网孔分析法和结点分析法

1、第三章第三章 网孔分析法和结点分析法网孔分析法和结点分析法 第一章介绍的第一章介绍的2b法，支路电流法和支路电压法可以解法，支路电流法和支路电压法可以解决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求解决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求解的方程数目太多，给的方程数目太多，给“笔笔”算求解带来困难。算求解带来困难。 在第二章讨论了简单电阻电路分析，不用求解联立方在第二章讨论了简单电阻电路分析，不用求解联立方程，就可以求得电路中的某些电压电流。程，就可以求得电路中的某些电压电流。 本章介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电本章介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电路方程的分析方法，可

2、以减少联立求解方程的数目，适路方程的分析方法，可以减少联立求解方程的数目，适合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路，是合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路，是“笔笔”算求算求解线性电阻电路最常用的分析方法。解线性电阻电路最常用的分析方法。 31网孔分析法网孔分析法 在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电阻构成的电路，可用阻构成的电路，可用b个支路电流变量来建立电路方程。在个支路电流变量来建立电路方程。在b个支路电流中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部个支路电流中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部分电流则可由这些独立电流来确定。若用独立电流

3、变量来分电流则可由这些独立电流来确定。若用独立电流变量来建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。 对于具有对于具有b条支路和条支路和n个结点的平面连通电路来说，它个结点的平面连通电路来说，它的的(b-n+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得到网孔电流后，用到网孔电流后，用 KCL方程可求出全部支路电流，再用方程可求出全部支路电流，再用VCR方程可求出全部支路电压。方程可求出全部支路电压。 一、网孔电流一、

4、网孔电流 00 0632521431 iiiiiiiii 326215314632521431 00 0iiiiiiiiiiiiiiiiii 若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6条支路和条支路和4个结点。对、结点写出个结点。对、结点写出KCL方程。方程。 支路电流支路电流i4、i5和和i6可以用另外三个支路电流可以用另外三个支路电流i1、i2和和i3的的线性组合来表示。线性组合来表示。 电流电流i4、i5和和i6是非独立电流，它们由独立电流是非独立电流，它们由独立电流i1、i2和和i3的线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流的

5、线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流i1、i2和和i3沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。对于具有这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。对于具有b条支路和条支路和n个结点的平面连通电路来说，共有个结点的平面连通电路来说，共有(b-n+1)个网孔个网孔电流，电流，它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量。 326215314632521431 00 0iiiiiiiiiiiiiiiiii二、网孔方程二、网孔方程 3S4466332S665522

6、1S445511uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR将以下各式代入上式，消去将以下各式代入上式，消去i4、i5和和i6后可以得到：后可以得到： 326215314 iiiiiiiii 网孔方程网孔方程 3S314326332S326215221S31421511)()()()()()(uiiRiiRiRuiiRiiRiRuiiRiiRiR1S34251541)(uiRiRiRRR S236265215)(uiRiRRRiR 3S36432614)(uiRRRiRiR 以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL方程分别为：方程分别为： 将

7、网孔方程写成一般形式：将网孔方程写成一般形式： S3333323213122S32322212111S313212111uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR 其中其中R11, R22和和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔称为网孔自电阻，它们分别是各网孔内全部电阻的总和。例如内全部电阻的总和。例如R11= R1+ R4+ R5, R22= R2 + R5+ R6, R33= R3+ R4+ R6。 Rkj(k j)称为网孔称为网孔k与网孔与网孔j的互电阻，它们是两网孔公的互电阻，它们是两网孔公共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流

8、过公共电阻时取正号，例如电阻时取正号，例如R12= R21= R5, R13= R31= R4。当两网孔。当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如R23= R32=-R6。 uS11、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压源电压升的分别为各网孔中全部电压源电压升的代数和。绕行方向由代数和。绕行方向由 - 极到极到 + 极的电压源取正号；反之则极的电压源取正号；反之则取负号。例如取负号。例如uS11=uS1,uS22=uS2,uS33=-uS3。 由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。可理

9、解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。程。5)-(3 S3333323213122S32322212111S313212111 uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR 从以上分析可见从以上分析可见, ,由独立电压源和线性电阻构成电路的网由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产孔方程很有规律

10、。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。由独立电压源和线性电阻构成具有个网孔的平面电路，其程。由独立电压源和线性电阻构成具有个网孔的平面电路，其网孔方程的一般形式为网孔方程的一般形式为 )53( Smmmmm22m11m22Smm222212111Sm1m212111 uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR 三、网孔分析法计算举例三、网孔分析法计算举例 网孔分析法的计算步骤

11、如下：网孔分析法的计算步骤如下： 1在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针孔电流均选为顺时针(或逆时针或逆时针)方向，则网孔方程的全部方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。互电阻项均取负号。 2用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。 3求解网孔方程，得到各网孔电流。求解网孔方程，得到各网孔电流。 4假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。流的线性组合关系，求得各支路电流。 5用用VCR方程，求得各支路电压。

