结构力学——静定梁

1、第三章第三章 静定结构的内力分析静定结构的内力分析 静定结构 几何特征：无多余约束的几何不变体系 力学特性：所有的反力与内力均可通过平衡方程求得主要的静定结构：梁梁刚架刚架拱拱桁架桁架静定的组合结构静定的组合结构学习目的与要求学习目的与要求目的与要求目的与要求：熟练掌握静定梁的内力计算和内力图的绘制方法，：熟练掌握静定梁的内力计算和内力图的绘制方法，熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征，掌握绘制熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征，掌握绘制弯矩图的技巧。掌握多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。弯矩图的技巧。掌握多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。能恰当选取隔离体和平衡方程计算静

2、定结构的内力。能恰当选取隔离体和平衡方程计算静定结构的内力。重重 点：截面法、微分关系的应用、简直梁叠加法点：截面法、微分关系的应用、简直梁叠加法。难难 点：简直梁叠加法，绘制弯矩图的技巧点：简直梁叠加法，绘制弯矩图的技巧第一部分第一部分 静定梁的内力计算静定梁的内力计算1、截面法求截面内力、截面法求截面内力轴力轴力= = 横截面上应力沿轴切线方向投影的代数和。横截面上应力沿轴切线方向投影的代数和。剪力剪力= = 横截面上应力沿轴法线方向投影的代数和。横截面上应力沿轴法线方向投影的代数和。弯矩弯矩= = 横截面上应力对轴心力矩的代数和。横截面上应力对轴心力矩的代数和。MMMMFNFNFNFNF

3、SFSFSFS第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力、截面法求截面内力截面法截面法 截截取隔离体；取隔离体；代代之相应截断力；之相应截断力；平平衡方程求解衡方程求解1 斩断隔离体与周围的所有联系，代之以约束力斩断隔离体与周围的所有联系，代之以约束力2 2 约束力要符合约束性质约束力要符合约束性质3 3 受力图中只画隔离体本身所受的力受力图中只画隔离体本身所受的力4 4 不多力亦不漏力不多力亦不漏力5 5 未知力一般假设为正方向未知力一般假设为正方向第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力、截面法求截面内力a. 单跨梁基本形式单跨梁基本形式简

4、支梁简支梁(Simply-supported beam)伸臂梁伸臂梁(Overhanging beam)悬臂梁悬臂梁(Cantilever)单跨梁在工程中应用很广，是组成结构的基本构件之单跨梁在工程中应用很广，是组成结构的基本构件之一，是受力分析的基础。一，是受力分析的基础。单跨梁的受力分析单跨梁的受力分析静定单跨梁是按两刚片规则与基础相连组成静定结构静定单跨梁是按两刚片规则与基础相连组成静定结构第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力、截面法求截面内力a. 单跨梁基本形式单跨梁基本形式b. 单跨梁计算单跨梁计算支座约束反力计算支座约束反力计算：根据支座类型，确定反力

5、性质和个：根据支座类型，确定反力性质和个数，斩断梁与基础的联系，代之以约束反力，由平面一数，斩断梁与基础的联系，代之以约束反力，由平面一般力系的三个平衡方程确定反力般力系的三个平衡方程确定反力。FPFByFAyFAxX = 0FAx=0mA = 0FBy=3FP/2FPll/2ABCmB = 0FAy= -FP/2第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力、截面法求截面内力指定截面内力计算指定截面内力计算：沿欲求截面内力处假想截开暴露内力，：沿欲求截面内力处假想截开暴露内力，选外力较少部分为隔离体，隔离体上已知力按实际方向示选外力较少部分为隔离体，隔离体上已知力按实际方

6、向示出，未知力设为正号方向，由平衡方程确定内力出，未知力设为正号方向，由平衡方程确定内力。FAyFAxX = 0FNx=0Y = 0FSk=FP/2FPll/2ABCmk = 0Mk= -FPl/4FSkFNkMkk第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力、截面法求截面内力xdxd)(xq隔离体隔离体)(ddxqxFSSFxMdd)(dd22xqxM )(xqPF)(SxFSSd)(FxF)(xMMxMd)( 2、内力与荷载之关系、内力与荷载之关系第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力、截面法求截面内力)(ddxqxFSSFxMdd2、内力

