大学物理：2第二讲 电场强度计算续、高斯定理

1、yxoxz1例例3 3：半径为半径为R的圆环均匀带电（总电量为的圆环均匀带电（总电量为q ），求圆），求圆环中心轴线上距离环心为环中心轴线上距离环心为x的的p点处的场强。点处的场强。解：解：分割带电体，取分割带电体，取cos/x r304qxEir20cos24Rr/20cos4LdlEEr0E/cossindEdEdEdE220044dqdldErr: dldqdl2qRrRdldE/dEdEp2讨论：讨论：1.1.圆环中心电场为零圆环中心电场为零无论带电体形状如何，在离其足够远处均可视为无论带电体形状如何，在离其足够远处均可视为点电荷。点电荷。rxpoxyzRExRpo202.: 4pqx

2、REix223/204()qxEiRx0:0oxEorxxp3例例4 4：半径为半径为R的簿圆盘均匀带电，面电荷密度为的簿圆盘均匀带电，面电荷密度为 。求中心轴线上一点求中心轴线上一点 p处的电场强度。处的电场强度。解：解：将圆盘分割成许多带将圆盘分割成许多带电细圆环，其电量电细圆环，其电量细圆环电场细圆环电场223/2223/20024()2()rxdrrxdrrxrx 223/204()dqxdErx2dqdsrdr pEldr4无限大均匀带电平板电场无限大均匀带电平板电场等效于无限大平板电场等效于无限大平板电场讨论：讨论：xxpolpEr02E2. 0 x 02E1. R 220(1)2

3、xEiRx22223/200()22()Rxd rxEdErx223/202()rxdrdErx5推论推论两带等量异号均匀分布电荷两带等量异号均匀分布电荷的无限大平行的无限大平行板的空间电场分布（板的空间电场分布（电荷面密度电荷面密度 ）：证明：证明：( (两板之间两板之间) )( (两板外侧两板外侧) )00 E02020200E 0E xxpo6例：例：电荷面密度为电荷面密度为+ 的的无限大均匀带电平板，其中无限大均匀带电平板，其中部有一宽为部有一宽为a的细狭缝，求的细狭缝，求x轴上一点轴上一点p处的电场强度。处的电场强度。 解：解：用补偿法用补偿法p点电场为带点电场为带+ 的无限大的无限

4、大均匀带电平板电场与带均匀带电平板电场与带- 的无限长均匀带电直线电的无限长均匀带电直线电场之和，即场之和，即EEE000(1)222axxaEE7扩展：扩展：若上题中，无限大均匀带电平板中间有一半若上题中，无限大均匀带电平板中间有一半径为径为R的圆洞，求的圆洞，求x轴上一点轴上一点 p处的电场强度。处的电场强度。 提示：提示：用补偿法用补偿法EEE板板孔孔xxpoE板板E孔孔8解：解：例：例：半径为半径为R、圆心角为、圆心角为 0的一段圆弧上均匀分布有电的一段圆弧上均匀分布有电量量q，求圆心，求圆心o处的电场强度。处的电场强度。根据对称性知根据对称性知o处电场：处电场：建立如建立如图坐标图坐

5、标00qqdqdlRddR22044dqqdEdRRcosxxEEdEdE0yyEdE0022020cossin(/ 2)4(/ 2)xEEdEqRxyRo0dqdEdEdEdEoxy9例：例：半径为半径为R的半圆型均匀带电线，其上半部电量为的半圆型均匀带电线，其上半部电量为-Q，下半部电量为，下半部电量为+Q，求圆心，求圆心o处的电场强度的大小处的电场强度的大小和方向。和方向。解：解：根据上例结果知，上下两部分产生的电场大小相根据上例结果知，上下两部分产生的电场大小相等，相对于等，相对于 y 轴对称。轴对称。方向沿正方向沿正 y 方向。方向。222cos4yQEEER 0 xE 2sin(/

6、4)4(/4)QEER-+REEE10曲线上每一点切线方向代表该点电场强度的方向。曲线上每一点切线方向代表该点电场强度的方向。垂直通过某点处单位面积的电力线数目（称电力垂直通过某点处单位面积的电力线数目（称电力 线数密度）等于该点的电场强度值：线数密度）等于该点的电场强度值：一、电场线一、电场线（电场强度的图示法电场强度的图示法）5-3 5-3 电场线、电通量、高斯定理电场线、电通量、高斯定理电场线特征电场线特征起始于正电荷或无穷起始于正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远。远，终止于负电荷或无穷远。任何两条电力线不相交。任何两条电力线不相交。电力线疏密的不同，反映出场强强弱的不同。电力线疏密的

7、不同，反映出场强强弱的不同。 endEdSEdsed n11二、电通量二、电通量通过某一曲面的电力线数，叫做通过某一曲面的电力线数，叫做通过该曲面的电通量。记为通过该曲面的电通量。记为“ e”.电通量的计算电通量的计算通过闭合曲面的电通量通过闭合曲面的电通量规定：规定：曲面正法线由曲面指向外曲面正法线由曲面指向外 eSE dS eSE dS edE dS endEdSEdssEdsqs12解：解：球面上的电场强度球面上的电场强度例：例：点电荷点电荷q位于球面内球心处，求通过该球面的位于球面内球心处，求通过该球面的电通量。电通量。220044qqRR204SqdSR204eSSqE dSdSR

