高考专题复习第五节　空间向量及其运算

1、第五节空间向量及其运算学习要求-公众号：新课标试卷:1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.1.空间向量的有关概念名称概念共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 的向量共面向量平行于 同一个平面 的向量共线向量定理对空间任

2、意两个向量a,b(b0),ab存在R,使 a=b 共面向量定理若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面存在唯一的有序实数对(x,y),使p= xa+yb ,x,yR空间向量基本定理定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z使得p= xa+yb+zc ;推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=12.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积:a·b=|a|b|cos<a,b>ab a·b=0 (a,b为非零向量); |

3、a|2= a2 . (2)向量的坐标运算:a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3) 向量差a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数量积a·b= a1b1+a2b2+a3b3 共线ab a1=b1,a2=b2,a3=b3(R,b0) 垂直ab a1b1+a2b2+a3b3=0 夹角公式cos<a,b>= a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32 3.两个重要向量(1)直线的方向向量:直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表

4、示的向量,一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量:直线l平面,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,且它们是共线向量.4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1l2n1n2 n1=n2 l1l2n1n2 n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面的法向量为mlnm n·m=0 lnmn=m平面,的法向量分别为n,mnmn=mnmn·m=01.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)空间中任意两个非零向量a,b共面.()(2)对于向量a,b,若a·b=0,则一

5、定有a=0或b=0.()(3)若a·b<0,则<a,b>是钝角.()(4)若a,b,c是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.()(5)两个不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是平行.()(6)已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量n0=±13,-23,23.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.(新教材人教A版选择性必修第一册P5T5改编)如图,在空间四边形OABC中,OB,AC为其对角线,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段M

6、N上,且MG=2GN,若OG=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=. 答案563.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是. 答案垂直4.(易错题)在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是. 答案平行【易错点分析】忽视向量共线与共面的区别致误.空间向量的线性运算1.如图,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示NM

7、,则NM等于() A.12(-a+b+c)B.12(a+b-c)C.12(a-b+c)D.12(-a-b+c)答案BNM=NA+AM=(OAON)+12AB=OA12OC+12(OBOA)=12OA+12OB12OC=12(a+b-c).2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)化简:A1O12AB12AD=; (2)用AB,AD,AA1表示OC1,则OC1=. 答案(1)A1A(2)12AB+12AD+AA1解析(1)A1O12AB12AD=A1O12(AB+AD)=A1O12AC=A1OAO=A1O+OA=A1A.(2)因为OC=12AC=1

8、2(AB+AD),所以OC1=OC+CC1=12(AB+AD)+AA1=12AB+12AD+AA1.3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1)AP;(2)MP+NC1.解析(1)P是C1D1的中点,AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a+c+12AB=a+c+12b.(2)M是AA1的中点,MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+a+c+12b=12a+12b+c,又NC1=NC+CC1=12BC+AA1=12AD+AA1=12c+a,MP

9、+NC1=12a+12b+c+a+12c=32a+12b+32c.名师点评进行向量的线性运算,有以下几个关键点(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系;(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义;(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.共线向量、共面向量定理的应用典例1已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足OM=13(OA+OB+OC).(1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解析(1)由已知得OA+OB+OC=3OM,所以OAOM=(OMOB)+(OMOC),即MA=BM+CM=MBMC,所以MA,MB

10、,MC三个向量共面.(2)由(1)知MA,MB,MC共面,又它们有公共点M,所以M,A,B,C四点共面,从而知点M在平面ABC内.名师点评1.证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明A,B,C三点共线,即证明AB,AC共线,亦即证明AB=AC(0).2.证明点共面的方法证明点共面的问题可转化为证明向量共面的问题,如果证明P,A,B,C四点共面,只要能证明PA=xPB+yPC或对空间任一点O,有OA=OP+xPB+yPC或OP=uOA+vOB+wOC(u+v+w=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.1.已知a=(2,-1,3),b=(-1