12、方程，求得各支路电压。 例例31 用网孔分析法求图用网孔分析法求图3-2电路各支路电流。电路各支路电流。 解：选定两个网孔电流解：选定两个网孔电流i1和和i2的参考方向，如图所示。的参考方向，如图所示。 用观察电路的方法直接列出网孔方程：用观察电路的方法直接列出网孔方程： V10)21(1V5)1()11(2121iiii整理为整理为 A103A522121iiii图图32A1A55A3112310151 iA3A515A3112101522 i解得：解得： 各支路电流分别为各支路电流分别为i1=1A, i2=-3A, i3=i1-i2=4A。 A103A522121iiii 例例32 用网孔

13、分析法求图用网孔分析法求图33电路各支路电流。电路各支路电流。 解：选定各网孔电流的参考方向，如图所示。解：选定各网孔电流的参考方向，如图所示。 用观察法列出网孔方程：用观察法列出网孔方程：V6V25)163()6()1(V12V18)6()362()2(V18V6)1()2()212(321321321 iiiiiiiii图图33A19106A66112A1225321321321 iiiiiiiii 整理为整理为 A1 A3 A4A3 A2 A1236215134321 iiiiiiiiiiii 解得：解得： 图图33四、含独立电流源电路的网孔方程四、含独立电流源电路的网孔方程 当电路中含

14、有独立电流源时，不能用式当电路中含有独立电流源时，不能用式(35)来建立来建立含电流源网孔的网孔方程。若有电阻与电流源并联单口，含电流源网孔的网孔方程。若有电阻与电流源并联单口，则可先等效变换为电压源和电阻串联单口，将电路变为仅则可先等效变换为电压源和电阻串联单口，将电路变为仅由电压源和电阻构成的电路，再用式由电压源和电阻构成的电路，再用式(35)建立网孔方程。建立网孔方程。 若电路中的电流源没有电阻与之并联，则应增加电流若电路中的电流源没有电阻与之并联，则应增加电流源电压作变量来建立这些网孔的网孔方程。此时，由于增源电压作变量来建立这些网孔的网孔方程。此时，由于增加了电压变量，需补充电流源电

15、流与网孔电流关系的方程。加了电压变量，需补充电流源电流与网孔电流关系的方程。例例33 用网孔分析法求图用网孔分析法求图34电路的支路电流。电路的支路电流。 解：设电流源电压为解：设电流源电压为u，考虑了电压，考虑了电压u的网孔方程为：的网孔方程为：补充方程补充方程 V10)2(V5)1(21 uiuiA721 ii求解以上方程得到：求解以上方程得到： V2 A4 A321 uiiA7A522121 iiii图图34例例34 用网孔分析法求解图用网孔分析法求解图35电路的网孔电流。电路的网孔电流。 解：当电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等于解：当电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等

16、于 电流源电流，成为已知量，此例中为电流源电流，成为已知量，此例中为i3=2A。此时不必。此时不必 列出此网孔的网孔方程。列出此网孔的网孔方程。图图35图图35A10)3()35(V20)1()1(213231 iiuiiuii 代入代入i3=2A，整理后得到：，整理后得到： A1A2882121 iiii 解得解得 i1=4A, i2=3A和和i3=2A。 只需计入只需计入1A电流源电压电流源电压u，列出两个网孔方程和一个补，列出两个网孔方程和一个补充方程：充方程： 从此例可见，若能选择电流源电流作为某一网孔电流，从此例可见，若能选择电流源电流作为某一网孔电流，就能减少联立方程数目。就能减少

17、联立方程数目。 郁金香32结点分析法结点分析法 与用独立电流变量来建立电路方程相类与用独立电流变量来建立电路方程相类似，也可用独立电压变量来建立电路方程。似，也可用独立电压变量来建立电路方程。在全部支路电压中，只有一部分电压是独立在全部支路电压中，只有一部分电压是独立电压变量，另一部分电压则可由这些独立电电压变量，另一部分电压则可由这些独立电压根据压根据KVL方程来确定。若用独立电压变方程来确定。若用独立电压变量来建立电路方程，也可使电路方程数目减量来建立电路方程，也可使电路方程数目减少。对于具有少。对于具有n个结点的连通电路来说，它个结点的连通电路来说，它的的(n-1)个结点对第个结点对第n

18、个结点的电压，就是一个结点的电压，就是一组独立电压变量。用这些结点电压作变量建组独立电压变量。用这些结点电压作变量建立的电路方程，称为结点方程。这样，只需立的电路方程，称为结点方程。这样，只需求解求解(n-1)个结点方程，就可得到全部结点电个结点方程，就可得到全部结点电压，然后根据压，然后根据KVL方程可求出各支路电压，方程可求出各支路电压，根据根据VCR方程可求得各支路电流。方程可求得各支路电流。 一、结点电压一、结点电压 用电压表测量电子电路各元件端钮间用电压表测量电子电路各元件端钮间电压时，常将底板或机壳作为测量基准，电压时，常将底板或机壳作为测量基准，把电压表的公共端或把电压表的公共端

