课题数系的扩充和复数的概念

1、课题：数系的扩充和复数的概念汪洋涛（湖北省荆门市龙泉中学）一、教学设计1 、教学目标分析数系的扩充与复数的概念是人教版普通高中数学实验教材选修2-2 第三章第一节的内容，课时安排约一课时.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.根据以上分析，确定教学目标如下：（ 1 ）知识与技能：理解虚数单位等概念；掌握复数相等的充要条件.（ 2）过程与方法：由经历解方程的运作领悟

2、引入复数的必要性，在探索复数有关概念中进一步提升合作、交流水平，在定义复数相等的探讨中增强数学转化意识.（ 3）情感、态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系2 、教学内容解析复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充新课程中复数内容突出复数的代数表示，同时也强调了复数的几何意义它的内容是分层设计的：先将复数看成是有序实数对，再把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义同时，复数作为一种新的数学语言，也为我们今后用代数的方法解决

3、几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性；另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容根据以上分析，本节课的教学重点确定为：（ 1 ）感受数系扩充的过程，体会引进虚数单位i 的必要性和对i 的规定；（ 2）理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件3 、教学问题诊断结合学生已有的认知基础，预测学生在学习本节内容可能产生的认知障碍与学习困难：为什么要引入i ？如何引入？i 是什么？根据教与学的关系，学生的学可以促进教师的教与学教师通

4、过学习数系的扩充历史，了解数系扩充的原则与方法，从而为虚数单位i 的引入奠定理论基础；虚数的引入虽然最先由于数学本身的需要，但也只有当高斯用于表示一个向量的时候，复数在解决实际问题中才得到广泛的应用，渐渐地才被大家接受因此，i 是人类理性思维的产物，是一种创造所以本节课的教学难点确定为：虚数单位i 的引入和复数概念的理解.4、教学对策分析本节课是章节起始课，在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为空洞无味，加之由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i 的引入难以理解，另外学生对虚数单位i 和实数进行四则运算也不容易接受。本节

5、课运用多媒体课件辅助教学，图文并茂，讲解数的发展简史，增强生动性；并通过动画演示，类比实数，从几何意义角度认识虚数单位i,进而借助几何图形展示理解复数的代数形式a bi ,降低难度，便于学生接受.5、教学基本流程创设情景一一回顾历史一一悬疑探究一一建构新知一一生成理论一一巩固练习6、教学过程设计一、创设情景：同学们，很高兴有机会和同学们一起学习，首先我想问大家几个问题：全班共有多少人？其中男生多少？女生多少？男、女生比例多少？男生比女生多多少？设计意图：一方面拉近与学生的距离，另一方面引出了自然数、整数、分数，从而很自然的过 渡到回顾数的发展史.二、回顾历史：问题1数集经历了哪几次扩充？（配图

6、，穿插数的发展史相关知识）设计意图：学生已经学习过自然数、整数、分数、负数、有理数、无理数、实数等，在此基 础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，即自然数集一整数集一有理数集一实数集，这是学 生的“最近发展区”，也是本节课知识的生长点.数学典故的讲解可提高学生的兴趣，让学生更 加了解数学的本质。问题2什么原因导致数的概念逐步扩充的？计意意图：学生通过回忆、思考每次数集扩充的必要性，解决了哪些问题，即数集为什么要 扩充？自然数集引入 整数集 引入 有理数集引入 一实数集负整数分数无理数让学生感受到这些数的产生不是从天而降，是数学内部发展的需要，也是社会发展的需要.问题3新数集与旧数集是怎样的关

7、系？N Z Q R/ / 一一 、设计意图：一方面培养学生的观察、概括与表达能力；另一方面通过对前几次数集扩充的梳 理，为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并 能提炼出数系扩充的一般原则.由此，突破本节课的一个难点.三、悬疑探究问题4 将10分成两部分，使两者的乘积为40.有这样的两个数吗？设计意图：一方面展示数学家卡当的风采，激发学生的学习兴趣；另一方面，引领学生重温 历史，感悟数学发现并不神秘，数学家也是从常规问题入手.同时为复数的引入及为什么引入和 引入的意义埋下伏笔。即60开平方问题，就是要找一个数的平方为 60,260 601，我们知道，J6

8、0已经解决，因此问转化为（？ ）21 ）即解方程x21.设计意图：打破原有认知平衡，形成认知冲突，让学生感受到数已经不够用了，体现学习新 知识的必要性.四、建构新知问题5为什么用i呢？是谁引入了 i呢？i是“虚幻的”英文单词imaginary的第一个字母.卡当只是发现了这个矛盾，它的引入者是 被称为“分析的化身”的瑞士著名数学家欧拉，引入时间公元1777年，从十六世纪到十八世纪，历史的车轮已经行进了两百多年，可见科学上每一步的迈出是多么的艰辛！设计意图：教师通过自问自答， 介绍与虚数单位i有关的历史，激发学生兴趣，强化对i的认 识，并让学生感受到科学上每一步的迈出是多么的艰辛！问题6虚数i真的

9、那么 虚幻”？它是否跟实数一样有意义？rqIeI1»-101-1011X(-1)=-11XiXi=-11乘-1逆时针旋转1801乘i逆时针旋转90进一步探究 2 i 2i,3 i 3i,( 2) i 2i.问题7虚数i与实数b相乘的几何意义，即数 bi的几何意义是什么？数bi也落在一条数轴上(与实数数轴垂直)问题8 bi与实数a相加的几何意义呢？复平面上的点 a,b对应a bi形式的数，点a, b唯一.设计意图：分别类比实数赋予虚数单位i ,数bi和a bi的几何表示，使学生更清楚的认识“虚数不虚”，很自然的引出了复数的定义，同时为复数的分类和两个复数相等的条件等知识的出现打下了坚实