7、与荷载之关系、内力与荷载之关系第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算梁上荷载梁上荷载剪剪 力力 图图弯弯 矩矩 图图无荷载段无荷载段均布荷载段均布荷载段 集中力点集中力点集中力偶集中力偶1、截面法求截面内力、截面法求截面内力平轴直线平轴直线斜直线斜直线斜直线斜直线抛物线抛物线有突变有突变有突变有突变无变化无变化有折点有折点2、内力与荷载之关系、内力与荷载之关系第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算一般一般为斜为斜直线直线水平线水平线抛物线抛物线(下凸下凸)有尖角有尖角(向下）向下） 有突变有突变(突变值突变值=P)无变化无变化 有突变有突变（突变（突变 值值=M）剪力图剪力图弯

8、矩图弯矩图梁上梁上情况情况无外力无外力均布力作用均布力作用 (q向下向下)集中力作用集中力作用处处(P向下向下)集中力集中力偶偶M作作用处用处铰处铰处无无影影响响为零为零斜直斜直线线 iBFdxxqFFPBAQAQ)( iABmdxxFMM)(BAQB 端剪力等于端剪力等于A 端端剪力减去该段荷载剪力减去该段荷载q 图的面积，再减图的面积，再减去集中力的和。去集中力的和。B 端弯矩等于端弯矩等于A 端端弯矩加上该段剪力弯矩加上该段剪力图的面积，再加上图的面积，再加上集中力偶的和。集中力偶的和。ABPFmqFQAFQBMAMB作内力图的一般步骤作内力图的一般步骤 ( (1) ) 求支座反力。（有

9、时可不用先求出来）求支座反力。（有时可不用先求出来）( (2) ) 选择控制截面选择控制截面。( (3) ) 计算控制截面的内力值，计算控制截面的内力值，( (截面法截面法) ) 根据梁段上荷载的情况把各相邻控制截面点连根据梁段上荷载的情况把各相邻控制截面点连线即成相应的剪力图和弯矩图。线即成相应的剪力图和弯矩图。 控制截面是指荷载不连续的点。控制截面是指荷载不连续的点。( (5) )内力图形状特征的校核。内力图形状特征的校核。( (4) ) 分段绘制内力图。分段绘制内力图。 例 用截面法求作简支梁的内力图。解：(1)求支座反力。kN 44yAFkN 63yBF (3)计算各控制截面的内力值。

10、 (2)将梁分段，A、C、D、E、G、B 点为控制截面点。 BACDE32 kN m2 m2 m2 m2 m4 m15 kN/m44 kN36 kNG20 kN注意： 1）集中力作用的截面其左、右两侧的剪力是不同的，两侧相差的值就是该集中力的大小。 2）集中力偶作用截面的两侧弯矩值也是不同的，其差值就是集中力偶的大小。 3）各截面的剪力等于截面左边所有各力在垂直于杆轴方向投影的代数和。kN 44SAFkN 44S左CFkN 242044S右CFkN 242044SDFkN 364152044SEFkN 364152044SBFBACDE32 kN m2 m2 m2 m2 m4 m15 kN/m

11、44 kN36 kNG20 kN 计算各控制截面的弯矩，各截面的弯矩等于该截面左边所有各力对截面形心力矩的代数和。0 AMmkN 88244 CMmkN 136202444 DMmkN 1122415620844 EMmkN 4044158201044 左GMmkN 723244158201044 右GM0 BMBACDE32 kN m2 m2 m2 m2 m4 m15 kN/m44 kN36 kNG20 kN881361127230M图(kNm)24 kN36 kN44 kN+_DEBCAFS图（kN）H（4）作内力图。40BACDE32 kN m2 m2 m2 m2 m4 m20 kN15