19、或“- -”端接到底板或机端接到底板或机壳上，用电压表的另一端依次测量各元件壳上，用电压表的另一端依次测量各元件端钮上的电压。测出各端钮相对基准的电端钮上的电压。测出各端钮相对基准的电压后，任两端钮间的电压，可用相应两个压后，任两端钮间的电压，可用相应两个端钮相对基准电压之差的方法计算出来。端钮相对基准电压之差的方法计算出来。与此相似，在具有与此相似，在具有n个结点的连通电路个结点的连通电路(模模型型)中，可以选其中一个结点作为基准，其中，可以选其中一个结点作为基准，其余余(n-1)个结点相对基准结点的电压，称为个结点相对基准结点的电压，称为结点电压。结点电压。 例如在图例如在图36电路中，共

20、有电路中，共有4个结点，个结点，选结点选结点0作基准，用接地符号表示，其余作基准，用接地符号表示，其余三个结点电压分别为三个结点电压分别为u10, u20和和u30 ，如图所，如图所示。这些结点电压不能构成一个闭合路径，示。这些结点电压不能构成一个闭合路径，不能组成不能组成KVL方程，不受方程，不受 KVL约束，是约束，是一组独立的电压变量。任一支路电压是其一组独立的电压变量。任一支路电压是其两端结点电位之差或结点电压之差，由此两端结点电位之差或结点电压之差，由此可求得全部支路电压。可求得全部支路电压。 图图36例如图示电路各支路电压可表示例如图示电路各支路电压可表示为为: : 3230206

21、33032120105220231301041101 vvuuuvuuvvuuuvuuvvuuuvuu 图图36二、结点方程二、结点方程 下面以图示电路为例说明如何建立结点下面以图示电路为例说明如何建立结点方程方程。 2S6436521S5410iiiiiiiiiii 对电路的三个独立结点列出对电路的三个独立结点列出KCL方程：方程： 图图36 列出用结点电压表示的电阻列出用结点电压表示的电阻 VCR方程：方程： )( )( )( 326621553144333222111vvGivvGivvGivGivGivGi 代入代入KCL方程中，经过整理后得到：方程中，经过整理后得到： )()(0)(

22、)( )()( 2S3262143332621522S121531411 ivvGvvGvGvvGvvGvGivvGvvGvG结结点点方方程程 )(0)()(2S3643261436265215S134251541 ivGGGvGvGvGvGGGvGivGvGvGGG 2S6436521S5410iiiiiiiiiii 写成一般形式写成一般形式)93(33S33323213122S32322212111S313212111 ivGvGvGivGvGvGivGvGvG 其中其中G11、 G22、G33称为结点自电导，称为结点自电导，它们分别是各结点全部电导的总和。它们分别是各结点全部电导的总和。

23、 此例中此例中G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6。 Gij(i j)称为结点称为结点i和和j的互电导的互电导,是结点是结点i和和j间电导总和的负值，此例中间电导总和的负值，此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、iS22、iS33是流入该结点全部电流源是流入该结点全部电流源电流的代数和。此例中电流的代数和。此例中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。 从上可见，由独立电流源和线性电阻构从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程，其系数很有规律，

24、可以成电路的结点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。用观察电路图的方法直接写出结点方程。)93(33S33323213122S32322212111S313212111 ivGvGvGivGvGvGivGvGvG 从上可见，由独立电流源和线性电阻构从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程，其系数很有规律，可以成电路的结点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。用观察电路图的方法直接写出结点方程。 由独立电流源和线性电阻构成的具有由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的连通电路，其结点方程的一般形式个结点的连通电路，其结点方程的一般形式

25、为：为： )1(1(S1)1)(1(22)1(1)1(22S1)1(222212111S1)1(1212111 nnnnnnnnnnnivGvGvGivGvGvGivGvGvG三、结点分析法计算举例三、结点分析法计算举例 结点分析法的计算步骤如下：结点分析法的计算步骤如下： 1指定连通电路中任一结点为参考结指定连通电路中任一结点为参考结点，用接地符号表示。标出各结点电压，其点，用接地符号表示。标出各结点电压，其参考方向总是独立结点为参考方向总是独立结点为 “ + ”，参考，参考结点为结点为“ ” 。 2用观察法列出用观察法列出(n-1)个结点方程。个结点方程。 3求解结点方程，得到各结点电压。

26、求解结点方程，得到各结点电压。 4选定支路电流和支路电压的参考方选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电流和支路电压。向，计算各支路电流和支路电压。 例例35 用结点分析法求图用结点分析法求图3-7电路中各电阻电路中各电阻支路电流。支路电流。 解：用接地符号标出参考结点，标出两个解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压结点电压u1和和u2 的参考方向，如图所示。用观察法列的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：出结点方程： A10)S2S1()S1(A5)S1()S1S1(2121uuuu图图37 整理得整理得到：到： V103V522121uuuu 解得各结点电解得各结点电压为

