函数的最值与导数

1、函数的最值与导数函数的最值与导数【复习引入【复习引入】(1)( )0f x ( )为单调递增函数f x(2)( )0f x ( )为单调递减函数f x0(3) 为极值点x0()0f x 1、导数与单调性的关系、导数与单调性的关系（前提导数存在）（前提导数存在）xyo0 x 左正右负极大左正右负极大左负右正极小左负右正极小左右同号无极值左右同号无极值(2) (2) 由负变正由负变正, ,那么那么 是极小值点是极小值点; ;0 x( )f x (3) (3) 不变号不变号, ,那么那么 不是极值点。不是极值点。0 x( )f x (1) (1) 由正变负由正变负, ,那么那么 是极大值点是极大值点

2、; ;( )fx 0 x2.极值的判定极值的判定 yxo 0 xxoy0 x(1) 确定函数的定义域确定函数的定义域 ；2.求可导函数求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤：的极值点和极值的步骤：(5)(5)下结论，写出极值。下结论，写出极值。(2) 求出导数求出导数 ； ( )fx (3) 令令 ，解方程；，解方程；( )0fx (4) 列表列表x3x2abx1xOy 观察右边一观察右边一个定义在区间个定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象.可以发现图中可以发现图中_是极小值，是极小值，_是极大值。是极大值。【问题探究问题探究】13(), ()f xf x 问题问题:

3、如果在没有给出函数图象的情况下，怎样如果在没有给出函数图象的情况下，怎样 求形如求形如 的最值的最值( ), , yf x xa b ( )f b3()f x在区间上的函数的最大值是在区间上的函数的最大值是_，最小值是最小值是_。2()f x 1) 1)在某些问题中，往往关心的是函数在整个在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题这就定义域区间上，哪个值最大或最小的问题这就是我们通常所说的是我们通常所说的最值问题最值问题. . 2) 2)在在闭区间闭区间 a, ,b 上的函数上的函数y= =f( (x) )的图象是的图象是一条一条连续不断连续不断的曲线的曲线, ,

4、则它则它必有必有最大值和最小最大值和最小值值. .xy0abx1 1x2 2x3 3x4 4f( (a) )f( (x3 3) )f( (b) )f( (x1 1) )f( (x2 2) )ggoxyaboxyaboxyaboxyaby= =f( (x) )y= =f( (x) )y= =f( (x) )y= =f( (x) ) 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, ,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. .设函数设函数 在在 上有定义上有定义, ,则求则求在在 上的最大值与最小值的步骤如下：上的最大值

5、与最小值的步骤如下：( )f x , a b( )f x , a b求求 在在 内的极值内的极值(极大值与极极大值与极小值小值); ( )yf x ( , )a b将函数将函数 的各极值与的各极值与 、 作作比较，其中最大的一个为比较，其中最大的一个为最大值最大值，最小的，最小的一个为一个为最小值最小值。( )yf x ( )f a( )f b结论结论 一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小上的最大值与最小值的值的步骤步骤如下：如下：:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值); :将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值

6、的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最最小的一个为最小值小值. 求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的函数的极值是极值是在局部范围内讨论问题在局部范围内讨论问题,是一个是一个局部概局部概 念念,而函数的而函数的最值最值是对整个定义域而言是对整个定义域而言,是在整体范围是在整体范围 内讨论问题内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若

7、有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极则此极 值必是函数的最值值必是函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个有一个,而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有也可能没有极值极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小最小值值),但除端点外在区间内部的最大值但除端点外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),则则一定是极大值一定是极大值(或极小值或极小值). (4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函则在确定函数的最值时数的最值时,不仅比较该函数各导数

8、为零的点与端不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值处的值. (5)在解决实际应用问题中在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只如果函数在区间内只有一个极值点有一个极值点(这样的函数称为单峰函数这样的函数称为单峰函数),那么要根那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再不必再与端点的函数值进行比较与端点的函数值进行比较.解解:24yx 当当 变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:,yy 例例1、求函数、求函数 在区间在区间 上的最大上的最大值与最小值。值

9、与最小值。31443yxx 0,3令令 ,解得解得0y 22或xx 函数在区间函数在区间 上最大值为上最大值为 ,最小值为最小值为 43 0,3x04函数在闭区间求最值时要注意极值点在不在区函数在闭区间求最值时要注意极值点在不在区间范围内间范围内（舍去舍去）(0,2)2(2,3)x( )f x ( )f x0343 极小值极小值41 练习练习1： 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大值与 最小值最小值4225yxx2 , 2 解：解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1 , 0 , 1 x1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(