10、的基础，同时也为第二节内容作好了铺垫五、生成理论问题9：虚数与实数构成了一个新的数集，我们把这个新的数集叫做复数集，记作C .这样我们就完成了数系的又一次扩充.我们把新的数系称作复数系.该怎样用描述法表示集合 C呢？1、复数的定义：形如a bi a,b R的数，我们把它们叫做复数， 其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。C zz a bi,a,b R设计意图：难点突破了，接下来就是本节课的而重点内容。练一练：大家能不能构造出几个不同类型的复数，再指出其实部和虚部?师生活动：学生快速在白纸上写出几个不同类型的复数，教师巡视，选有代表性两张进行投影然后请学生说明理由,师生共同总结出复数分类的标准

11、，从而得出复数的分类.2、复数的分类:复数Za bi实数(b 0)虚数(b 0)当a0时为纯虚数设计意图：通过学生自己动手，合作探究，找到复数分类的标准，解决复数的分类问题加深对这一知识的理解.练习：判断下列说法是否正确：(1) 一个数是实数，则这个数一定是复数；(2) 一个数是虚数，则这个数一定是纯虚数；(3) 一个数有可能既是虚数，又是实数；(4) 1 2i2是虚数；(5) 3 2i的虚部是 2i ；(6) 1 bi b R是虚数.六、巩固练习例1、实数m分别取什么值时，复数 z m 1 m 1 i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m R,所以m 1,m 1都是实数，由复数

12、 z a bi是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数 m的值.解：(1)当m 10,即m 1时，复数z是实数；(2)当m 1 0,即m 1时，复数z是虚数；m 1 0当，即m 1时，复数z是纯虚数.m 1 0练习：若x2 1 x2 3x 2 i是纯虚数，则实数 x=；设计意图：及时反馈，了解学生对概念的理解情况，巩固复数的分类的条件，特别强调纯虚数满足两个条件.问题10：对于复数z1a bi,z2 c dia,b,c,d R 在什么情况下相 等呢?a bi c例2、已知(2x 1) idi ac且bdy (3 y)i 淇中 x, y R ,求 x, y .分析：因为x, y R,所以由两个复数

13、相等的定义，可列出关于x,y的方程组，解这个方程 组，可求出x,y的值.解：由复数相等的条件有2x11 y解得(3 y)5 x 一2 y 4设计意图：强化复数相等的条件和复数问题实数化的基本方法.让学生在解决问题的过程中 内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的效果.七、归纳总结数系扩充史 史i21za bi (a,b复平面R)分类.实数b a,b取值虚数b0时为纯虚数实部复数相等的充要条件a bi c di a c且b d 虚部复数集的扩充是中学阶段数的最后一次扩充，后面的课我们将要解决复数的四则运算及复数的几何意义，在解决问题的过程中要注意与实数结合，弄清它们的区别，也要抓住它们的联系

14、随着科学技术的不断进步，复数理论已越来越显示出它的重要性，它不仅对数学本身的发展有着 极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并且在解决堤坝渗水的问 题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站(如三峡水电站)提供了重要理论依据设计意图：通过学生总结和教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.既是对整节课堂教学的回顾，又能对教学效果起到及时反馈的作用，而对后续问题和复数理论重要性的概述，使学生进一步明确学习复数的意义，激发它们继续学习的欲望.八、布置作业1、课本第106页习题3.1A组题 1, 2, 3题

15、2、撰写小论文(题目自拟)完成一个学习总结报告。对数发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己 的研究报告：如如果世界没了数、数的历史、数的未来，可参考书籍资料、网络资源等 .二、教学反思1、可取之处(1)以人为本，充分考虑学生的认知规律.从实际需求与数学内部矛盾两个方面发现数系扩充的基本特征以及通过对卡当问题的思考进而引出虚数单位i,都是从学生的角度出发，帮助学生解决头脑中的疑问，同时注重发挥学生的主观能动性(2)注重数学的人文价值.通过对数学史的介绍提高了学生数学学习的兴趣，加强了学生数学学习的动机，转变了数学观念，让学生更加了解数学的本质(3)重视知识的生成过程 Xi的认识、复

16、数a bi形式的给出，不是采用直接给出的方式而是通过实数的意义， 借助i21引出虚数单位i的几何意义，进一步在坐标平面上得到 a bi形式的数.这样处理不仅让学生感到“虚数不虚”，还为后一节学习复数的几何意义打下了坚实的基础.2、改进之处(1)培养学生的学习能力不够，特别是自主学习的能力，做的不够.数学发展史的这些材料如果让学生自己去搜集，那么学生对这一部分知识会有更深刻的了解(2)复数相等的充要条件是对复数概念的一个深入理解，明确了一个复数是由一对实数对 唯一确定的，这也为后续的学习埋下了伏笔.在这个概念的构建上本人还是在前面学生构造的复 数的基础上，由学生归纳得出.因为本人思考还不够成熟，所以在这个环节上本人的处理仍比较 生硬.三、教学点评1、抓住知识的本质，突破难点虚数单位几