27、：压为： V3V 121 uu 选定各电阻支路电流参考方向如图所选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得示，可求得A4)(S1( A6)S2( A1)S1(2132211 uuiuiui图图37 例例36 用结点分析法求图用结点分析法求图3-8电路各支路电路各支路电压。电压。 图图38解解: 参考结点和结点电压如图所示。用观察参考结点和结点电压如图所示。用观察法列出三个结法列出三个结 点方程：点方程： A6A25)S3S6S1()S6()S1(A12A18)S6()S6S3S2()S2(A18A6)S1()S2()S1S2S2(321321321 uuuuuuuuu 整理得到整理得到: V1

28、9106V66112V1225321321321 uuuuuuuuu解得结点解得结点电压电压 V3V2V1321 uuu 求得另外三个支路电压求得另外三个支路电压为：为： V1V 3V 4236215134 uuuuuuuuuA6A25)S3S6S1()S6()S1(A12A18)S6()S6S3S2()S2(A18A6)S1()S2()S1S2S2(321321321 uuuuuuuuu图图38四、含独立电压源电路的结点方程四、含独立电压源电路的结点方程 当电路中存在独立电压源时，不能用式当电路中存在独立电压源时，不能用式(39)建立含有电压源结点的方程，其原因建立含有电压源结点的方程，其原

29、因是没有考虑电压源的电流。是没有考虑电压源的电流。若有电阻与电压若有电阻与电压源串联单口，可以先等效变换为电流源与电源串联单口，可以先等效变换为电流源与电阻并联单口阻并联单口后，再用式后，再用式(39)建立结点方程。建立结点方程。若没有电阻与电压源串联，则应增加电压源若没有电阻与电压源串联，则应增加电压源的电流变量来建立结点方程。此时，由于增的电流变量来建立结点方程。此时，由于增加了电流变量，需补充电压源电压与结点电加了电流变量，需补充电压源电压与结点电压关系的方程。压关系的方程。例例37 用结点分析法求图用结点分析法求图3-9(a)电路的电压电路的电压u和支路电和支路电 流流i1，i2。 图

30、图39解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联，与电阻并联， 如图如图(b)所示。对结点电压所示。对结点电压u来说来说 ，图，图(b)与与图图(a)等效。等效。 只需列出一个结点方程。只需列出一个结点方程。 A5A5)S5 . 0S1S1( uA5A5)S5 . 0S1S1( u 解得解得 V4S5 . 2A10 u 按照图按照图(a)电路可求得电流电路可求得电流i1和和i2 A32V10V4 A11V4V521 ii图图39例例38 用结点分析法求图用结点分析法求图3-10所示电路的结所示电路的结点电压。点电压。 解：选定解：选定6V电压源电

31、流电压源电流i的参考方向。计入的参考方向。计入电流变量电流变量i 列出列出 两个结点方程：两个结点方程： A2)S5 . 0(A5)S1(21 iuiu图图310 解得解得 补充方程补充方程 V621 uu1AV,2,V421 iuu 这种增加电压源电流变量建立的一组电这种增加电压源电流变量建立的一组电路方程，称为改进的结点方程路方程，称为改进的结点方程(modified node equation)，它扩大了结点方程适用的，它扩大了结点方程适用的范围，为很多计算机电路分析程序采用。范围，为很多计算机电路分析程序采用。 图图310A2)S5 . 0(A5)S1(21 iuiu例例39 用结点分

32、析法求图用结点分析法求图3-11电路的结点电电路的结点电压。压。 解：由于解：由于14V电压源连接到结点和参考结点之电压源连接到结点和参考结点之间，结点间，结点 的的 结点电压结点电压u1=14V成为已知量，可以不列出成为已知量，可以不列出结点的结点方结点的结点方 程。考虑到程。考虑到8V电压源电流电压源电流i 列出的两个结点列出的两个结点方程为：方程为：图图3110)S5 . 0S1()S5 . 0(A3)S5 . 0S1()S1(3121 iuuiuu 补充补充方程方程 V832 uu 代入代入u1=14V，整理得到：，整理得到： V8V245 . 15 . 13232uuuu解得：解得：

33、 1AV 4V 1232 iuu0)S5 . 0S1()S5 . 0(A3)S5 . 0S1()S1(3121 iuuiuu图图311郁金香郁金香33 含受控源的电路分析含受控源的电路分析 在电子电路中广泛使用各种晶体管、运在电子电路中广泛使用各种晶体管、运算放大器等多端器件。这些多端器件的某些算放大器等多端器件。这些多端器件的某些端钮的电压或电流受到另一些端钮电压或电端钮的电压或电流受到另一些端钮电压或电流的控制。为了模拟多端器件各电压、电流流的控制。为了模拟多端器件各电压、电流间的这种耦合关系，需要定义一些多端电路间的这种耦合关系，需要定义一些多端电路元件元件(模型模型)。 本节介绍的受控