12、 kN/m44 kN36 kNG(5) 计算分布荷载作用梁段的弯矩最大值。mkN 155.21.6211.6151.6)(2201.6)4(44 HM DE段梁的弯矩最大截面就在剪力为零处，剪力为零的截面H的位置可由比例求出，其值为 xH =1.6 m 。最大弯矩 MH 为：24 kN36 kN44 kN+_DEBCAFS图HBACDE32 kN m2 m2 m2 m2 m4 m20 kN15 kN/m44 kN36 kNG1、截面法求截面内力、截面法求截面内力2、内力与荷载之关系、内力与荷载之关系3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图分段叠加法的理论依据：构件足线弹性、小变形分段叠加法的

13、理论依据：构件足线弹性、小变形简支梁熟记弯矩图简支梁熟记弯矩图2M2MM82qlq4lFPFP第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算FP aFPlabABBAFlabFab lBAqlql2 8mBAablm l a lm b lmm l3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图4PlAMBMBMAM做法：做法：先在梁端绘弯矩竖标先在梁端绘弯矩竖标过竖标顶点连直虚线过竖标顶点连直虚线以虚线为基础叠加相应以虚线为基础叠加相应简支梁弯矩图简支梁弯矩图FPMBMAa. a. 简支梁弯矩叠加法简支梁弯矩叠加法复杂的弯矩图是由几个复杂的弯矩图是由几个简单的图形叠加合成的简单的图形叠加合成的第一节

14、第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算qABBA=AqB+MAMBMAMBMAMB注意注意： 弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合；弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合； 要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩图；要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩图； 利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯矩图；利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯矩图； 利用叠加法可以少求控制截面的弯矩；利用叠加法可以少求控制截面的弯矩； 问题越复杂外力越多，叠加法的优越性越突出。问题越复杂外力越多，叠加法的优越性越突出。 3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图a. a. 简支梁弯矩叠加法简支梁弯矩叠加法

15、FPFPl/4FPl/4l/2l/2MMMl/2l/2练习：练习：绘制简支梁弯矩图绘制简支梁弯矩图第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图a. a. 简支梁弯矩叠加法简支梁弯矩叠加法练习：练习：绘制简支梁弯矩图绘制简支梁弯矩图ql2/8ql2/8qlql2/8ql2/8ql第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图a. a. 简支梁弯矩叠加法简支梁弯矩叠加法PF)(xqABABFPAFSBFSAMBMABPFAMBMAyFByF两者内力两者内力相同？相同？b. b. 分段叠加法作弯矩图分段叠加法作弯矩

16、图第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图ql/2l/2qM0FAyFByFAyM0FOy 例题：例题：绘制图示梁的弯矩图绘制图示梁的弯矩图第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算qlFAy83 qlFBy81 20161qlM 22183qxqlxM 0dd xMlx83 21289qlM max3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图分析步骤 确定控制点确定控制点 分析各段内力图走势分析各段内力图走势 求控制截面内力求控制截面内力 绘控制截面间内力图绘控制截面间内力图 确定弯矩最大点位置及确定弯矩最大点位置及最大值最大值ql/2l/2

17、qM0FAyFByFAyM0FOy 例题：例题：绘制图示梁的弯矩图绘制图示梁的弯矩图第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图 例题例题：绘制图示梁的弯矩图：绘制图示梁的弯矩图 分析分析 该简支梁弯矩控制截面为：该简支梁弯矩控制截面为：D、F叠加法求作弯矩图的关键是叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值计算控制截面位置的弯矩值第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算kN8kN/m4m6kN12m2m1m 1m1m 1mABCDEFG3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图 解解 （1 1）先计算支座反力）先计算支座反力（2 2）求

18、控制截面弯矩值）求控制截面弯矩值17kN7 kNMD = 26kNmMF = 30kNm第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算kN8kN/m4m6kN1 3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图 解解 （1 1）先计算支座反力）先计算支座反力（2 2）求控制截面弯矩值）求控制截面弯矩值（3 3）绘内力图）绘内力图第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算2630237171797 kN8kN/m4m6kN117kN7 kNMD = 26kNmMF = 30kNmM图(kNm)FS图(kN)3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图练习：练习：绘制图示梁内力图绘制图示梁内力图ql/