11、,4,-2),c=(7,5,),若向量a,b,c共面,则实数等于() A.627B.637C.647D.657答案D因为向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理得存在唯一有序实数对(x,y)使得xa+yb=c,所以2x-y=7,-x+4y=5,3x-2y=,解方程组得=657.2.如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GMGA=13.求证:B、G、N三点共线.证明设AB=a,AC=b,AD=c,则BG=BA+AG=BA+34AM=-a+14(a+b+c)=-34a+14b+14c,BN=BA+AN=BA+13(AC+AD)=-a+13b+13c=4

12、3BG,BNBG,即B、G、N三点共线.空间向量数量积的应用典例2如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.计算:(1)EF·BA;(2)EG·BD.解析设AB=a,AC=b,AD=c.由题意得|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°.(1)EF=12BD=12(ADAB)=12c-12a,BA=-a,所以EF·BA=12c-12a·(-a)=12a2-12a·c=14.(2)EG·BD=(EA+AD

13、+DG)·(ADAB)=-12AB+AD+AG-AD·(ADAB)=-12AB+12AC+12AD·(ADAB)=-12a+12b+12c·(c-a)=12×1×1×12+1×1×12+1+11×1×121×1×12=12.变式1在本例条件下,求证:EGAB.证明由典例2知EG=12(AC+ADAB)=12(b+c-a),所以EG·AB=12(a·b+a·c-a2)=12×1×1×12+1×1&#

14、215;12-1=0.故EGAB,即EGAB.变式2在本例条件下,求EG的长.解析由典例2知EG=12a+12b+12c,所以|EG|2=14a2+14b2+14c2-12a·b+12b·c-12c·a=12,解得|EG|=22,即EG的长为22.变式3在本例条件下,求异面直线AG与CE所成角的余弦值.解析易知AG=12b+12c,CE=CA+AE=-b+12a,所以cos<AG,CE>=AG·CE|AG|CE|=23,因为异面直线所成角的范围是0,2.所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.名师点评空间向量数量积的3个应用求夹角设向量a

15、,b的夹角为,则cos =a·b|a|b|,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用aba·b=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题1.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,A1AB=A1AD=120°.(1)求线段AC1的长;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(3)求证:AA1BD.解析(1)设AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=

16、0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1.AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c,|AC1|=|a+b+c|=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=12+12+22+2×(0-1-1)=2.线段AC1的长为2.(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为,AC1=a+b+c,A1D=b-c,AC1·A1D=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,|A1D|=(b-c

17、)2=|b|2-2b·c+|c|2=12-2×(-1)+22=7.cos =|AC1·A1D|AC1|A1D|=|-2|2×7=147.故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147.(3)证明:AA1=c,BD=b-a,AA1·BD=c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,AA1BD,即AA1BD.2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解析(1)设AB=a,AD=b,

18、AA1=c,由题意知|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,a·b=b·c=c·a=12.|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×12+12+12=6,|AC1|=6,即AC1的长为6.(2)BD1=b+c-a,AC=a+b,|BD1|=2,|AC|=3,又BD1·AC=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1,cos<BD1,A

19、C>=BD1·AC|BD1|AC|=66.即BD1与AC夹角的余弦值为66.利用空间向量证明平行、垂直角度一利用空间向量证明平行问题典例3如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD=2,BD=22,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ平面BCD.证明如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在直线分别为y轴,z轴,过O点垂直于平面yOz的直线为x轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知,A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),点Q的坐标为(x,y,z),则AQ=(x,y

20、-2,z-2),QC=(x0-x,y0-y,-z),因为AQ=3QC,所以(x,y-2,z-2)=3(x0-x,y0-y,-z),所以Q34x0,24+34y0,12.因为M为AD的中点,所以M(0,2,1).又P为BM的中点,故P0,0,12,所以PQ=34x0,24+34y0,0.又平面BCD的一个法向量为DM=(0,0,1),PQ·DM=0,所以PQDM,又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.角度二利用空间向量证明垂直问题典例4如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:A

