面波 tt + t不足：适用于任何波动过程，但惠更斯原理并没有说明各个子波在不足：适用于任何波动过程，但惠更斯原理并没有说明各个子波在传播过程中对某一点振动究竟贡献多少，菲涅耳后来做了补充。传播过程中对某一点振动究竟贡献多少，菲涅耳后来做了补充。2. 应用应用 :t时刻波面时刻波面 t+ t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向452.2. 作图作图 可用惠更斯原理作图可用惠更斯原理作图上页上页下页下页退出退出返回返回二二. . 波的衍射波的衍射1.1.现象现象 波传播过程中当遇到障碍物时波传播过程中当遇到障碍物时, ,能绕能绕过障碍物的边缘而传播的现象。过障碍物

27、的边缘而传播的现象。水波绕过障碍物水波绕过障碍物隔墙有耳隔墙有耳无线电绕过大山无线电绕过大山波绕过障碍物传播波绕过障碍物传播a比较两图比较两图1S2S5 波的叠加波的叠加 485 波的叠加波的叠加 一一. 波传播的独立性波传播的独立性媒质中同时有几列波时媒质中同时有几列波时 , 每列波都将保持自每列波都将保持自己原有的特性己原有的特性(传播方向、振动方向、频率传播方向、振动方向、频率等等), 不受其它波的影响不受其它波的影响 。 二二. 波的叠加原理波的叠加原理在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波振动是各列波单独单独传播传播 时在该点引起的振

28、动时在该点引起的振动的合成。的合成。上页上页下页下页退出退出返回返回50三三 波的干涉波的干涉(interference of waves)1. 干涉现象干涉现象 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布2. 相干条件相干条件(1) 频率相同；频率相同；(2) 有恒定的相位差；有恒定的相位差；(3) 振动方向相同振动方向相同 S2S1r1r2 p S1 : y10 = A10cos( t+ 10) S2 : y20 = A20cos( t+ 20)3. 波场中任一点的合振动波场中任一点的合振动设振动方向设振动方向 屏面屏面上页上页下页下页退出退出

29、返回返回51初相位初相位合振幅合振幅 A = (A12+A22 +2A1A2cos )1/24 加强、减弱条件加强、减弱条件 加强条件加强条件 ( 相长干涉相长干涉 ) = ( 20- 10) - k(r2-r1) = 2m (m=0,1,2,) p点合振动点合振动)cos(yyy21tA21AAA p点两分振动点两分振动 y1 = A1cos( t+ 10-kr1) y2 = A2cos( t+ 20-kr2)相位差相位差: = ( 20- 10) - k(r2-r1) 2 k上页上页下页下页退出退出返回返回 S2S1r1r2 p52 减弱条件减弱条件 = ( 20- 10) - k(r2-r1) = (2m+1) (m=0,1,2,) 若若 A1=A2 ,则则 Imin= 021AAA 特例：特例： 20= 10 加强条件加强条件 减弱条件减弱条件 (相消干涉相消干涉), 2 , 1 , 0(12 mmrr ), 2 , 1 , 0(2) 12(12 mmrr 称称波波程程差差12rr 上页上页下页下页退出退出返回返回 S2S1r1r2 p53 S1S2极大极大极小极小上页上页下页下页退出退出返回返回驻驻波波的的形形成成四四 驻波驻波 频率相同、振动方向相同、振幅相等，但频率相同、振动方向相同、振幅相等，但传播方向相反传播方向相反的行波的行波 叠加而成的叠