长庚大学电机系

1、長庚大學電機系1第第 五五 章章模模 糊糊 數數 之之 算算 術術 長庚大學電機系25.1 模糊數模糊數 (Fuzzy numbers) 一個特別的模糊集合 A，定義在實數上，也就是宇集合 X=R(實數)，至少滿足以下三個性質 (i) A 必須是一個正規 (Normal) 模糊集合； (ii) 對所有 必須是一個封閉區間； (iii) (A之底集)必須是有界的。 滿足以上(i)、(ii)、(iii) 性質之模糊集合，即稱為模糊數(Fuzzy Numbers)。A 1 , 0(A0長庚大學電機系3非模糊數 (Fig. 5.1 and 5.2): 有兩個區間（非封閉） 是無界的 123X1A13A

2、(x)A0長庚大學電機系4特殊模糊數:(接近3的實數) Fig. 5.3313124312.53.5312415長庚大學電機系5定理定理 5.1：一個模糊集合A 定義在實數 上，則 A 是一個模糊數，若且唯若存在一個閉區間 ，使得 其中L(x) 是一個單調遞增函數，從左起片段連續 (Piecewise Continuous)且 ,當 ； R(x)是一個單調遞減且連續函數，從右起連續且 ,當 。RX ,a b ) 1 . 5( ) ,( ),() ,( ),( , , 1)(bxxRaxxLbaxxA當當當0)(xLlx,0)(xR, rx長庚大學電機系6上圖完全符合定理 5.1所描述的，所以是

3、一個模糊數。 a, b之間 ：滿足性質(i) L(x) 或 R(x) 是單調遞增或單調遞減：滿足性質(ii) L(x) 往右連續；R(x) 往左連續 ：滿足性質(ii) 當 ； 當 ：滿足性質(iii) 。 。 A x( ) l a1 a b b1 b2 r A a()1 A b()2 L(x) R(x) 。 。 。 1)(xA0)(xLlx,0)(xR, rx長庚大學電機系7圖中每個模糊集合其實均是一個模糊數，因性質(i)(iii)均滿足。 04590很小小中大很大長庚大學電機系85.2 區間之算術運算區間之算術運算 若a, b 及 d, e 分別代表實數中兩個區間，則 , ,a bd ea

4、d be , ,a bd eae bd ) , , ,max( ), , , ,min( , ,bebdaeadbebdaeadedba) , , ,max( ), , , ,min(1 ,1 , ,/ ,ebdbeadaebdbeadadebaedba,0ed長庚大學電機系9例5.2：有兩個區間1, 4及2, 5，則 圖5.6：加減法運算 , , ,1 42 53 9 , ,1 42 54 2 , , ,1 42 52 20 ,/ , . ,1 42 502 2 -4 -2 0 1 2 3 4 5 9 -4, 2 1, 4 2, 5 3, 9 長庚大學電機系10若有數個區間 則 (i) (交

5、換性)； (ii) (結合性)； (iii) (單一性). ,212121ccCbbBaaA1, 11,0, 00ABBA A BB A, )()(),()(CBACBACBACBA11, 00AAAAAA長庚大學電機系115.3 模糊數之算術模糊數之算術 A 及 B 為兩個模糊數，依-截集之定義及宇集合為R(實數)之前提下，我們定義 其中 ， 代表 任一種算術。由第三章定理3.4(分解定理) 注意注意A 與 B 均為模糊數， 所以亦應為模糊數。 )2 . 5()(BABA 1 , 0( ,)3 . 5()(1 , 0(BABAA B長庚大學電機系12例5.3：有兩個模糊數 A, B 如下 現

6、在我們欲利用(5.2)及(5.3)式來求 ， 與 四種運算。 . 31 ,23;11 ,213 , 1 , 0)(xxxx+xxxA當當當B xxxxxxx( ),.01512135235 當及當當BABABA , ,A B長庚大學電機系13 圖 5.7由上圖我們在 A 與 B 上取 -截集: (see page 5-9 and 5-10) -1 1 3 5 A B x 12 32 x x 12 52 x A B a1 b1 a2 b2 2-5 , 1223 , 1225 12232)3(122) 1(212211BAbbaaaa長庚大學電機系14 由(5.4)式之左界 ，可得 ；右界 ，可得

