第二章 信号检测理论与准则 作业评讲

1、信号检测与估计作业讲解（一）作业讲解（一） 雷霞雷霞通信抗干扰技术国家级重点实验室通信抗干扰技术国家级重点实验室2022-4-2622022-4-262小结小结(1/5)4假设检验假设检验1双择检测及其最佳准则双择检测及其最佳准则2M元信号检测及其最佳准则元信号检测及其最佳准则36小结小结(2/5) 基本问题基本问题对对 的的 个观测样本个观测样本 ，向量，向量 统一的检测原则：统一的检测原则：似然比检测似然比检测 统一的检测器结构统一的检测器结构2022-4-263 0011:Hx tstn tHx ts tn t12,Nx xx x tN12,TNx xxx 10100DDpHpHxxx似

2、然比似然比门限门限小结小结(3/5) 不同的准则，所需要的先验信息和确定门限不同的准则，所需要的先验信息和确定门限 的方法的方法不同。不同。1. Bayes准则：准则：2. 最小错误概率和最大后验概率（最小错误概率和最大后验概率（MAP）准则）准则2022-4-264001000010111P HCCP HCC 先验信息：先验信息：先验概率先验概率P(Hi)代价因子代价因子Ci,j似然函数似然函数001P HP H 先验信息：先验信息：似然函数似然函数先验概率先验概率P(Hi)C0,0=C1,1=0 C0,1=C0,1=1(最小错误概率最小错误概率)C0,1=C0,1(MAP)小结小结(4/5

3、)3. 最大似然（最大似然（ML）准则）准则在在MAP准则中，准则中， ，则，则4. 极大极小（极大极小（minmax）准则）准则在在Bayes风险（最小风险）中，改变风险（最小风险）中，改变P(Hi)，找出最大的，找出最大的风险（极大）风险（极大）2022-4-265011()2P HP H01 10100101C P D HC P D H0 x分界01000pHpH xx先验信息：先验信息：似然函数似然函数代价因子代价因子Ci,jC0,0=C1,1=0小结小结(5/5) 纽曼纽曼-皮尔逊（皮尔逊（N-P）准则）准则虚警概率虚警概率 已知，已知，2022-4-26610fPP D H00fP

4、pH dxxx0 x分界01000pHpH xx先验信息：先验信息：似然函数似然函数C0,0=C1,1=0 71.11.1 设噪声均方差为设噪声均方差为 代价为代价为 信号存在的先验概率信号存在的先验概率P=0.2.试确定贝叶斯意义下最佳门限试确定贝叶斯意义下最佳门限 ，并计，并计算出相应的平均风险。算出相应的平均风险。解解（1）确定贝叶斯意义下最佳门限确定贝叶斯意义下最佳门限 ： 对于两种假设下的条件概率密度函数为对于两种假设下的条件概率密度函数为 则似然比则似然比 由贝叶斯准则得由贝叶斯准则得 2222(1)220111( |); ( |)22xxp x Hep x He221120( |

5、)( )( |)xp x Hxep x H01000010111(1)()8()fmpcp Hccp Hccp c 211212200001( )8ln8.8182xHHxexHH 021:,(0,):1,HxnnNHxn 22,1fmcc8（2）计算相应的平均风险：）计算相应的平均风险：平均风险公式：平均风险公式：计算相应的虚警概率：计算相应的虚警概率： 漏报概率：漏报概率：带入平均风险公式可得所求带入平均风险公式可得所求 1001011010()(1)()RP rQrP cP D HPcP D H100()( |)(4.41)P D Hp x Hdxerfc011()( |)(3.91)P

6、 D Hp x H dx(4.41)(1 0.2) 20.2 10.23.91)Rerfc 查表查表91.3只用一次观测只用一次观测x来对下面两个假设做选择，来对下面两个假设做选择，H0：样本：样本x为零均为零均值、方差为值、方差为 的高斯变量，的高斯变量，H1：样本：样本x为零均值、方差为零均值、方差 的的高斯变量，且高斯变量，且（1）根据观测结果）根据观测结果x，确定判决区域，确定判决区域D0和和D1（2）画出似然比接收机框图。）画出似然比接收机框图。 H1为真而选择为真而选择H0的概率如何？的概率如何？解解（a）（根据观测结果）（根据观测结果x，确定判决区域和，确定判决区域和D0和和D1

7、 ） 由题可知由题可知两种假设下的条件概率密度函数两种假设下的条件概率密度函数：则相应的似然比为则相应的似然比为将上式两边取自然对数化简后可得：将上式两边取自然对数化简后可得： 可得判决区域为：可得判决区域为：2021221022220122010111( |); ( |)22xxp x Hep x He212201011()201001( |)( )( |)HxHp x Hxep x H1222220101102210002ln,()HxH 01:;:;DDorxxx 10（b）画出）画出似然比接收框图似然比接收框图如下：如下：题中所述即求漏报概率题中所述即求漏报概率022101121111

