常微分方程解的结构

1、)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式)(xfqyypy 常系数线性微分方程解的结构常系数线性微分方程解的结构121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xky xy xyxy xyx ：设为定义在内的两个函数，：设为定义在内的两个函数，如果存在非零常数 ,使得,则称如果存在非零常数 ,使得,则称线性相关，否称线性相关，否称定定则线性无关则线性无关义义12( )( )0,y xyqyyypx 设是方程的两个设是方程

2、的两个线性无关线性无关定理9.1定理9.1的解，则的解，则1122( )( )( )y xC y xC yx12,.CC是方程的通解，其中为任意常数是方程的通解，其中为任意常数二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(1) (1) 有两个不相等的实根有两个不相等的实根1r2r,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy 2(40)pq 特征根为特征根为(2) (2) 有两个相等的实根有两个相等的实根2(40)pq 所

3、以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为;)(121xrexCCy ,11xrey ,221prr 一特解为一特解为特征根为特征根为另一特解另一特解;2xrxey (3) (3) 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 jr ,2 jr 2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx方程的通解为方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx )(xfq

4、yypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构*( )( )( ),y xY xyx 二阶常系数非齐次线性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一个特解，如果是方程的一个特解，是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解为为12( )( )y xyx定理定理如果与分别为方程如果与分别为方程12( ),( )ypyqyfxypyqyfx 和和Y的特解，是方程的特解，是方程, 0 qyypy的通解，则的通解，则*12( )( )( )( )y xY xyxyx 12(

5、)( ).ypyqyfxfx 是是方方程程的的通通解解常见类型常见类型( ),nP x( ),xnP x e 12(cossin)xeAxAx 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.1.( )nypyqyP x 设非齐方程特解为设非齐方程特解为*( )yQ x为多项式，为多项式，代入方程代入方程( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x1011( )0nnnnQ xa xa xaqxa 时时，( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x01,.naaa其中为待定系数其中为待定系数0 ,0qp时时， 可设， 可设12011( )nnnnQ xa xa

6、 xaxa x 0 ,0qp时时， 方程通解可由， 方程通解可由( )nyP x .直接积分得到直接积分得到设非齐方程特解为设非齐方程特解为*( )xyQ x e 代入原方程代入原方程2( )(2)( )() ( )( )nQxp Q xpq Q xP x不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ( )( ),nQ xQx 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ( )( ),nQ xxQx 可设可设*( );xnyQx e *( );xnyxQx e (2.)xnypyqyP x e 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若

7、 )3(, 02 qp , 02 p 2( )( ),nQ xx Qx 可可设设综上讨论综上讨论*( ) ,kxnyx e Qx 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k*2( ).xnyx Qx e 特别地特别地xAeqyypy 2*2,22xxxAepqAyxepAx e 不是特征方程的根不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的单根是特征方程的重根是特征方程的重根.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设

8、设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 设设,)(1ximkeQxy 利用欧拉公式利用欧拉公式,)()(xiexPqyypy 设设,)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(

9、cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是单根不是根不是根 iik.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4ixeyy ,是单根是单根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例2 2.2cos的

10、通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取实部）（取实部）注意

11、注意xAexAexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xiAe .tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例4 4三、小结三、小结可可以以是是复复数数） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.思考题思考题写出微分方程写出微分方程x