34、源是一种非常有用的电本节介绍的受控源是一种非常有用的电路元件，常用来模拟含晶体管、运算放大器路元件，常用来模拟含晶体管、运算放大器等多端器件的电子电路。从事电子、通信类等多端器件的电子电路。从事电子、通信类专业的工作人员，应掌握含受控源的电路分专业的工作人员，应掌握含受控源的电路分析。析。 一、受控源一、受控源 受控源又称为非独立源。一般来说，一受控源又称为非独立源。一般来说，一条支路的电压或电流受本支路以外的其它因条支路的电压或电流受本支路以外的其它因素控制时统称为受控源。受控源由两条支路素控制时统称为受控源。受控源由两条支路组成，其第一条支路是控制支路，呈开路或组成，其第一条支路是控制支路

35、，呈开路或短路状态；第二条支路是受控支路，它是一短路状态；第二条支路是受控支路，它是一个电压源或电流源，其电压或电流的量值受个电压源或电流源，其电压或电流的量值受第一条支路电压或电流的控制。第一条支路电压或电流的控制。 受控源可以分成四种类型，分别称为电受控源可以分成四种类型，分别称为电流控制的电压源流控制的电压源(CCVS)，电压控制的电流，电压控制的电流源源(VCCS)，电流控制的电流源，电流控制的电流源(CCCS)和电和电压控制的电压源压控制的电压源(VCVS),如下图所示。如下图所示。)103( 0121 riuu)113( 0121 guii)123( 0121 iiu )133(

36、0121 uui 每种受控源由两个线性代数方程来每种受控源由两个线性代数方程来描述：描述：CCVS：VCCS：CCCS：VCVS：r具有电阻量纲，称为转移具有电阻量纲，称为转移电阻。电阻。g具有电导量纲，称为转具有电导量纲，称为转移电导。移电导。 无量纲，称为转移电无量纲，称为转移电流比。流比。 亦无量纲，称为转移亦无量纲，称为转移电压比。电压比。 当受控源的控制系数当受控源的控制系数r、g、 和和 为常量为常量时，它们是时不变双口电阻元件。本书只研时，它们是时不变双口电阻元件。本书只研究线性时不变受控源，并采用菱形符号来表究线性时不变受控源，并采用菱形符号来表示受控源示受控源(不画出控制支路

37、不画出控制支路)，以便与独立电，以便与独立电源相区别。源相区别。 受控源与独立电源的特性完全不同，受控源与独立电源的特性完全不同，它们在电路中所起的作用也完全不同。它们在电路中所起的作用也完全不同。图图312 受控源则描述电路中两条支路电压和电受控源则描述电路中两条支路电压和电流间的一种约束关系，它的存在可以改变电流间的一种约束关系，它的存在可以改变电路中的电压和电流，使电路特性发生变化。路中的电压和电流，使电路特性发生变化。 独立电源是电路的输入或激励，它为电独立电源是电路的输入或激励，它为电路提供按给定时间函数变化的电压和电流，路提供按给定时间函数变化的电压和电流，从而在电路中产生电压和电

38、流。从而在电路中产生电压和电流。图图313 图图(a)所示的晶体管在一定条件下可以所示的晶体管在一定条件下可以用图用图(b)所示的模型来表示。这个模型由一所示的模型来表示。这个模型由一个受控源和一个电阻构成，这个受控源受与个受控源和一个电阻构成，这个受控源受与电阻并联的开路电压控制，控制电压是电阻并联的开路电压控制，控制电压是ube，受控源的控制系数是转移电导受控源的控制系数是转移电导gm。 图图(d)表示用图表示用图(b)的晶体管模型代替图的晶体管模型代替图(c)电路中的晶体管所得到的一个电路模型。电路中的晶体管所得到的一个电路模型。图图313二、含受控源单口网络的等效电路二、含受控源单口网

39、络的等效电路 在本章第一节中已指明，由若干线性二在本章第一节中已指明，由若干线性二端电阻构成的电阻单口网络，就端口特性而端电阻构成的电阻单口网络，就端口特性而言，可等效为一个线性二端电阻。言，可等效为一个线性二端电阻。 由线性二端电阻和线性受控源构成的电由线性二端电阻和线性受控源构成的电阻单口网络，就端口特性而言，也等效为一阻单口网络，就端口特性而言，也等效为一个线性二端电阻，其等效电阻值常用外加独个线性二端电阻，其等效电阻值常用外加独立电源计算单口立电源计算单口VCR方程的方法求得。现方程的方法求得。现举例加以说明。举例加以说明。 例例310 求图求图3-14(a)所示单口网络的等效所示单口

