GW18_梁的剪力图与弯矩图

1、yyyy年年M月月d日日 火车车轴可以简化为两端外伸梁火车车轴可以简化为两端外伸梁 可以简化为简支梁的吊车大梁可以简化为简支梁的吊车大梁 ，000CyxMFFC 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；件上的外力相平衡； 在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；规律变化；FQFQ5.2.3 剪力和弯矩的正负号规则剪力和弯矩的正负号规则5.2.4 截面法确定指定横截面上截面法确定指定横截面上的剪力和弯矩的剪力和弯矩00，MFy应用截面法确定某一个指定横截面上的剪力和弯矩，首先，需要用假

2、想横截面从指定横截面处将梁截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。5.2.4 截面法确定指定横截面上截面法确定指定横截面上的剪力和弯矩的剪力和弯矩【例题例题5.1】 图示之一端固定另一端自由的悬悬臂梁臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所示。试确定截面C及截面D上的剪力 解：解：1求截面C上的剪力和弯矩 用假想截面从截面C处将梁截开，取右段为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQC和弯矩MC的正方向，如图（b）所示。由平衡方程00PQ，FFFCy00P，lFMMMOCCPQFFClFlFlFlFMMOCPP

3、PP2 解：解：2求截面D上的剪力和弯矩从截面D处将梁截开，取右段为研究对象。假设D、B两截面之间的距离为，由于截面D与截面B无限接近，且位于截面B的左侧，故所截梁段的长度。在截开的横截面上标出剪力FQD和弯矩MD的正方向，如图（c）所示。由平衡方程QDPFF00PQ，FFFDy00P，FMMDD00PPFFMD【例题例题5.1】 图示之一端固定另一端自由的悬臂梁悬臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所示。试确定截面C及截面D上的剪力 在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x的函数。梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变而发生变化。

4、描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程，分别称为剪力方程剪力方程(equation of shearing force)和弯矩方弯矩方程程(equation of bending moment)。【例题例题5.2】 图示之一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。试写出该梁的剪力方程和弯矩方程。 解：解：1确定约束力确定约束力 因为只有铅垂方向的外力，所以支座因为只有铅垂方向的外力，所以支座A的水平约束的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支力等于零。又因为梁的结

5、构及受力都是对称的，故支座座A与支座与支座B处铅垂方向的约束力相同。于是，根据处铅垂方向的约束力相同。于是，根据平衡条件不难求得：平衡条件不难求得：ABFFql2. 确定控制面和分段因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。3建立Axy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Axy坐标系，如图a所示。4确定剪力方程和弯矩方程以A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQ(x)和弯矩M(x)的正方向，如图（b）所示。由左

6、段梁的平衡条件 00QRxFqxFFAy, 020R，xqxxFxMMA据此，得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为 QR02AFxFqxqlqxxl lxqxqlxxM2022这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。BA简支梁受力的大小和方向如图示。简支梁受力的大小和方向如图示。例题例题21kN.m2kN1.5m1.5m1.5m 试画出：试画出：其剪力图和弯矩图其剪力图和弯矩图, ,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。 解：解：1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FRA0.89 kN , FRB1.1

7、1 kN FRAFRB根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 例题例题2 解：解：2确定控制面确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即均为控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。各截面均为控制面。 3建立坐标系建立坐标系建立建立FQx和和Mx坐标系坐标系 xFQ/kNOM/kN.mOBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBFRA例题例题2 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 因为梁上无分布载荷作因为梁上无分布载荷作用，所以剪力用，所以剪力FQ图形均为平图形均为平行于行于x轴的直线；弯

8、矩轴的直线；弯矩M图形图形均为斜直线。于是，顺序连均为斜直线。于是，顺序连接接FQx和和Mx坐标系中的坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得各点，便得到梁的剪力图与弯矩图。到梁的剪力图与弯矩图。 xFQ/kNOxM/kN.mO 解：解：4应用截面法确定控应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并制面上的剪力和弯矩值，并将其标在将其标在FQx和和Mx坐标坐标系中。系中。1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDEFRA例题例题2 5确定确定剪力与弯矩的最剪力与弯矩的最大绝对值大绝

9、对值从图中不难得到剪力与弯从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别矩的绝对值的最大值分别为为 kN111maxQ.FmkN6651max.MmaxQF( (发生在发生在EFEF段段) ) ( (发生在发生在D D、E E截面上截面上) ) BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FRAmaxM例题例题2 从所得到的剪力图和弯矩从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出图中不难看出AB段与段与CD段段的剪力相等，因而这两段内的剪力相等，因而这两段内的弯

10、矩图具有相同的斜率。的弯矩图具有相同的斜率。此外，在集中力作用点两侧此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其面上的弯矩是不相等的，其差值分别为集中力与集中力差值分别为集中力与集中力偶的数值，这是由于维持偶的数值，这是由于维持DE小段和小段和BC小段梁的平衡所必小段梁的平衡所必需的。建议大家自行加以验需的。建议大家自行加以验证。证。 BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11e