7、 。再由(5.3)可知： ，因此：)4 . 5( 1 , 0( ,48 ,4)(BABA4 x4x84x()84x1 ,0()(BABA()( ),AB xxxxx4048480 4 其他 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 1 1 2 A B A+B ()AB B A 長庚大學電機系15 同理：因此：結論結論: 兩相同形狀模糊數加減兩相同形狀模糊數加減, 其結果仍為同形狀的模糊數其結果仍為同形狀的模糊數)5 . 5( 1 , 0( ,42 , 64)(BABA1 ,0()(BABA()( ),AB xxxxx 6422420 6 2 其他 1 2 0 1 2 3 4 5 6 -1 1

8、A B A-B -2 -3 -4 -5 -6 ()AB A B 長庚大學電機系16 理由是：在(5.6a,b)式中 之左界是取自於 右界是取自於A BA B(),( ,4125161501 4161522 4 0.5 (5.6a)4 (0.5, 1 (5.6b)22)(BA)8 . 5( )2-)(52-(3 ,1)+)(22-(3 , )2-1)(5-(2 ),12)(12min()9 . 5( )2-)(52-(3 ,1)+)(22-(3 , )2-1)(5-(2 ),12)(12max(15164)9 . 5(14)8 . 5( 1 , 5 . 0(15164)9 . 5(5124)8

9、. 5(5 . 0 , 0(2222而時，當而時，當長庚大學電機系17由(5.6a)式之左界 ，可知 時 ， ，在此選取 ，因另一解會使 0.5。由(5.6a)式之右界 可知 時 ， 在此選取 ， 因另一解會使 1。同理由(5.6b)式之左界 ，可知 時 ， 。由(5.6b)式之右界 可知 時 ， 。41252x( ,. 0 05 x (,5 0 ()342x()342x416152 x( ,. 0 05 x ( ,8 15 2)14(x()412x412 x( . ,05 1x ( ,0 3()x1 2416152 x( . ,05 1x ( ,3 8()412x長庚大學電機系18因此()(

10、 ),A B xxxxxxx3425012034123150 其他 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 1 A B -2 -3 -4 -5 9 10 11 12 13 14 15 A B ()AB BA 長庚大學電機系19同以上分析ABAB()()(),),( ,(),),21210212 (3-2(2+1) 0.5 (5.7a)(5 (3-2(2+1) (0.5, 1 (5.7b)()( ),ABxxxxxxxxxx 1221051220133221330 其他 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 1 A B A B ()A B A B 長庚大學電機系205.4

11、離散型模糊集合之算術法離散型模糊集合之算術法 上一節連續型模糊集合之算術方法，並不適用於離散型模糊集合。在此介紹一種適用於離散型模糊集合之計算： 把(5.10)式寫得更確實一些)10. 5()(),(min()(supyBxAzBAyxz)d11. 5()( ),(min()() c11. 5()( ),(min()()b11. 5()( ),(min()()a11. 5()( ),(min()(supsupsupsupyBxAzBAyBxAzBAyBxAzBAyBxAzBAyxzyxzyxzyxz長庚大學電機系21定理定理 5.2: 若A, B為兩個連續型模糊數，則可由(5.10)計算而得到

12、且其結果仍為模糊數。但是定理5.2對於離散型模糊數就不一定成立。針對(5.11a)(5.11d)之定義算術，我們再舉例於下例 5.4：兩個模糊數 A 與 B)13. 5(7063 . 05148 . 031 . 020)12. 5(6057 . 04134 . 020BA長庚大學電機系22A, B 兩模糊數定義在整數Z上，若以(5.11a)，(5.11b)式來計算：我們舉 來說明， 如何來的。 時 之 組合有 五組，且 再作 即得 。 403021 . 017 . 008 . 01124 . 033 . 04050120113 . 0107 . 09188 . 074 . 061 . 0504

13、0BABA8zxy 8) ,(yx),3 , 5( ),4 , 4( ),5 , 3(),6 , 2()2 , 6( .40)5( ),3(min(, 0)6( ),2(min(BABA0)7( ),5(min(, 1 . 0)3( ),5(min( .8,0)4( ),4(min(BABABA)0 , 1 . 0 , 8 . 0 , 4 . 0 , 0(sup8yx()( ).AB808088.)8)(BA長庚大學電機系23但若以(5.11c)及(5.11d)分別來作 及 則會有一個問題產生。 上式結果不再是模糊數了，因它非凸集。這不是我們預期的事情：兩個模糊數經算術運算其結果應仍是模糊數。