40、网络的等效电阻。电阻。 解解: 设想在端口外加电流源设想在端口外加电流源i，写出端口电压，写出端口电压u的表达式的表达式 iRRiuuuuo111)1()1( 图图314求得单口的等效电求得单口的等效电阻阻 RiuR)1(o 求得单口的等效电求得单口的等效电阻阻 RiuR)1(o 由于受控电压源的存在，使端口电压增由于受控电压源的存在，使端口电压增加了加了 u1= Ri，导致单口等效电阻增大到，导致单口等效电阻增大到( +1)倍。若控制系数倍。若控制系数 =-2，则单口等效电，则单口等效电阻阻Ro=-R，这表明该电路可将正电阻变换为，这表明该电路可将正电阻变换为一个负电阻。一个负电阻。 图图3

41、14例例311 求图求图3-15(a)所示单口网络的等效所示单口网络的等效电阻。电阻。 解：设想在端口外加电压源解：设想在端口外加电压源u，写出端口电，写出端口电流流i的表达式为的表达式为 uGuRiiiio1111)1( 图图315由此求得单口的等效电由此求得单口的等效电导为导为 GuiG1)(o 由此求得单口的等效电由此求得单口的等效电导为导为 GuiG1)(o 该电路将电导该电路将电导G增大到原值的增大到原值的( +1)倍或倍或将电阻将电阻R=1/G变小到原值的变小到原值的1/( +1)倍，若倍，若 =-2 ，则，则Go=-G 或或Ro=-R，这表明该电路也，这表明该电路也可将一个正电阻

42、变换为负电阻。可将一个正电阻变换为负电阻。 图图315 由线性电阻和独立电源构成的单口网络，由线性电阻和独立电源构成的单口网络，就端口特性而言，可以等效为一个线性电阻就端口特性而言，可以等效为一个线性电阻和电压源的串联单口，或等效为一个线性电和电压源的串联单口，或等效为一个线性电阻和电流源的并联单口。阻和电流源的并联单口。 由线性受控源、线性电阻和独立电源构由线性受控源、线性电阻和独立电源构成的单口网络，就端口特性而言，可以等效成的单口网络，就端口特性而言，可以等效为一个线性电阻和电压源的串联单口，或等为一个线性电阻和电压源的串联单口，或等效为一个线性电阻和电流源的并联单口。效为一个线性电阻和

43、电流源的并联单口。 同样，可用外加电源计算端口同样，可用外加电源计算端口 VCR方方程的方法，求得含线性受控源电阻单口网络程的方法，求得含线性受控源电阻单口网络的等效电路。的等效电路。 例例312 求图求图3-16(a)所示单口网络的等效电所示单口网络的等效电路。路。 解：用外加电源法，求得单口解：用外加电源法，求得单口VCR方方程为程为 11154uuuu 其其中中 )A2)(2(1 iu图图316 得到得到 V20)10( iuV20)10( iu或或 A2101 ui 以上两式对应的等效电路为以上两式对应的等效电路为10 电阻和电阻和20V电压源的串联，如图电压源的串联，如图(b)所示，

44、或所示，或10 电电阻和阻和2A电流源的并联，如图电流源的并联，如图(c)所示。所示。求得单口求得单口VCR方程为方程为图图316四、含受控源电路的网孔方程四、含受控源电路的网孔方程 在列写含受控源电路的网孔方程时，可：在列写含受控源电路的网孔方程时，可： (1) 先将受控源作为独立电源处理；先将受控源作为独立电源处理； (2) 然后将受控源的控制变量用网孔电然后将受控源的控制变量用网孔电流表示，再经过移项整理即可得到如式流表示，再经过移项整理即可得到如式(35)形式的网孔方程。形式的网孔方程。 下面举例说明。下面举例说明。 5)-(3 S3333323213122S32322212111S3

45、13212111 uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR例例313 列出图列出图3-17电路的网孔方电路的网孔方程。程。 解：在写网孔方程时，先将受控电压源的电解：在写网孔方程时，先将受控电压源的电压压ri3写在方程写在方程 右边：右边： 323213S23131)()(riiRRiRuiRiRR 图图317将控制变量将控制变量i3用网孔电流表示，即补用网孔电流表示，即补充方程充方程 213iii 代入上式，移项整理后得到以下网代入上式，移项整理后得到以下网孔方程：孔方程： 0)()()(23213S23131 irRRiRruiRiRR 由于受控源的影响由于受控源的影响,互电阻互电阻R2

46、1=( r - R3)不再与互电阻不再与互电阻R12= -R3相等。自电阻相等。自电阻R22=( R2+ R3 - r)不再是网孔全部电阻不再是网孔全部电阻R2 、R3的总和。的总和。 图图317例例314 图图3-18电路中，已知电路中，已知 =1, =1。试。试求网孔电流。求网孔电流。 解：以解：以i1, i2和和 i3为网孔电流，用观察法列出为网孔电流，用观察法列出网孔网孔 1和网孔和网孔2 的网孔方程分别为：的网孔方程分别为： 1321321)2()6()2(V16)2()2()6(uiiiiii 图图318 补充两个受控源补充两个受控源控制变量与网孔电流控制变量与网孔电流i1和和i2