21、PBC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.证明:平面AMC平面BMC.证明(1)以O为坐标原点,OD,OP所在直线分别为y轴,z轴,过点O且垂直于平面DOP的直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),所以AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以APBC,即APBC.(2)由(1)知AP=|AP|=5,又AM=3,且点M在线段AP上,所以AM=35AP=0,95,125,又BA=(-4,-5,0),所

22、以BM=BA+AM=-4,-165,125,则AP·BM=(0,3,4)·-4,-165,125=0,所以APBM,即APBM,又根据(1)的结论知APBC,且BCBM=B,所以AP平面BMC,所以AM平面BMC.又AM平面AMC,故平面AMC平面BMC.名师点评利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系;(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系;(4)根据运算结果解释相关问题.提醒运用向量

23、知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.1.(2019河北衡水模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD,且PA=PD=22AD,设E,F分别为PC,BD的中点.求证:(1)EF平面PAD;(2)平面PAB平面PDC.证明(1)如图,取AD的中点O,连接OP,OF.因为PA=PD,所以POAD.又侧面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD.又O,F分别为AD,BD的中点,所以OFAB.又四边形ABCD是正方形,所以OFA

24、D.因为PA=PD=22AD,所以PAPD,OP=OA=a2.以O为坐标原点,OA,OF,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则Aa2,0,0,F0,a2,0,D-a2,0,0,P0,0,a2,Ba2,a,0,C-a2,a,0.因为E为PC的中点,所以E-a4,a2,a4.易知平面PAD的一个法向量为OF=0,a2,0,因为EF=a4,0,-a4,OF·EF=0,a2,0·a4,0,-a4=0.且EF平面PAD,所以EF平面PAD.(2)因为PA=a2,0,-a2,CD=(0,-a,0),所以PA·CD=a2,0,-a2·(0

25、,-a,0)=0,所以PACD,所以PACD.又PAPD,PDCD=D,PD,CD平面PDC,所以PA平面PDC.又PA平面PAB,所以平面PAB平面PDC.2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过点E作EFPB于点F.求证:(1)PA平面EDB;(2)PB平面EFD.证明以D为坐标原点,直线DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设DC=a.(1)连接AC交BD于点G,连接EG.依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),E0,a2,a2.因为底面ABCD是正方形

26、,所以G为AC的中点,故点G的坐标为a2,a2,0,所以PA=(a,0,-a),EG=a2,0,-a2,则PA=2EG,故PAEG.又EG平面EDB,PA平面EDB,所以PA平面EDB.(2)依题意得B(a,a,0),D(0,0,0),所以PB=(a,a,-a),DE=0,a2,a2,故PB·DE=0+a22a22=0,所以PBDE,所以PBDE.又EFPB,EFDE=E,所以PB平面EFD.A组基础达标1.在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=()A.-1B.0C.1D.不确定答案B2.(2019甘肃天水期末)已知A(x,5-x,

27、2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为()A.19B.-87C.87D.1914答案C3.已知空间内有任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(x,y,zR),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B4.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,OA+OB与OB的夹角为120°,则的值为()A.±66B.66C.-66D.±6答案C5.(多选题)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列说法

28、正确的是()A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2B.A1C·(A1B1A1A)=0C.向量AD1与向量A1B的夹角是60°D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|答案AB由向量的加法得到A1A+A1D1+A1B1=A1C,A1C2=3A1B12,A1C2=3A1B12,故A说法正确;A1B1A1A=AB1,AB1A1C,A1C·AB1=0,故B说法正确;ACD1是等边三角形,AD1C=60°,又A1BD1C,异面直线AD1与A1B所成的角为60°,但是向量AD1与向量A1B的夹角是