19、2l/2l/2第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算l/2l/2l/2221qlqABCABCD3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图练习：练习：绘制图示梁内力图绘制图示梁内力图221qlql/2l/2l/2l/2l/2l/2qFP第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算 例题例题：绘制图示梁的弯矩图：绘制图示梁的弯矩图力偶不影响剪力1m1m4m1m 1m2m不不可可简简称称K截截面面剪剪力力斜率相等斜率相等剪力等于零处弯矩为极值点剪力等于零处弯矩为极值点相切相切x=17/846.062529171510FS图图(kN)25kN29kN10kN12kN22kN.m18kN.m

20、8kN/mK181128321720M图图(kNm)537 / 51 例题例题：绘制图示梁的弯矩图：绘制图示梁的弯矩图1m1m2m2m4m40kN160kN80kN.m40kN/m斜率相等不相S图图(kN)340130210280160M图图(kNm)310kN130kN3、分段叠加法作弯矩图、分段叠加法作弯矩图 MM图图FS图图第一节第一节 单跨静定梁的计算单跨静定梁的计算FS图图 MFR1FR2FR2 一定大于零；一定大于零；FR1 可能大于零、等于零或可能大于零、等于零或小于零；小于零；FR1 0 时时FR1 = 0 时时FR1 0 时时FR1 = 0 时时FR

21、1 0 时时FR1FR2FPMFR1 可能大于零、等于零或可能大于零、等于零或小于零；小于零；M图图FS图图FS图图M图图M图图第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算1. 多跨静定梁的组成多跨静定梁的组成第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算1. 多跨静定梁的组成多跨静定梁的组成由若干单跨梁通过铰连接而成，并由若干支座与基由若干单跨梁通过铰连接而成，并由若干支座与基础连接而组成的静定梁，是桥梁和屋盖系统中常用础连接而组成的静定梁，是桥梁和屋盖系统中常用的一种结构形式。的一种结构形式。2. 构造特点构造特点3. 组成顺序组成顺序基本部分基本部分 附属部分附属部分层次图层次图第二节

22、第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算1. 多跨静定梁的组成多跨静定梁的组成2. 构造特点构造特点3. 组成顺序组成顺序4. 传力关系传力关系力作用在基本部分上时，仅在自身上产生内力和弹性力作用在基本部分上时，仅在自身上产生内力和弹性变形，附属部分不受力，但可以有刚体位移变形，附属部分不受力，但可以有刚体位移力作用在附属部分上时，可使自身和基本部分上均产力作用在附属部分上时，可使自身和基本部分上均产生内力和弹性变形生内力和弹性变形力的传力顺序与组成顺序相反。力的传力顺序与组成顺序相反。第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算1. 多跨静定梁的组成多跨静定梁的组成2. 构造特点构造特点3

23、. 组成顺序组成顺序4. 传力关系传力关系由平衡条件可以求出全部反力和内力，但为了避免解由平衡条件可以求出全部反力和内力，但为了避免解联立方程，计算顺序应与传力顺序相同，即先计算附联立方程，计算顺序应与传力顺序相同，即先计算附属部分后计算基本部分。属部分后计算基本部分。5. 计算原则计算原则第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算1. 多跨静定梁的组成多跨静定梁的组成2. 构造特点构造特点3. 组成顺序组成顺序4. 传力关系传力关系5. 计算原则计算原则6. 计算步骤计算步骤 把多跨静定梁拆成一系列单跨静定梁，先计算附属部分；把多跨静定梁拆成一系列单跨静定梁，先计算附属部分； 将附属部分