10、-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy , 从表上可知，最大值是从表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是4练习练习2：函数函数 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最上的最大值为大值为 ，最小值为，最小值为 .解：解： 由由 f (x)=3x +6x9=0,又区间又区间4 , 4 端点处的函数值为端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76得得x1=3，x2=1. 相应的函数值为相应的函数值为f (3)=27，f (1)=5.当当x变化时，变化时，y 、 y的变化情况如下表：的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3

11、(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576可知函数在可知函数在4 , 4 上的最大值为上的最大值为 f (4) =76，最小值为最小值为 f (1)=5.练习练习3 3 求函数求函数 的值域的值域 xxxxf 4325)(解：解：由由 得得 的定义域为的定义域为 0403xx)(xf43 x因为因为0421315)4()32()5()( xxxxxxfy所以所以 在在 上单调递增，上单调递增， )(xf 4 , 3 故当故当 时，时， 时，时， 3 x4,715 xy最最小小7220 最最大大y所以值域为所以值域为 7220,715 例例2：设：设 ，函数，函数 的最大值为的最

12、大值为1，最小值为，最小值为 ，求常数，求常数a、b. 132 a)11(23)(23 xbaxxxf26 解解:令令 ，得，得x=0或或a.033)(2 axxxf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf x-1(-1,0)0(0,a) a(a,1) 1f(x) +0 - 0 +f(x)-1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2+b由表知，当由表知，当x=0时，时，f(x)取得极大值取得极大值b，而而f(0)f(a)，f(0)f(-1)，f(1)f(-1). 故需比较故需比较f(1)与与f(0)的大小的大小.又又f(-1)f(a)=(a+1)2(a

13、-2)/20，故故b=1.f(x)的最大值为的最大值为f(0)=b,61.3综上，得：、ab例例3：已知函数：已知函数(1)求求 的单调减区间的单调减区间(2)若若 在区间在区间 上的最大值为上的最大值为 ,求该区间上的最小值求该区间上的最小值32( )39,f xxxxa ( )f x( )f x 2,2 20所以函数的单调减区间为所以函数的单调减区间为(, 1)(3,)， 解解:2(1)( )369f xxx ( )0令f x 23690即xx 13解得:或xx 2(2)( )369f xxx 令令 解得解得( )0f x 13或xx 当当 变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表

14、:,yy x（舍去）（舍去）- x( )f x( )f x ( 2, 1) 1 ( 1,2) 205 a 2 极小值极小值2 a 22 a 2220a2即a 最小值为最小值为527 所以函数的最大值为所以函数的最大值为 最小值为最小值为(2)22fa5a 练习：已知函数练习：已知函数(1)求求 的极值的极值(2)当当 在什么范围内取值时，曲线在什么范围内取值时，曲线 与与 轴总有交点轴总有交点3( )3, 2,3f xxxa x ( )f xx解解:2(1)( )33f xx 令令 解得解得( )0f x 11或xx 所以函数的极大值为所以函数的极大值为 ，极小值为，极小值为 a( )yf x

15、 2 a 2 a 当当 变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:( ),( )fxf x x- + x( )f x( )f x ( 2, 1) 1 ( 1,1) 1(1,3)0-2 a 2 a 0极小值极小值极大值极大值218即a2a 18a 曲线曲线 与与 轴总有交点轴总有交点x( )yf x 20180aa 由（由（1）可知，函数在区间）可知，函数在区间 上的极大值上的极大值为为 ，极小值为，极小值为 ，又因，又因 ， 2a ( 2)2fa(3)18fa 2,3 2a (2)所以函数的最大值为所以函数的最大值为 ，最小值为，最小值为经检验，经检验，a=1,b=1时，时，f(x)满

16、足题设的两个条件。满足题设的两个条件。23( )logxaxbf xx 已知已知 , ,x(0,+).(0,+).是否存在实数是否存在实数 a、b, , 使使f (x)同时满足下列两个条件：同时满足下列两个条件：（1 1） f (x)在（在（0 0，1 1）上是减函数，在）上是减函数，在1 1，+)+)上是增函数；上是增函数；（2 2） f (x)的最小值是的最小值是1 1。若存在，求出，若不存在，说明理由。若存在，求出，若不存在，说明理由。xbaxx2解：设解：设g(x)=f(x)在（在（0，1）上是减函数，在）上是减函数，在1，+)上是增函数上是增函数g(x)在（在（0，1）上是减函数，在）上是