29、120°,故C说法错误;ABAA1,AB·AA1=0,故|AB·AA1·AD|=0,因此D说法错误.故选AB.6.已知O(0,0,0),A(-2,2,-2),B(1,4,-6),C(x,-8,8),若OCAB,则x=;若O,A,B,C四点共面,则x=. 答案16;87.三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c.(1)用a,b,c表示向量MN为; (2)若BAC=90°,BAA1=CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,则

30、MN的长为. 答案(1)13a+13b+13c(2)538.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).有如下结论:APAB;APAD;AP是平面ABCD的法向量;APBD.其中正确的是.(只填序号) 答案解析因为AB·AP=0,AD·AP=0,所以ABAP,ADAP,所以结论正确;又AB与AD不平行,所以AP是平面ABCD的法向量,所以结论正确;因为BD=ADAB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1),所以BD与AP不平行,所以结论错误.9.如图,在四棱柱ABCD-A1B1

31、C1D1中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.(1)试用向量AB,AD,AA1表示AG;(2)用向量方法证明平面EFG平面AB1C.解析(1)设AB=a,AD=b,AA1=c,则AG=AA1+A1D1+D1G=c+b+12DC=12a+b+c=12AB+AD+AA1.(2)证明:AC=AB+BC=a+b,EG=ED1+D1G=12b+12a=12AC,EG与AC无公共点,EGAC,EG平面AB1C,AC平面AB1C,EG平面AB1C.又AB1=AB+BB1=a+c,FG=FD1+D1G=12c+12a=12AB1,FG与AB1无公共点,FGAB1,FG

32、平面AB1C,AB1平面AB1C,FG平面AB1C.又FGEG=G,FG平面EFG,EG平面EFG,平面EFG平面AB1C.B组能力拔高10.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,C1N=NC,且AB1MN,则的值为. 答案15解析如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,以M为坐标原点,MC,MA,MP的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系M-xyz.因为底面边长为1,侧棱长为2,所以A0,32,0,B1-12,0,2,C12,0,0,C112,0,2,M(0,0,0),设N12,0,t,则AB1=-12,-32,2,C1N=(0,

33、0,t-2),NC=(0,0,-t),因为C1N=NC,所以N12,0,21+,所以MN=12,0,21+.又因为AB1MN,所以AB1·MN=0,所以-14+41+=0,解得=15.11.(2019甘肃兰州模拟)已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,VP=13VC,VM=23VB,VN=23VD,则VA与平面PMN的位置关系是. 答案平行解析如图,设VA=a,VB=b,VC=c,则VD=a+c-b.由题意知PM=VMVP=23VB13VC=23b-13c,PN=VNVP=23VD13VC=23a-23b+13c,因此VA=32PM+32PN,VA,

34、PM,PN共面.又VA平面PMN,VA平面PMN.12.如图,三棱锥P-ABC中,PA·AB=PA·AC=AB·AC=0,PA2=AC2=4AB2.(1)求证:AB平面PAC;(2)若M为线段PC上的点,设|PM|PC|=,当为何值时,直线PC平面MAB?解析(1)证明:因为PA·AB=PA·AC=AB·AC=0,所以PAAB,ABAC,因为PAAC=A,所以AB平面PAC.(2)当M为PC的中点,即=12时,直线PC平面MAB.如图,以A为坐标原点,射线AC,AB,AP分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系A-xyz.由

35、PA2=AC2=4AB2可得PA=AC=2AB.设AP=2,则P(0,0,2),A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,1,0),M(1,0,1).PC=(2,0,-2),AM=(1,0,1),MB=(-1,1,-1).PC·AM=2×1+0×0+(-2)×1=0,所以PCAM,即PCAM.PC·MB=2×(-1)+0×1+(-2)×(-1)=0,所以PMB,即PCBM.又因为AMBM=M,所以PC平面MAB.故当=12时,PC平面MAB.C组思维拓展13.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,ABC和A1AC均为60°,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证:BDAA1;(2)判断直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1,若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:设BD与AC交于点O,则BDAC,连接A1O,在AA1O中,AA1=2,AO=1,A1AO=60°,A1O2=