14、所以用(5.11c)式求 時必須作些修正，(5.11d) 作 也要修正。 A BA B)14. 5(420. 303 . 0257 . 0243 . 0210201183 . 0168 . 0154 . 0140124 . 010091 . 0806040BAA BA BA B長庚大學電機系24如何修正 ？把(5.12)式及(5.13)式用(5.3)式分解定理來計算可得 )15. 5( 310303 . 0293 . 0283 . 0273 . 0263 . 0257 . 0247 . 0237 . 0227 . 0217 . 0201198 . 0188 . 0178 . 0168 . 01

15、54 . 0144 . 0134 . 0124 . 0111 . 0101 . 091 . 080BA長庚大學電機系25依定理5.1應可由(5.14)式錯誤的結果推測出 (5.15)式之正確的結果。先把(5.14)式畫成下圖依圖5.4 (定理5.1)之說明。把上圖畫成定義在 R 上之片段式連續樣子，再把圖5.10取離散型模糊集合表示法，即得(5.15)式 4 6 8 9 11 12 14 16 18 20 21 24 26 0.4 0.4 0.8 0.3 1 0.3 0.7 4121620250.40.40.80.310.323300.70.19。長庚大學電機系265.5 模糊數之大小模糊數之

16、大小 任兩個實數大小比較，可輕易看出。我們可用 來表示。但對兩個模糊數之大小比較又如何呢？ 對於兩個模糊數A及B，我們定義 其中宇集合為 R，且 。 yxxyxyyxyxyyxxyx , ,),max( , ,),min(當當及當當)17.5()( ),(min(=)(z),MAX()16.5)( ),(min(=)(z),MIN(supsupy)max(x,=zy)min(x,=zyBxABAyBxABA（x y zR, 長庚大學電機系27若令 是那兩個模糊數之-截集，若 則我們可以說-截集(區間)之大小順序如下 另外又定義 (5.16)及(5.17)則是藉(5.18)及(5.19)式經分解

17、定理(5.3)式而推導得之。,2121bbBaaA、2211 ,baba且)18. 5( BA)19. 5(),max( ),max(),max()19. 5(),min( ),min(),min(22112211bbabaBAababaBA長庚大學電機系28例5.5： 求MAX(A, B) 及 MIN(A, B)。對所有 我們有 其他當當；其他當當 , 053 ,2534 ,74)( , 060 , 1602 , 12)(xxxxxBxxxxxA( , 0 1 52 , 4766 , 22BA長庚大學電機系29 min(,)min(,), min(,),.,.,.AB 22 74662574

18、2500257466025042266041 MIN , +1, +1, , 0, ( ,).A Bxxxxxxxx 474122120604552455其他-405 6ABMIN(A, B)3-2長庚大學電機系30 14 . 0 ,25 , 474 . 025. 0 ,25 , 2225. 00 ,66 , 22 )52 , 66max( ),47 , 22max(),max(BAMAX +1, , , , 0, ( ,).A Bxxxxxxxx 2212471235234516456其他-505 6ABMAX(A, B)3-2長庚大學電機系31例 5.6：再考慮以下兩個模糊數則以MIN(A

19、, B)來看， 時時滿足 之 共有(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)，各組之歸屬度較小值為 結果以上各組取最大的則 。41 . 034 . 026 . 017 . 00115 . 020403025 . 01105 . 013 . 022 . 0BA41 . 034 . 026 . 01105 . 013 . 020),(MAX403025 . 017 . 00115 . 022 . 0),(MINBABAz 0zx y0min( ,) ( ,)x y ,.,0)0( ),3(min(,

20、1)0( ),1 (min(5 . 0)0( ),0(min(BABABA，0)0( ),4(min(BAMIN( ,)( )A B 01長庚大學電機系32由以上兩例可輕易看出 MIN 與 MAX 有下列特性： (i) MIN(A, B)=MIN(B, A)；MAX(A, B)=MAX(B, A)； (ii) MINMIN(A,B), C= MINA, MIN(B, C)； (iii) MAXMAX(A,B), C= MAXA, MAX(B, C)； (iv) MIN(A, A)=MAX(A, A)=A； (v) MAXA, MIN(A, B)=MINA, MAX(A, B)=A； (vi)