8、204qErREqsR13在电场中，穿出任一闭合曲面的电通量在电场中，穿出任一闭合曲面的电通量 e e等于该曲等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以面所包围的所有电荷的代数和除以 0 0，而与闭合面外，而与闭合面外的电荷无关，即的电荷无关，即三、高斯定理三、高斯定理例：在右图情况下例：在右图情况下123401()qqqqeSE dS 01 eiSSE dSq 面面内内S6q5q4q3q2q1q141. 1.仅有一个点电荷仅有一个点电荷点电荷在点电荷在S面内：面内：点电荷在点电荷在S面外：面外：证明：证明：0eSE dS 0SqE dSeSE dS EqsEqns12121212nnnn knS

9、SSnnn kSSSE dSEdSEdSEdSEdSEdS152. 2. S面内有面内有n个电荷；个电荷；S面外有面外有 共共 个电荷。个电荷。101niiq20q10q12()n kSEEEdSeSE dS 00 0nqS6q5q4q3q2q1q1, nnkk16S面内、外所有电荷面内、外所有电荷在在S面上产生的场强面上产生的场强S面内电荷代数和面内电荷代数和讨论讨论高斯定理是说明静电场基本性质的方程高斯定理是说明静电场基本性质的方程 静电场是有源场静电场是有源场当当S面内只有正电荷面内只有正电荷,从从S面内发出正通量面内发出正通量;正电荷称为源头，负电荷称为负源头（尾闾）。正电荷称为源头，

10、负电荷称为负源头（尾闾）。当当S面内只有负电荷面内只有负电荷,有通量进入有通量进入S面内。面内。0,e 0,e 01eiSSE dSq 内内Eqs而电场而电场E则是则是S面内、外所有电荷在面内、外所有电荷在S面上各点所面上各点所 产生的总场强。产生的总场强。 公式中，公式中， qi只是只是S面内所有电荷的代数和。面内所有电荷的代数和。17四、利用高斯定理计算具有对称性的电场四、利用高斯定理计算具有对称性的电场适用条件：适用条件： 所作的高斯面上，电场强度处处相等或者分区域所作的高斯面上，电场强度处处相等或者分区域相等，则相等，则并且并且S是一个简单易求的曲面，因而：是一个简单易求的曲面，因而：

11、此类电场通常具有轴对称、球对称性或为均匀场。此类电场通常具有轴对称、球对称性或为均匀场。01cosiSSqEdS内内01cosiSSSqE dSEdS内内18例例1 1：求电量为求电量为q，半径为，半径为R 的均匀带电球壳在空间的均匀带电球壳在空间各点产生的电场。各点产生的电场。解：解：由对称性可知，该球壳产生的由对称性可知，该球壳产生的电场以球心电场以球心o为中心作球对称分布为中心作球对称分布.1. 1.球外电场：球外电场：作半径作半径r的高斯球面的高斯球面依高斯定理：依高斯定理：或或30( )4qE rrr20( )4qE rrr01SEdSq01cos0iSSEdSq内内01iSSE d

12、Sq内内()Rr ERoqrERoq192. 2. 球内电场：球内电场：在球内作半径在球内作半径r的高斯球面的高斯球面球内、外电场分布：球内、外电场分布：球壳外电场等效于电量集中球壳外电场等效于电量集中 于球心的点电荷的场。于球心的点电荷的场。r200 0 4rREqrRrr 0E010iSSE dSq内内(0)rRREro20例例2 2：求电量为求电量为q，半径，半径R的均匀带电球体的电场分布。的均匀带电球体的电场分布。 解：解：球内、外电场均为球对称分布。球内、外电场均为球对称分布。1. 1. 球外电场：球外电场：对球面对球面S运用高斯定理得运用高斯定理得2. 2.球内电场：球内电场：作半

13、径为作半径为r的高斯球面的高斯球面SS面外的电荷对面外的电荷对S面的电通量贡献为零。面的电通量贡献为零。对对S面运用高斯定理得面运用高斯定理得30001143rrSqEdSVr(0)rR20 ()4qErRrr 0/SEdSqqRoSroqRrS212030 4( ) 04qrRrrE rqrrrRR 30 (0)4qrErrRR2330144(4/3)3qErrR30143SEdSrERorox22例例3 3：求电荷面密度为求电荷面密度为+ + 的的无限大带电平板的电场。无限大带电平板的电场。 由对称性分析可知，该电场以带电平板为对称由对称性分析可知，该电场以带电平板为对称面，在其两侧作面对

14、称分布，且电场垂直于平板。面，在其两侧作面对称分布，且电场垂直于平板。解：解：EEabcd23作垂直于带电板的高斯圆柱面，依高斯定理有作垂直于带电板的高斯圆柱面，依高斯定理有0|2xEix0 2E22012ESS2233202E SE SES12311223301iSSSSSqE dSEdSEdSEdS内内2S3S1SoxE1S1SEnE2S3Snrro24例例4 4：求无限长均匀带电求无限长均匀带电圆柱体的电场分布，设其圆柱体的电场分布，设其单单位长度电量为位长度电量为 。解：解：1. 1.对称性分析对称性分析从横切平面看：从横切平面看：沿轴向看沿轴向看结论：结论：电场无轴向分量，而在横向具

15、电场无轴向分量，而在横向具有轴对称性。同一半径有轴对称性。同一半径r上各点上各点场强相等，方向沿径向。场强相等，方向沿径向。ororEpprE252. 2. 以轴线为中心，在带电圆柱体外作半径为以轴线为中心，在带电圆柱体外作半径为r、高为、高为 l的圆柱形高斯面的圆柱形高斯面S，则，则 柱外电场等效于轴线处的无限长带电直线的场。柱外电场等效于轴线处的无限长带电直线的场。由高斯定理得由高斯定理得0()2ErRrr 00112iSErlql内内2SEdSE SErl侧侧侧侧SSSSE dSE dSE dSE dS上上下下侧侧S上上S下下S侧侧lr263. 3. 在圆柱内作半径为在圆柱内作半径为r、高为