24、的反力反向地加在基本部分上，作为基本部分将附属部分的反力反向地加在基本部分上，作为基本部分上的外载，再计算基本部分；上的外载，再计算基本部分； 最后把各单跨静定梁的内力图连在一起即多跨静定梁的内最后把各单跨静定梁的内力图连在一起即多跨静定梁的内力图。力图。计算关键计算关键正确区分基本结构和附属结构，正确区分基本结构和附属结构，计算按先附后基次序；熟练掌计算按先附后基次序；熟练掌握单跨静定梁的绘制方法握单跨静定梁的绘制方法 例题例题：绘制图示梁的内力图：绘制图示梁的内力图120kN40kN/m60kN60kN235kN145kN8m2m3m3m120kN40kN/mKABCD第二节第二节 多跨静

25、定梁的计算多跨静定梁的计算120kN40kN/mKABCDM图图(kNm)260120180FS图图(kN)1456060175 练习：练习：绘制图示梁内力图绘制图示梁内力图3m3m20kN2kN/m2m2m2m2m4m10kNABCDEF第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算练习：练习：绘制图示梁内力图绘制图示梁内力图3m2m5kN/m2m2m2m2m5m10kN10kN20kNm第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算多跨度梁形式多跨度梁形式并列简支梁并列简支梁多跨静定梁多跨静定梁超静定连续梁超静定连续梁为何采用多跨为何采用多跨静

26、定梁这静定梁这种结构型式种结构型式?第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算考察静定多跨梁最大正弯矩和最大负弯矩，并确定铰考察静定多跨梁最大正弯矩和最大负弯矩，并确定铰 D 处于什么处于什么位置时跨间的最大正弯矩与支座位置时跨间的最大正弯矩与支座 B 截面的负弯矩的绝对值相等。截面的负弯矩的绝对值相等。)(21xlq )(21xlq ABCDqll - xxABCD第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算考察静定多跨梁最大正弯矩和最大负弯矩，并确定铰考察静定多跨梁最大正弯矩和最大负弯矩，并确定铰 D 处于什么处于什么位置时跨间的最大正弯矩与支座位置时跨间的最大正弯矩与支座 B 截面

27、的负弯矩的绝对值相等。截面的负弯矩的绝对值相等。qll - xxABCD2)(81xlq 221)(21qxxxlq 2281212)(xlqqxxxlq lx0.172 令令max2max0.086正正负负MqlM 第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算考察静定多跨梁最大正弯矩和最大负弯矩，并确定铰考察静定多跨梁最大正弯矩和最大负弯矩，并确定铰 D 处于什么处于什么位置时跨间的最大正弯矩与支座位置时跨间的最大正弯矩与支座 B 截面的负弯矩的绝对值相等。截面的负弯矩的绝对值相等。qll - xxABCDqABC2max0.086qlM 2max1250.qlM M2M168601250

28、0860. 伸臂梁产生的负伸臂梁产生的负弯矩削减了弯矩弯矩削减了弯矩峰值，使梁内弯峰值，使梁内弯矩分布更均匀，矩分布更均匀，从而节省材料。从而节省材料。 但构造相对复杂，但构造相对复杂，且当基本部分破且当基本部分破坏时附属部分随坏时附属部分随之失效之失效第二节第二节 多跨静定梁的计算多跨静定梁的计算可利用叠加法直接作弯矩图可利用叠加法直接作弯矩图（计算由附属部分开始）计算由附属部分开始）由弯矩图直接作剪力图由弯矩图直接作剪力图（但由剪力图无法唯一确定弯矩图。（但由剪力图无法唯一确定弯矩图。除非补充条件）除非补充条件）讨论讨论：在已知在已知结构结构和和荷载荷载的情况下的情况下1、弯矩图直线段通过微分关系计算该段剪力：由轴线向、弯矩图直线段通过微分关系计算该段剪力：由轴线向弯矩图旋转，如方向为顺时针则剪力为正，反之为负。弯矩图旋转，如方向为顺时针则剪力为正，反之为负。2、弯矩图曲线段通过平衡关系叠加计算控制点剪力，再、弯矩图曲线段通过平衡关系叠加计算控制点剪力，再连直线即可。连直线即可。由剪