21、MAXA, MIN(B, C)=MINMAX(A, B), MAX(A, C)； MINA, MAX(B, C)=MAXMIN(A, B), MIN(A, C)； 長庚大學電機系33另外若對所有 (5.20)式之右邊可寫成 ，並可由下圖表示 ( , 0 1 ABA BAA BB MIN MAX( 亦即表示( ,),)BA ABMIN(A, B)MAX(A, B)X長庚大學電機系34更簡易的方法41可以得到 MIN(A, B)及 MAX(A,B)的結果 其中 滿足 ，而且以上 或 是指標準運算。 )22. 5(z 若)(若)(B)MAX(A,)21. 5( 若 )( z 若 ),)(B)(z)M

22、IN(A,mmmmx, zB)A x z, zB)Axz, zB)AxzBAmx)()( (xBAxBAmB A BA 長庚大學電機系355.6 模糊數之代數模糊數之代數 一般代數中所熟悉的方程式 這對一般代數來說是非常非常容易的，但在模糊數的領域中，求解 X將是一樁挺麻煩的事。 ，且 求解求解區間 X ，以一般代數來解，X 應該是 把此解 X 代回 ，可知 也就是說很不幸的, 此解 X 是錯的。 )23. 5( , XBXABXA求解或 , ,2121bbBaaAAXB , , ,12212121ababXaabbABXAXBBbbaabaabababaa , , , ,2121212112

23、2121長庚大學電機系36問題出在區間之加法與減法過程有差異，正確的解法應是如此，令 ，則 正確解應該是 因為X 是一個區間，所以 是必然的。 Xxx ,12 abxabxbxabxaBxaxaXA221112221112211 , ; ,)24. 5( ,2211ababXbaba1122長庚大學電機系37兩個模糊數 A 與 B，它們的截集是 其中 若 這個代數之模糊數解 X 如何求呢？讓解 X 之-截集為 ，由(5.22)式可得 因此 。再依照(5.3)式(分解定理) 解 X 即可求得。當然，(5.25)要有解必需 。 ,21aaABbb,12( , 0 1 AXB ,21xxX)25.

24、5(BXAXbaba,1122XX( , 0 1 1 , 0(allfor 2211abab長庚大學電機系38定理定理 5.3 1：兩個模糊數 A, B 滿足 ，則 X 有解之充要條件為 條件(ii) 是指 X 必然是上窄下寬之模糊集合。 BXA 1, 0( , (ii) 1, 0( ,) i (222211112211 abababab abab對任何長庚大學電機系39例5.7：求解 ，其中我們把 A,B及解 X 之-截集列表如下頁表5.1。AXB11,10(1 . 010, 9(2 . 09 , 8(4 . 08 , 7(5 . 07 , 6(6 . 06 , 5(7 . 051)5 ,

25、49 . 0)4 , 38 . 0) 3 , 27 . 0)2 , 1 5 . 0) 1 , 04 . 0)0 , 13 . 07 , 6(2 . 06 , 5(4 . 05 , 4(6 . 041)4 , 39 . 0) 3 , 27 . 0)2 , 1 5 . 0) 1 , 03 . 0BA長庚大學電機系401 4, 4 5, 51, 1 0.9 3, 4 4, 5 1, 1 0.83, 43, 50, 10.72, 42, 60, 20.62, 52, 70, 20.51, 51, 80, 30.41, 60, 9-1, 30.30, 6-1, 9-1, 30.20, 7-1, 10-1

26、, 30.10, 7-1, 11-1, 4ABX表表5.1長庚大學電機系41由表5.1可將解 X 畫出，如下圖所以 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 -1 4 , 3(1 . 03 , 2(5 . 02 , 1(7 . 011)1 , 08 . 0)0 , 14 . 01 ,0(XX長庚大學電機系42再來探討 。有兩個正實數 區間， 求解區間 X。以一般代數解 為了簡化問題，假設 ，則由(5.26)式知 ，代入 中可得 顯然的，(5.26)式的解 X 有誤。 A XB , ,2121bbBaaA)26. 5(),max( ),min(1221221112212211ababababababababABXaabb121224412, X ,1 6 A XBA XB , , ,2 414 6=2, 24 12長庚大學電機系43正確的解法應是讓 即 。上式的解 。但因為X 是一個區