8、()( |)1 2 ()()2 () 1DxP D Hp x H dxedx111.41.4设计一个似然比校验，对下面两个假设做选择设计一个似然比校验，对下面两个假设做选择（1 1）假定）假定 ，确定判决区域，确定判决区域DD0 0和和DD1 1（2 2）应用纽曼）应用纽曼- -皮尔逊准则，并设皮尔逊准则，并设 ，则判决区域如何？，则判决区域如何？解解（1）由似然比定义和题设可知）由似然比定义和题设可知：题目所给概率密度函数参数未确定，分别讨论题目所给概率密度函数参数未确定，分别讨论：(a)当当 时，此时时，此时判决区域：判决区域： D0： , D1 ：(b)由由 的偶函数性质，当的偶函数性质

9、，当 时（时（此种情况不成立此种情况不成立）判决区域：判决区域： 221221100,(| 1)1:( ), :( )0,()2xxHp xeHp xelse01 10()P D H10100( |)( )1( |)HHp x Hxp x H 111(0)22p1max0( )( ),(| 1)p xpxx| 1x 1( )p x111(1)( 1)2pp10( )( )p xp x01: ,:DD| 1x 12（c）两函数有交叠部分，即）两函数有交叠部分，即 时，可知临界点时，可知临界点 （ 选取使选取使判决区域：判决区域：（2）由纽曼）由纽曼-皮尔逊准则，应满足虚警概率的约束条件，即皮尔逊

10、准则，应满足虚警概率的约束条件，即由于由于(a)(b)两种情况判决区域与门限选取无关，则针对第三种情况两种情况判决区域与门限选取无关，则针对第三种情况可知可知 ，则此时的判决区域应为：，则此时的判决区域应为：1111(0)21(1)( 1)2ppp222ln2x (0,1)01:| 1,:| 1|DxDxor x1100()( |)DP D Hp x Hdx1100001120()( |)( |)( |),(| 1)( |)0,()P D Hp x Hdxp x H dxp x Hdxxp x Helse01:| 1:| 1|DxDxor x131.7根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假

11、设做判断根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断H1：x(t)=1+n(t), H2: x(t)=n(t)设设n(t)为零均值和功率为零均值和功率 的高斯过程，且的高斯过程，且c00=c11=0,c10=c01=1。求。求（1）判决门限）判决门限（2）与）与 相应的各假设先验概率。相应的各假设先验概率。解：解：(a)判决门限判决门限 ： 由题设可得相应假设的似然函数由题设可得相应假设的似然函数 则相应的似然比为则相应的似然比为 由极大极小化检验准则：两类错误的平均代价相等由极大极小化检验准则：两类错误的平均代价相等 代入题设条件，即代入题设条件，即 （虚警概率（虚警概率=漏报概率）漏

12、报概率） 则有则有 由例题由例题2结论结论 并代入假设对应的似然函数可得：并代入假设对应的似然函数可得： 由正态分布函数性质可得：由正态分布函数性质可得： 得到判决门限为得到判决门限为22222(1)221011( |), ( |)22xxp x Hep x He221120( |)( )( |)xp x Hxep x H10100101()()cP D HcP D H1001()()P D HP D H1001( |)( |)DDp x Hdxp x H dx22(1)221122xxedxedx11()()()0.52022年4月14（b）求）求 相应的各假设的先验概率：相应的各假设的先验

13、概率：将（将（a）中所得到判决门限代入判决式得到）中所得到判决门限代入判决式得到又又 且且 （假设的（假设的完备性）完备性）得到假设的先验概率为得到假设的先验概率为22120( )e 01000010111()()p Hccp Hcc 10()()1p Hp H011()()2p Hp H01 151.9设两种假设为：设两种假设为： H1：x(t)=2+n(t), H2: x(t)=n(t)，其中，其中n(t)为零均值、方差为零均值、方差为为2的高斯白噪声。根据的高斯白噪声。根据M个独立样本个独立样本xi(i=1,2,M)应用纽曼应用纽曼-皮尔逊准则进皮尔逊准则进行检验，令行检验，令P(D1|

14、H0)=0.05,试求：试求：(1)最佳判决门限最佳判决门限(2)相应的检测概率相应的检测概率P(D1|H1).解：解：（a）求最佳判决门限）求最佳判决门限由题设可写出单个样本所对应的似然函数为：由题设可写出单个样本所对应的似然函数为：由于样本相互独立且服从正态分布，则可得此时依据由于样本相互独立且服从正态分布，则可得此时依据M个独立样本所得样本的个独立样本所得样本的似然函数为：似然函数为：则判决准则为则判决准则为将上式两边取对数进行整理后，得：将上式两边取对数进行整理后，得：将将 作为判决统计量与门限进行对比作为判决统计量与门限进行对比2222(2)220111(|); (|)22iixxiip xHep xHe11(1)11001(|)( |)( )( |)(|)MiiMixiMjjp xHp x Hxep x Hp xH1001( )exp(1)HMiiHxx100111ln1HMiiHxMM 11MxiimxM16由于高斯分布函数的线性组合仍为正态分布，则我们可以得到由于高斯分布函数的线性组合仍为正态分布，则我们可以得到 在两在两种假设下的似然函数：种假设下的似然函数：由题设由题设 和