47、关系的方程：关系的方程： 21311)2(iiiiu 代入代入 =1, =1和两个补充方程到网孔方和两个补充方程到网孔方程中，移项整理后得到以下网孔方程：程中，移项整理后得到以下网孔方程： 082iA164211 ii 解得网孔电流解得网孔电流i1=4A, i2=1A和和 i3 =3A。 图图3181321321)2()6()2(V16)2()2()6(uiiiiii 五、含受控源电路的结点方程五、含受控源电路的结点方程 与建立网孔方程相似，列写含受控源电与建立网孔方程相似，列写含受控源电路的结点方程时，路的结点方程时，(1) 先将受控源作为独立先将受控源作为独立电源处理；电源处理；(2) 然

48、后将控制变量用结点电压然后将控制变量用结点电压表示并移项整理，即可得到如式表示并移项整理，即可得到如式(39)形式形式的结点方程。现举例加以说明。的结点方程。现举例加以说明。 例如对于例如对于独立电流源、受控电流源和线性电阻构成电独立电流源、受控电流源和线性电阻构成电路的结点方程如下所示：路的结点方程如下所示： )93(33S33323213122S32322212111S313212111 ivGvGvGivGvGvGivGvGvG例例315 列出图列出图3-19电路的结点方电路的结点方程。程。 解：列出结点方程时，将受控电流源解：列出结点方程时，将受控电流源gu3写写在方程右边：在方程右边

49、： 323213S23131)()(guuGGuGiuGuGG 图图319 补充控制变量补充控制变量u3与结点电压关系的方与结点电压关系的方程程 213uuu 代入上式，移项整理后得到以下代入上式，移项整理后得到以下结点方程：结点方程： 由于受控源的影响，互电导由于受控源的影响，互电导 G21 = ( g - G3) 与互电导与互电导G12 = -G3 不再相等。自电导不再相等。自电导 G22 = ( G2+ G3- g) 不再是结点全部电导之和。不再是结点全部电导之和。0)()()(23213S23131 ugGGuGgiuGuGG图图319例例316 电路如图电路如图3-20所示。已知所示

50、。已知g=2S，求，求结点电压和受结点电压和受 控电流源发出的功率。控电流源发出的功率。 图图320解：当电路中存在受控电压源时，应增加电解：当电路中存在受控电压源时，应增加电压源电流变量压源电流变量i 来建立结点方程。来建立结点方程。23232121)S2()S1(0)S1()S3()S1(A6)S1()S2(guiuuuuuiuu 补充方补充方程程 )(5 . 05 . 032431uuuuu 图图320 代入代入g=2S,消去电流消去电流i，经整理得到以下，经整理得到以下结点方程：结点方程： 05 . 05 . 003V6242321321321 uuuuuuuuu 求解可得求解可得u1

51、=4V, u2=3V, u3=5V。受控电。受控电流源发出的功率为流源发出的功率为 W30W325)(23 guup图图320郁金香郁金香34 回路分析法和割集分析法回路分析法和割集分析法 本节先介绍利用独立电流或独立电压本节先介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电路方程的另外两种方法作变量来建立电路方程的另外两种方法-回路分析法和割集分析法，然后对各种电回路分析法和割集分析法，然后对各种电路分析方法作个总结。路分析方法作个总结。 一、图论的几个名词一、图论的几个名词先介绍图论的几个名词。先介绍图论的几个名词。1树树(tree)是图论的一个重要概念。图由结点是图论的一个重要概念。图由结点和支

52、路组成，树是连通图中连通全部结点而不和支路组成，树是连通图中连通全部结点而不形成回路的子图。构成树的支路称为树支，连形成回路的子图。构成树的支路称为树支，连接树支的支路称为连支。由接树支的支路称为连支。由b条支路和条支路和n个结点个结点构成的连通图有构成的连通图有n-1条树支和条树支和b-n+1条连支。条连支。2割集割集(cut set)是图论的另一个重要概念，它是图论的另一个重要概念，它是连通图中满足以下两个条件的支路集合是连通图中满足以下两个条件的支路集合1) 移去全部支路，图不再连通。移去全部支路，图不再连通。2) 恢复任何一条支路，图必须连通。恢复任何一条支路，图必须连通。 KCL可以

53、用割集来陈述：在集总参数电路可以用割集来陈述：在集总参数电路中，任一时刻，与任一割集相关的全部支路电中，任一时刻，与任一割集相关的全部支路电流的代数和为零。流的代数和为零。A33254 iiii例如，按照图示割集可以写出以下例如，按照图示割集可以写出以下KCL方程方程 由一条树支和几条连支构成的割集，称为由一条树支和几条连支构成的割集，称为基本割集。基本割集。 基本割基本割集集:2,4,1,5,1,3,6,1,3,443161436315135412142 0 0 0iiiiiiiiiiiiiiiiiiii 基本割集的基本割集的KCL方程是一方程是一组线性无关的方程组组线性无关的方程组2,5,

