张量和应力张量

1、附录 张量和应力张量 1 张量的基本概念 2 应力张量 由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用。1 张量的基本概念 1.1 角标符号 1.2 求和约定 1.3 张量的基本概念 1.4 张量的某些基本性质1.1 角标符号 带有下角标的符号称为角标符号，可用来表示成组的符号或数组。 例： 直角坐标系的三根轴 x、y、zx1、x2、x3 xi(i=1，2，3)； 空间直线的方向余弦 l、m、n lx、ly、lz li(i=x

2、，y，z)； 表示一点应力状态的九个应力分量 xx、xy ij(i，j=x，y，z)； 等等。 如果一个角标符号带有个m角标，每个角标取n个值，则该角标符号代表nm个元素。 例 ij(i，j=x，y，z)有32=9个元素(即九个应力分量)。1.2 求和约定 求和约定：如果在算式的某一项中有某个角标重复出现，就表示要对该角标自1n的所有元素求和。 例 空间中的平面方程为： 采用角标符号 A、B、Ca1、a2、a3 ai(i=1，2，3) x，y，z xi(i=1，2，3) 上式可写成： 采用求和约定则可简记为：AxByCzp31 122331iiia xa xa xa xp1,2,3iia xp

3、i 求和约定-合并例 例1 例2 重复出现的角标称为哑标，不重复出现的角标称为自由标。 自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式的个数。2222xyzxyyzzxlmnlmmnnl, ,ij i jlli jx y zxxyxzxyxyyzyzxzyzzTlmnTlmnTlmn, ,jij iTli jx y z 求和约定-展开例 例1 例2 例31,2,3iiupix312123uuupxxx,1,2,3ijijya xi j11 11121213 13212122222323313132323333ya xa xa xa xa xa xa xa xa x,1,2,3ijijya xi j

4、11 112123 1321212223233131232333ya xa xa xya xa xa xya xa xa x 例4 例50,1,2,3ijii jx311121123321222123132333123000 xxxxxxxxx, ,1,2,3ijikkjya xi j k1111 11122113311211 12122213321311 13122313332121 11222123312221 12222223322321 13222323333131 11322133313231 12322233323331ya xa xa xya xa xa xya xa xa xy

5、a xa xa xya xa xa xya xa xa xya xa xa xya xa xa xya x1332233333a xa x 例6, , ,1,2,3ijikljklya b xi j k l1111 11 1112 112113 113111 21 1212212213 213211 31 1312 312313 31331211 121112 122113 123111 221212222213 223211 321312 322313 32331333ya b xa b xa b xa b xa b xa b xa b xa b xa b xya b xa b xa b x

6、a b xa b xa b xa b xa b xa b xyy1.3 张量的基本概念 只需一个实数就可以表示出来简单的物理量称为标量。例如距离、时间、温度等。 需用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量称为矢量。 例如位移、速度、力等。 对于复杂的物理量，例如应力状态、应变状态等，需要用空间坐标系中的三个矢量(也即九个分量)才能完整地表示出来，这就是张量。 张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义为：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所组成的集合称为张量。 物理量P 在空间坐标系xi (i=1，2，3)中存在九个分量Pij (i，j=1，2，3)； 在新空间坐标系 xk(k=1，2，3)

7、中存在九个新分量Pkr(k，r=1，2，3)。 坐标系间关系 九个方向余弦可记为lki或lrj(i，j=1，2，3；k，r=1，2，3)。 由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik， lrj=ljr。l33l32l31x3l23l22l21x2l13l12l11x1x3x2x1 张量概念及其判别式 若物理量P在坐标系xi中的九个分量Pij与在坐标系xk中的九个分量Pkr之间存在下列线性变换关系： 则这个物理量则为张量。 用矩阵表示： 张量所带的下角标的数目称为张量的阶数。 Pij是二阶张量，矢量是一阶张量，而标量则是零阶张量。,1,2,3,1,2,3krij ki r

8、jPPl li jk r111213212223313233ijPPPPPPPPPP 二阶张量的判别式的矩阵形式111213212223313233112131111213111213122232212223212223132333313233313233krPPPPPPPPPPlllPPPllllllPPPllllllPPPlll,1,2,3,1,2,3krij ki rjPPl li jk r1.4 张量的某些基本性质 存在张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数f=f(Pij)，其值与坐标轴的选取无关，即不随坐标而变，这样的函数就叫做张量的不变量。 对于二阶张量，存在三个独立的不变量。

9、 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应分量之和或差定义为另一同阶张量。 两个相同的张量之差定义为零张量。 张量可分对称张量、非对称张量、反对称张量 若Pij=Pji，则为对称张量； 若PijPji，则为非对称张量； 若Pij=-Pji，则为反对称张量。 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如取主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量都将为零，只留下两个下角标相同的三个分量，称为主值。1.5 应力张量 外力确定后，受力物体内任意点的应力状态即已确定。但表示该点应力状态的各个分量在不同坐标系中将有不同的数值，因此在不同坐标系中该点的应力分量之间应该存在一定的关系。 设受力物体内一点的应力状态为： 在xi(i=x，y，z)坐标系中为ij(i，j=x，y，z)； 在xk (k=x，y，z)坐标系中为kr(k，r=x，y，z)； ij与kr之间的关系符合数学上张量的定义，即存在线性变换关系：, , krij ki rjl li jx y zk rx y z 因此，表示点应力状态的九个应力分量构成