11、b0.89,ca0a0.89FRA例题3qBADa4aqlFAyFBy 梁由一个固定铰链支座和一梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所支承，但是梁个辊轴支座所支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称的一端向外伸出，这种梁称为为外伸梁外伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部。梁的受力以及各部分分尺寸尺寸均示于图中。均示于图中。 试画出：试画出：其剪力图和弯矩图其剪力图和弯矩图, ,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。 解：解：1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00，BAMM求得求得A、F 二处的约束力二处的约束力qaFqaF

12、ByAy4349,例题例题3qBADa4aqlFAyFByCOxFQOxM 解：解：2确定控制面确定控制面由于由于AB段上作用有段上作用有连续分布载荷，故连续分布载荷，故A、B两个截面为控制两个截面为控制面，约束力面，约束力FBy右侧右侧的的C截面，以及集中截面，以及集中力力qa左侧的左侧的D截面，截面，也都是控制面。也都是控制面。 3建立坐标系建立坐标系建立建立FQx和和Mx坐坐标系标系 例题例题3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa2 解：解：4确定控制确定控制面上的剪力和弯矩面上的剪力和弯矩值，并将其标在值，并将其标在FQx和和M

13、x坐标系坐标系中。中。例题例题3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2 5根据微分关系连根据微分关系连图线图线对于剪力图对于剪力图：在：在AB段段，因有均布载荷作用，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于剪力图为一斜直线，于是连接是连接a、b两点，即得两点，即得这一段的剪力图；在这一段的剪力图；在CD段，因无分布载荷段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行作用，故剪力图为平行于于x轴的直线，由连接轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由二点而得，或者由其中任一点作平行于其中任一点作平行于x轴的直线而得。轴的直线而得。 例题例题3qBADa4a

14、qlFAyFBy 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线对于弯矩图：对于弯矩图：在在AB段，因段，因有均布载荷作用，图形为有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为二次抛物线。又因为q向向下为负，弯矩图为凸向下为负，弯矩图为凸向M坐标正方向的抛物线。于坐标正方向的抛物线。于是，是，AB段内弯矩图的形状段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲便大致确定。为了确定曲线的位置，除线的位置，除AB段上两个段上两个控制面上弯矩数值外，还控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上

15、可弯矩数值。从剪力图上可以看出，在以看出，在e点剪力为零点剪力为零。 9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eEOxFQOxM例题例题3MEqAExEqaFAy49 6确定弯矩图极值点确定弯矩图极值点的位置。的位置。02004902，EEEyqxMMxqqaF2232812149qaqxMaxEEEqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE例题例题3 7确定确定剪力与弯矩剪力与弯矩的最大绝对值的最大绝对值从图中不难得到剪力与从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值弯矩的绝对值的最大值分别

16、为分别为 2maxmaxQ328149qaMqaFqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE例题例题3 注意到在右边支座注意到在右边支座处，由于约束力的作处，由于约束力的作用，该处剪力图有突用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪变（支座两侧截面剪力不等）弯矩图在该力不等）弯矩图在该处出现折点（弯矩图处出现折点（弯矩图的曲线段在该处的切的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线线斜率不等于斜直线cd的斜率）。的斜率）。 qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/

17、32eExQFQ xqa/2qa/2FQFQqqMxMxqqqqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqqqqFQOxydxxFQFQ+ dFQMM+d Mq(x)FQFQ+ dFQMM+d Mq(x)OxyCFy=0:MC=0:FQqdxFQdFQ =0 M+(M+dM)FQdxqdx dx /2=0 B节点处的平衡关系节点处的平衡关系FNFQFNFQFNFQFNFQBBBql2ql2qlBql2ql2qlBBACQQ000,xFqlqlFBFB NN0022,yqlFFBqlFB 20022,BlMFM BqllqlqlM B QFAql N2qlFA 0M A N00 xF

18、FBQQ0022,yqlFFBqlFB 20022,BqlMFlM BqlM B QFCql N0FC 0M C 22ql22ql2ql2ql2ql2qlFNFQqa2/2qa2/21.根据弹性体的平衡原理，应用刚体静力学中的平根据弹性体的平衡原理，应用刚体静力学中的平衡方程，可以确定静定梁上任意横截面上的剪力和衡方程，可以确定静定梁上任意横截面上的剪力和弯矩。弯矩。2.剪力和弯矩的正负号规则不同于静力学，但在建剪力和弯矩的正负号规则不同于静力学，但在建立平衡方程时，依然可以规定某一方向为正、相反立平衡方程时，依然可以规定某一方向为正、相反者为负。者为负。3.剪力方程与弯矩方程都是横截面位置坐

19、标剪力方程与弯矩方程都是横截面位置坐标x的函数的函数表达式，不是某一个指定横截面上剪力与弯矩的数表达式，不是某一个指定横截面上剪力与弯矩的数值。值。4.论是写剪力与弯矩方程，还是画剪力与弯矩图，论是写剪力与弯矩方程，还是画剪力与弯矩图，都需要注意分段。因此，正确确定控制面是很重要都需要注意分段。因此，正确确定控制面是很重要的。的。5.可以根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩可以根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图，也可以不写方程直接利用载荷集度、剪力、弯图，也可以不写方程直接利用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图。矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图。 确定控制面上剪力和弯矩有确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？极值点处的弯矩数值？ 力系简化方