54、6为树支为树支,1,3,4为连支为连支连支电流连支电流 i1，i3 ， i4 是一组独立电流是一组独立电流变量变量 0001436135142 iiiiiiiiii基本回基本回路路:1,2,6,5,3,5,6 ,4,6,2基本回路的基本回路的KVL方程是一方程是一组线性无关的方程组组线性无关的方程组由一条连支和几条树支构成的回路，称为由一条连支和几条树支构成的回路，称为基本回路。基本回路。62426456365326515621 0 0 0uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu 2,5,6为树支为树支,1,3,4为连支为连支树支电压树支电压u2，u5 ， u6 是是一组独立电压是是一组独立电

55、压变量。变量。 0 0 02646535621 uuuuuuuuuu基本割基本割集集:1,4,2,5,2,4,3,6,2,3基本回基本回路路:2,1,5,6,4,5,1,3,5,6练习题：选择练习题：选择1，5，6为树支，为树支，2，3，4为连支，为连支，写出基本割集和基本回路。写出基本割集和基本回路。 可以证明，可以证明，n-1条树支电压是一组独立电条树支电压是一组独立电压变量压变量(它们不构成回路它们不构成回路)，由此可以导出割集，由此可以导出割集分析法。分析法。b-n+1条连支电流是一组独立电流变条连支电流是一组独立电流变量量(它们不构成割集它们不构成割集)，由此可以导出回路分析，由此可

56、以导出回路分析法。法。 二、回路分析法二、回路分析法 与网孔分析法相似，也可用与网孔分析法相似，也可用( (b-n+1) )个独立回路电流作变量，来建立回路方个独立回路电流作变量，来建立回路方程。由于回路电流的选择有较大灵活性，程。由于回路电流的选择有较大灵活性，当电路存在当电路存在m个电流源时，假如能够让个电流源时，假如能够让每个电流源支路只流过一个回路电流，每个电流源支路只流过一个回路电流，就可利用电流源电流来确定该回路电流，就可利用电流源电流来确定该回路电流，从而可以少列写从而可以少列写m个回路方程。网孔分个回路方程。网孔分析法只适用平面电路，回路分析是更普析法只适用平面电路，回路分析是

57、更普遍的分析方法。遍的分析方法。 例例317 用回路分析法重解图用回路分析法重解图35电路，只列电路，只列一个方程求电流一个方程求电流i1和和i2。 解解: 为了减少联立方程数目，让为了减少联立方程数目，让1A和和2A电电流源支路只流过一个回路电流。例如图流源支路只流过一个回路电流。例如图321(a)和和(b)所选择的回路电流都符合这个条所选择的回路电流都符合这个条件。假如选择图件。假如选择图321(a)所示的三个回路电所示的三个回路电流流i1，i3和和i4，则，则i3=2A, i4=1A成为已知量，只成为已知量，只需用观察法列出电流需用观察法列出电流i1的回路方程的回路方程 图图321图图3

58、21V20)35()31()135(431 iii用观察法列出电流用观察法列出电流i1的回路方程的回路方程 代入代入i3=2A, i4=1A，求得电流，求得电流i1 A4135V8V8V201 i根据支路电流与回路电流的关系可以求得根据支路电流与回路电流的关系可以求得其它支路电流其它支路电流A1 A2 A34316315412 iiiiiiiiii 假如选择图假如选择图321(b)所示的三个回路电流所示的三个回路电流i2，i3和和i4，由于，由于i3=2A, i4=1A成为已知量，只需用观成为已知量，只需用观察法列出电流察法列出电流i2的回路方程的回路方程 V201A)(12A)3(1)15(

59、32 i求解方程得到电流求解方程得到电流i2 A3153V18VV202 i 练习题练习题1：选择图示电路的：选择图示电路的i3，i4和和i5作为作为三个回路电流，只用一个回路方程求出电流三个回路电流，只用一个回路方程求出电流i5； 练习题练习题2：选择选择图示电路的：选择选择图示电路的i3，i4和和i6作为三个回路电流，只用一个回路方程求出作为三个回路电流，只用一个回路方程求出电流电流i6。 三、割集分析法三、割集分析法 与结点分析法用与结点分析法用n-1个结点电压作为个结点电压作为变量来建立电路方程类似，也可以用变量来建立电路方程类似，也可以用n-1个树支电压作为变量来建立割集的个树支电压

60、作为变量来建立割集的KCL方程。由于选择树支电压有较大的灵活方程。由于选择树支电压有较大的灵活性，当电路存在性，当电路存在m个独立电压源时，其个独立电压源时，其电压是已知量，若能选择这些树支电压电压是已知量，若能选择这些树支电压作为变量，就可以少列作为变量，就可以少列m个电路方程。个电路方程。结点分析法只适用连通电路，而割集分结点分析法只适用连通电路，而割集分析是更普遍的分析方法。析是更普遍的分析方法。 例例318用割集分析法重解图用割集分析法重解图311电路，只列电路，只列一个方程求电压一个方程求电压u2。 解解: 为了求得电压为了求得电压u2，作一个封闭面与支路，作一个封闭面与支路2及其它